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Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

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Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen. erstellt von Petra Bader. Lehrplanbezug. Grundkurs in Klasse 13: 13.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenschreibweise (7 Stunden)

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PowerPoint Slideshow about 'Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen' - JasminFlorian


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Presentation Transcript
geraden und ebenengleichungen und lagebeziehungen zwischen geraden und ebenen

Geraden- und Ebenengleichungen und Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

erstellt von Petra Bader

lehrplanbezug
Lehrplanbezug

Grundkurs in Klasse 13:

13.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenschreibweise (7 Stunden)

13.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (7 Stunden)

Leistungskurs in Klasse 12:

12.4 Geraden- und Ebenengleichungen in Vektor- und Koordinatenschreibweise (6 Stunden)

12.5 Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen (11 Stunden)

gk 13 4 und lk 12 4 geraden u ebenengleichungen in vektor u koordinatenschreibweise
Geraden- und Ebenengleichungen in vektorieller Parameterform

Geraden- und Ebenengleichungen in KoordinatenformA1x1+A2x2+A3 = 0; AiR

Hinweis auf Nichteindeutigkeit der Darstellung; geeignete Zeichnungen und Skizzen

Gewinnen der Koordinatenform durch Eliminieren der Parameter; auch umgekehrt Aufstellen einer Parameterform aus einer Koordinatenform;

Zusammenhang mit der Geradengleichung aus der Mittelstufe;

Achsenabschnittsform;

Spurpunkte und Spurgeraden;

achsenparallele Geraden bzw. Ebenen;

zeichnerische Darstellungen

GK 13.4 und LK 12.4:Geraden- u. Ebenengleichungen in Vektor- u. Koordinatenschreibweise

Vektoren ermöglichen die einfache Beschreibung von Geraden und Ebenen des Anschauungsraums durch Gleichungen in Parameterform. Eliminieren der Parameter führt zur Koordinatendarstellung von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum.

gk 13 5 und lk 12 5 lagebeziehungen zwischen punkten geraden und ebenen
Lagebeziehungen von Punkten und Geraden in der Ebene

Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum

auch geometrische Deutung von linearen (2,2)-Systemen

geometrische Interpretation rechnerischer Ergebnisse;

auch zeichnerische Darstellung einfacher räumlicher Situationen

geometrische Deutung von linearen (3,3)-Systemen

GK 13.5 und LK 12.5:Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen

Die Schüler sollen lernen, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen rechnerisch zu untersuchen, Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden sicher zu bestimmen und sich die gegenseitige räumliche Lage der geometrischen Objekte vorzustellen.

ii 1 1 geradengleichung in vektorieller form
II.1.1 Geradengleichung in vektorieller Form

Geradengleichung in vektorieller ParameterformZwei-Punkte-GleichungkR

Punkt-Richtungs-Gleichung

kR

X

z

B

A

O

y

x

X

z

A

O

y

x

bemerkungen zur parameterdarstellung von geraden
Bemerkungen zur Parameterdarstellung von Geraden

Bemerkungen:

  • Beide Vektorgleichungen sind gleichwertig.
  • Eine Gerade kann durch verschiedene Parameterdarstellungen beschrieben werden; für die Punkt-Richtungs-Gleichung beispielsweise eignet sich jeder Punkt der Geraden als Antragspunkt und auch jeder Vektor , k R\{0}, als Richtungsvektor.

=> Nicht die Parameterdarstellung, sondern eine Parameterdarstellung der Geraden

ii 1 2 geradengleichung in koordinatenform
II.1.2 Geradengleichung in Koordinatenform

Im zweidimensionalen Punktraum R² kann man den Parameter k aus der Geradengleichung eliminieren:

A1x1+A2x2+A3 = 0; AiR

ii 2 darstellungsformen von ebenen
II.2 Darstellungsformen von Ebenen

Allgemein gilt: Eine Ebene E wird von zwei linear unabhängigen Vektoren „aufgespannt“.

