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Umlegung und Routenwahl. A. Horni IVT ETH Zürich. Frühlingssemester 2010. Verkehrsmodelle / 4-Stufen-Modell (Repetition) Herleitung Nutzergleichgewicht Weitere Verteilungsgrundsätze Stochastisches Nutzergleichgewicht Systemoptimum Umlegungsverfahren Incremental Assignment

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umlegung und routenwahl

Umlegung und Routenwahl

A. Horni

IVT

ETH

Zürich

Frühlingssemester 2010

heute
Verkehrsmodelle / 4-Stufen-Modell (Repetition)

Herleitung Nutzergleichgewicht

Weitere Verteilungsgrundsätze

Stochastisches Nutzergleichgewicht

Systemoptimum

Umlegungsverfahren

Incremental Assignment

Method of Successive Averages (MSA)

Kürzeste Wege in Netzen

Dikstra Algorithmus

Widerstandsfunktionen

BPR, Davidson

Heute:

Übungsblätter

2

verkehrsmodelle vier stufen verfahren
Verkehrsmodelle → Vier-Stufen-Verfahren

Bemessung

Wirkung von Massnahmen

etc.

(Prognose-)Modell für Verkehrsnachfrage

4-Stufen- {Ansatz | Methode | Verfahren…}

= Herz der Verkehrsplanung

vier stufen modell
Vier-Stufen-Modell

Vorlesung (Woche)

Übung

VL W 8

VL W 5

VL W 3

Übung 2

Übung 1

z.B. Gravitationsmodell

Umlegungsmodelle: z.B.: MSA

Entscheidungs-modelle: z.B. MNL

Modelle

slide5

Ziel

Quelle

Zürich

Ff

Zug

Zürich

Frauenf

Zug

Verkehrsverteilung

(Grav.-Modell)

Verkehrserzeugung

Verkehrsanziehung

Umlegung

(Routenwahl)

Verkehrsmittelwahl

1

4

3

2

4

1

4→?

3

4→?

4→?

S

4

6

1

1

8

6

12

3

12

S

5

nutzergleichgewicht herleitung
Nutzergleichgewicht: Herleitung

Gleiche fundamentale Mechanismen

Homo oeconomicus

Entscheider sind informiert durch Beobachtung

Kostenminimierung

Schalterwahl

Kosten

Wartezeit

Wartezeit = belastungsabhängig

Gleichgewicht: Keiner kann durch alleinigen Wechsel gewinnen (Nash)

Bei allen Schaltern steht man (etwa) gleich lange an.

6

nutzergleichgewicht routenwahl
Nutzergleichgewicht: Routenwahl

Entscheider sind informiert durch Vorwissen über die sich wiederholende Situation

Homo oeconomicus

Kostenminimierung

generalisierte

Kosten

Reisezeit, Reisedistanz, Maut, Komfortkriterien, …

Routenwahl

Reisezeit = belastungsabhängig

Nutzer-Gleichgewicht (Wardrop Gg): Alle Wege, die zwischen einem Quelle-Ziel-Paar benutzt werden, haben dieselben generalisierten Kosten.

Alle nicht benutzten Wege zwischen einem Quelle-Ziel-Paar haben höhere generalisierte Kosten.

7

slide8

Routenwahl: Von Zürch nach Zug …

Keiner kann durch alleinigen Wechsel gewinnen!

routenwahl weitere verteilungsgrunds tze dynamik
Routenwahl – weitere Verteilungsgrundsätze & Dynamik

Homo oeconomicus

Wahrnehmung

ohne Fehler

Wahrnehmung

mit Fehler

Soziale Kosten

Nutzerkosten

Entscheider sind informiert …

Dynamik

Kostenminimierung

generalisierte

Kosten

Reisezeit, Reisedistanz, Maut, …

Routenwahl

Nutzer-Gleichgewicht (Wardrop 1. Prinzip)

Z.B.

Tropfenzähler, Road pricing etc.

Stochastisches Nutzergleichgewicht

Systemoptimum (Wardrop 2. Prinzip) → hypothetischer Vergleichszustand

9

dynamik
Dynamik
  • Statisch:
    • Modellierung der durchschnittlichen Belastung über längere Zeiträume:
      • Spitzenstunden (1h, 2h oder 4h)
      • Tag
  • Dynamisch:
    • Modellierung der Belastungen in kurzen Intervallen (15 min, 30 min) mit Berücksichtigung der Wechselwirkungen zwischen den Intervallen (Warteschlangen)
    • Genauer, aber hoher Aufwand → i.d.R. kleinere Untersuchungsgebiete
wardrop s nutzergleichgewicht
Wardrop‘s Nutzergleichgewicht
  • Alle Wege, die zwischen einem Quelle-Ziel-Paar benutzt werden, haben dieselbe Reisezeit (generalisierten Kosten).
  • Alle nicht benutzten Wege haben eine höhere Reisezeit (generalisierte Kosten)

