1 / 20

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej. Rozwiązywanie równań różniczkowych. Rozwiązywanie równań różniczkowych. Metody klasy Rungego-Kutty. Zalety metod klasy Rungego-Kutty. Brak konieczności stosowania dodatkowych algorytmów do obliczenia punktów początkowych

tyme
Download Presentation

Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej Rozwiązywanie równań różniczkowych

  2. Rozwiązywanie równań różniczkowych Metody klasy Rungego-Kutty

  3. Zalety metod klasy Rungego-Kutty • Brak konieczności stosowania dodatkowych algorytmów do obliczenia punktów początkowych • Możliwość zmiany kroku w trakcie obliczeń

  4. Zasada metod klasy Rungego-Kutty Bezpośrednie zastosowanie rozwinięcia wymaga użycia trudnych do obliczenia pochodnych wyższych rzędów Metody klasy R-K polegają na podzieleniu odcinka h na N części i wykorzystaniu tylko pochodnych 1-go rzędu z zachowaniem założonej dokładności.

  5. Zasada metod klasy Rungego-Kutty Przyrost k aproksymuje się wyrażeniem liniowym o budowie zależnej od rzędu metody R-K Dla metody drugiego rzędu wyrażenie to ma postać: w którym: Parametry: a, b, m, n to stałe tak dobrane by błąd aproksymacji k przez K miał rząd 3 Składniki równania na K należy rozwinąć w szereg Taylora z 1 pochodną wokół punktu F(x0,y0)

  6. Zasada metod klasy Rungego-Kutty F(x0,y0) tośrodek rozwinięcia, możliwe jest tylko rozwiniecie k2: Po podstawieniu do wzoru na k2: I ostatecznie do wzoru na K

  7. Zasada metod klasy Rungego-Kutty Ponieważ: Aby wyznaczyć parametry a, b, n, m trzeba porównaćz rozwinięciem k

  8. Zasada metod klasy Rungego-Kutty Można „dowolnie” przyjąć 1 wartośćPrzyjmijmy m=1otrzymamy: b = ½ a= ½ n = 1

  9. Zasada metod klasy Rungego-Kutty Ogólnie:

  10. Metoda Rungego-Kutty rzędu 4-tego (Rungego-Simpsona)

  11. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.

  12. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu. Wektor wartości w kroku i -tym

  13. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu. Funkcja wektorowa (prawe strony równań)

  14. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu. Wektory współczynników

  15. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Podstawmy

  16. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Funkcja wektorowa: i-ty wektor wartości

  17. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Wektory współczynników:

  18. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu. Wektory współczynników:

  19. Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.

  20. Metoda Rungego-Kutty algorytm • Czytaj punkt startowy x0, y0, xk i ilość podziałów n • h=(xk - x0)/n. • Przyjmij i=0 • Oblicz k1=hF(xi,yi), k2=hF(xi+1/2h,yi+1/2k1), k3=hF(xi+1/2h,yi+1/2k2), k4=hF(xi+h,yi+k3) • Oblicz K=1/6(k1+2(k2+k3)+k4) • Oblicz yi+1=yi+K • xi+1 = xi+h • Zwiększ i o 1 • Jeżeli i<n idź do punktu 4 • Przyjmij i=0 • Drukuj xj, yj • Zwiększ i o 1 • Jeżeli i<=n idź do punktu11 • Koniec

More Related