E

B

X

A

C

ii 2 2 ebenengleichungen in koordinatenform
II.2.2 Ebenengleichungen in Koordinatenform

A1x1 + A2x2 + A3x3 + A4 = 0, AiR

iii 1 lagebeziehungen zwischen geraden
III.1. Lagebeziehungen zwischen Geraden

Im R² und R³ gibt es folgende Möglichkeiten:

1. Die beiden g und h schneiden sich: {S} = g∩h.

2. Die beiden Geraden g und h sind parallel und g  h. Man sagt: g und h sind echt parallel

3. Die beiden Geraden g und h fallen zusammen: g = h. Man sagt: g und h sind entartet parallel.

Nur im R³:

4. Die beiden Geraden g und h schneiden sich nicht und sind nicht parallel. Man sagt: g und h sind zueinander windschief.

h

S

g

h

g

h

g

h

g

bestimmung der lage zweier geraden
linear unabhängig

linear unabhängig

linear unabhängig

Bestimmung der Lage zweier Geraden

1. Möglichkeit: Man untersucht die beiden Richtungs-vektoren und den Differenzenvektor der Antragspunkte auf ihre lineare Unab-hängigkeit.

Gegeben:

Berechne:

Entscheide:

nein

ja

Entscheide:

nein

nein

ja

ja

g und h sind

windschief

gh=

g und h

schneiden sich

gh={S}

g und h sind

echt parallel

gh=

g und h fallen

zusammen

g=h

bestimmung der lage zweier geraden1
Bestimmung der Lage zweier Geraden

2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte

Hat das Gleichungssystem:

  • genau eine Lösung, so schneiden sich die Geraden (Schnittpunkt)
  • keine Lösung, so sind die Geraden im R² echt parallel und im R³ echt parallel oder windschief (mit Hilfe der Richtungsvektoren unterscheidbar)
  • unendlich viele Lösungen, so fallen die Geraden zusammen
iii 2 1 lagebeziehungen zwischen geraden und ebenen
gE={S}

linear unabhängig

gE=

1. linear abhängig2. lin. unabh.

gE=g

1. linear abhängig2. lin. abh.

III.2.1 Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen

k, l, r R

1. Gerade und Ebene schneidensich; Schnittpunkt S

2. Gerade und Ebene sind echtparallel

3. Gerade liegt in der Ebene

A2

g

g

g

E

A1

E

E

E

A1

A1

A2

S

0

0

0

A2

bestimmung der lage einer gerade in bezug auf ebene
linear unabhängig

linear unabhängig

Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene

1. Möglichkeit: Untersuchung der linearen Unabhängigkeit

Gegeben:

Entscheide:

nein

Berechne:

ja

Entscheide:

nein

ja

g schneidet E

gE={S}

g echt parallel zu E

gE=

g liegt in E

gE=g

bestimmung der lage einer gerade in bezug auf ebene1
Bestimmung der Lage einer Gerade in Bezug auf Ebene

2. Möglichkeit: Berechnung gemeinsamer Punkte

Hat das inhomogene Gleichungssystem:

  • keine Nullzeile auf der linken Seite  genau eine Lösung (Parameterwerte für den Schnittpunkt)
  • Nullzeile auf der linken Seite und rechte Seite ungleich Null keine Lösung (Gerade ist echt parallel zur Ebene)
  • eine vollständige Nullzeile unendlich viele Lösungen (Gerade liegt in der Ebene)
iii 2 2 lagebeziehungen zwischen zwei ebenen
E1E2=

1. 2.

E1E2=g

E1=E2

1.

2.

III.2.2 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen

k, l, r, s R

1. Ebenen schneidensich; Schnittgerade g

2. Die beidenEbenen sind echtparallel

3. Beide Ebenen fallen zusammen(entartet parallel)

g

A1

A1

E1

A1

E1=E2

A2

E2

A2

A2

E1

E2

0

0

0

bestimmung der lage von zwei ebenen
linear unabhängig

linear unabhängig

Bestimmung der Lage von zwei Ebenen

Gegeben:

Entscheide:

nein

Berechne:

ja

Entscheide:

nein

ja

E1 und E2

schneiden sich

E1E2=g

E1 echt parallel E2

E1E2=

E1 und E2

fallen zusammen E1=E2

ad