(Bsp.: Zürich → Zug via Genf)

stochastisches gleichgewicht
Stochastisches Gleichgewicht
  • Der Anteil der Reisenden auf jeder Route zwischen zwei Zonen entspricht der Wahrscheinlichkeit mit der diese Route von den Nutzern als die beste wahrgenommen wird.
  • Die tatsächlichen Reisezeiten auf den Routen müssen demnach nicht gleich sein.
systemoptimum
Systemoptimum
  • Die Gesamtreisezeit (Summe der generalisierten Kosten) ist minimal.
beispiel zwei strecken ue so
Beispiel: Zwei Strecken – UE / SO

Belastung auf Route 2

Systemoptimum SO

Nutzergleichgewicht UE

mittlere Fahrzeit

Route 2

Route 1

Belastung auf Route 1

14

zusammenfassung
Zusammenfassung
  • Gewichtung der einzelnen Kostenelemente (z.B. Zeit, Distanz, Benzinverbrauch etc.) :
  • für UE und SO meist homogen (da sonst ausserordentlich kompliziert)
  • für SUE häufig personenspezifisch.
umlegungsverfahren berechnung des gleichgewichtspunktes
Umlegungsverfahren: Berechnung des Gleichgewichtspunktes

Riesige Anzahl von Netzwerkkanten, welche Einfluss aufeinander haben.

Nichtlineares System xb

→ Nicht analytisch (oder graphisch) lösbar

→ Numerisches Verfahren wird benötigt

Wie könnte das aussehen?

berechnungsverfahren herleitung
Berechnungsverfahren: Herleitung
  • Unterschiedliche Schalen
    • → unterschiedliche Strassenparameter: z.B. Kapazität
    • → unterschiedlich effiziente Kassiererinnen
umlegungsverfahren
Umlegungsverfahren:

Verschiedene Umlegungsverfahren

Zwei zentrale Verfahren:

Nicht iterativ:

→ Incremental assignment

Iterativ:

→ Method of Successive Averages

verfahren incremental assignment
Verfahren: „Incremental Assignment“

Nicht iterativ:

Lege sukzessive kleine Portionen auf die jeweils leichtere Schale bis Mehl komplett auf der Waage.

→ Ortuzar S. 340

20

verfahren method of successive averages msa
Verfahren: „Method of Successive Averages (MSA)“

Iterativ:

Verschiebe solange Mehl von der schwereren Schale zur leichteren bis beide gleich* schwer sind.

→ Ortuzar S. 342

* Konvergenzkriterium 

hochgradig prüfungs- und übungsrelevant!

msa 2 routen
MSA – 2 Routen

A

B

Iterativ: Anteilf von der langsameren auf die schnellere Route

Belastung: x

t: 50 min

Anteil f von x

Belastung: y

t: 40 min

→ min

msa 3 routen
MSA – 3 Routen

A

B

Iterativ: Anteilf von allen langsameren auf die schnellste Route

Belastung: x

t: 50 min

Anteil f von x

Belastung: y

t: 40 min

→ min

Anteil f von z

Belastung: z

t: 60 min

msa ortuzar hilfsfl sse f a bung
MSA → Ortuzar (Hilfsflüsse Fa) → Übung
  • Initialisierung: Zuordnen der Verkehrströme auf kürzeste Wege bei unbelastetem Netz
  • Iteration:
    • Berechnen der kürzesten Wege
    • Hilfsflüsse Fa := alle Verkehrströme auf kürzesten Wegen
    • Zuordnung der neuen Verkehrsströme mit:
      • Fneu := (1-f) * Falt + f * Hilfsflüsse
    • Berechnen der neuen Reisezeiten t = f ( Fneu )

f: Parameter: 0 < F < 1

F: zu berechnender Verkehrsstrom auf Strecke

24

msa ortuzar hilfsfl sse f a
MSA → Ortuzar (Hilfsflüsse Fa)

A

B

Salopp formuliert:

Anteilf von allen langsameren auf

die schnellste Route

Hilfsflussformulierung:

Fneu := (1-f) * Falt + f* Fa

=>

→ Fa = x + y + z (komplette Nachfrage auf günstigste Route)

1: (1-f) * x

Belastung: x

t: 50 min

1

1: (1-f) * x + f * 0

2: y + f * (x + z)

2: (1-f) * y + f * Fa

= (1-f) * y + f * (x+y+z)

= y + f * (x + z)

