Funciones Reales de Varias Variables

1. Funciones Reales de Varias Variables

2. Contenidos • Habilidades • Función de dos variables. • Gráfica de una función real de dos variables. • Curvas de nivel. • Límite. • Continuidad. • Derivadas Parciales. ir ir ir ir ir ir ir

3. Habilidades • Define el concepto de función real de dos y tres variables. • Determina el dominio de una función real y lo representa gráficamente. • Traza la gráfica de una función real de dos variables reales. • Relaciona la regla de correspondencia de una función con su gráfica. • Determina las curvas (superficies) de nivel de una función real de dos (tres) variables.

4. Habilidades • Calcula el límite de una función. • Determina la no existencia del límite de una función real de dos variables reales. • Establece la continuidad de una función real en un punto. • Define el concepto de derivada parcial. • Calcula derivadas parciales. • Interpreta geométricamente el concepto de derivada parcial. • Calcula derivadas parciales de segundo orden. • Verifica que una función dada es solución de una ecuación en derivadas parciales. inicio

5. Definición: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y). El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir Funciones de Varias Variables.

6. Ejemplos. 1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos. 2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso sea posible. Justifique su respuesta. inicio

7. Gráfica de una función de dos variables. Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.

8. Ejemplo 2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la imagen. inicio

9. Curvas de nivel.

10. Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f). O x

11. Ejemplos 3. Trace la gráfica y las curvas de nivel de: 4. Una lamina de metal plana está situada en un plano XY y la temperatura T (en grados centígrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcional a la distancia del punto (x, y) al origen. a) Describa las isotermas b) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 grados centígrados, encuentre una ecuación de la isoterma correspondiente a la temperatura de 20 grados centígrados.

12. Ejemplos 5. Describa y trace las superficies de nivel de la función: inicio

13. Límites

14. Límites Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b) es L y escribimos tal que siempre que y

15. Z X Interpretación geométrica de los límites

16. Definición: Si cuando por una trayectoria C1 y cuando por otra trayectoria C2,, donde , entonces no existe. y b a Determina la no existencia del límite de una función real.

17. 6. Muestre que no existe 7. Muestre que no existe Ejemplos 5. Muestre que no existe inicio

18. Definición: Una función f de dos variables, se denomina continua en (a,b) si Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a,b) de D Nota: Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio Continuidad inicio

19. Derivadas parciales. Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea (x0 ,y0) un punto de D. La función f(x, y0) depende solamente de x y está definida alrededor de x0. Si la derivada existe, el valor de la derivada es llamado derivada parcial de f(x,y),con respecto a x en el punto (x0,y0) y se denota por

20. Definición de derivada parcial con respecto a x.

21. Definición de derivada parcial con respecto a y. Del mismo modo, la derivada de f con respecto a y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene dejando x fija (x=x0).

22. 2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f Ejemplos 1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e interprete estos números como pendientes.

23. Derivadas parciales respecto a x y a y. Fin