Anteil f von x

Fa

2

Belastung: y

t: 40 min

→ min

Anteil f von z

3: (1-f) * z

3

3: (1-f) * z + f * 0

Belastung: z

t: 60 min

iterativ bis GG erreicht

f r mehrere quell zielbeziehungen analog
Für mehrere Quell-Zielbeziehungen analog

A

B

C

Andermatt

t = f ( F1 + F2)

Airolo

Göschenen

Quell-Zielbeziehung 2:

Andermatt-Göschenen

Quelle: C

Ziel: B

Quell-Zielbeziehung 1:

Airolo-Göschenen

Quelle: A

Ziel: B (nicht C!)

berechnung schnellster g nstigster wege
Berechnung „schnellster (günstigster) Wege“
  • Wird in Umlegung gebraucht
  • Vielzahl von Algorithmen
  • Drei Grundklassen:
    • Matrixverfahren (Beispiel: Floyd)
    • Verfahren mit eingeschränkten Kandidatenlisten (Beispiel Dijkstra → prüfungsrelevant)
    • Verfahren mit offenen Kandidatenlisten (Beispiel Moore)
  • Unterschiede in Speicherplatz, Rechenzeit, Komplexität des Kodes
slide28

0: Initialisierung

  • Startknoten als Arbeitsknoten und als definitiv markieren
  • Restliche Knoten als unerreichbar markieren (d=∞)
  • I:
  • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert.
  • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.

II:

Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

III:

Verfolge die Route beginnend beim Zielknoten zurück

slide29

0: Initialisierung

  • Startknoten als Arbeitsknoten und als definitiv markieren
  • Restliche Knoten als unerreichbar markieren (d=∞)
slide30

I:

  • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert.
  • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.
slide31

II:

Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

slide32

I:

  • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert.
  • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.
slide33

II:

Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

slide34

I:

  • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert.
  • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.
slide35

II:

Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

slide36

I:

  • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert.
  • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.
slide37

II:

Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

slide38

I:

  • Trage in allen Nachbarknoten des aktuellen Arbeitsknotens die Distanz zum Startknoten ein, falls diese kleiner ist, als der eingetragene Wert.
  • Merke mir in diesem Fall in den Nachbarknoten den aktuellen Arbeitsknoten als Vorgänger.
slide39

II:

Aus allen Knoten, die noch nicht als definitiv markiert sind, wird derjenige mit dem kleinsten Wert im Distanzfeld ausgesucht, als definitiv markiert und zum neuen Arbeitsknoten gemacht.

slide40

A→ B→ E→ F→ C→ D :13

III:

Verfolge die Route beginnend beim Zielknoten zurück

widerstandsfunktionen reisezeit f belastung
Widerstandsfunktionen: Reisezeit = f ( Belastung )
  • Mit weicher Abbildung der Leistungsfähigkeitsgrenze,
  • z.B. Bureau of Public Roads (BPR-Funktion)
  • Mit harter Abbildung der Leistungsfähigkeitsgrenze,
  • z.B. Davidson:

i: Strecke i

qi: Belastung auf Strecke i

t0i: Fahrtzeit bei unbelasteter Strecke

Li: Leistungsfähigkeit

J, , : Parameter

Formeln für Widerstandsfunktionen stehen in Prüfungsformelsammlung → muss man „nur“ anwenden können.

zum schluss msa rechenbeispiel
Zum Schluss: MSA - Rechenbeispiel

A

B

Hirzel-Route

t0,Hirzel = t0,Sihltal = 35min

aHirzel = aSihltal = 0.25

bHirzel= bSihltal = 2

LHirzel = LSihltal =2000 Fzg./h

Sihltal-Route

Nachfrage 3000 Fzg./h

  • konstant 0.2

(iterativ 20% von der langsameren auf die schnellere Route)

0.2 * 3000 Fzg./h → 600 Fzg./h

0.2 * 2400 Fzg./h → 480 Fzg./h

0.2 * 1920 Fzg./h → 384 Fzg./h

0.2 * 1536 Fzg./h → 307 Fzg./h

literatur
Literatur
  • Literaturhinweis:
    • Schnabel / Lohse: Kapitel 10.8.7.2
    • Ortúzar / Willumsen: Kapitel 10.1 – 10.5, 11
    • Vrtic, M. (2005) Verkehrsverteilungsmodelle, Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich
    • Vrtic, M. (2005) Best-Wege-Suche, Materialien zur Vorlesung Verkehrsplanung, IVT, ETH, Zürich
definitionen umlegung routenwahl
Definitionen: Umlegung - Routenwahl
  • Routenwahl ist die Modellierung der Wahl der Reisenden zwischen den möglichen Routen zwischen zwei Orten.
  • Umlegung ist die Verteilung der Nachfrage zwischen zwei Orten auf die möglichen Routen unter Einhaltung bestimmter Randbedingungen