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CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos

CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos. Estadística Computacional. Funciones de Variables Aleatorias. Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) f X . Sea Y = g( x ). Entonces:

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CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos

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  1. CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos Estadística Computacional

  2. Funciones de Variables Aleatorias • Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX. Sea Y = g(x). Entonces: • X es v.a. discreta y g continua  Y = g o X es v.a. discreta • X es v.a. continua y g continua  Y = g o X sea v.a. continua

  3. H : RXRY x  RXdominio H y  RY rango H (x, y)  H X :  RX s   dominio X x  RX rango X (s, x)  X RX RY B  X(s)  B C A H(x)  C H(X(s))  C s  A Y :  RY s   dominio Y = H(X) y  RY rango Y = H(X) (s, y)  Y = H(X) Transformación de Variables P(C) = P[{ x  RX : H(x)  C}] = P[{ s   : H(X(s))  C}]

  4. X Entonces Y = H(X) es una variable aleatoria con función de cuantía g(yj) = f(xij) nj ij = 1j y3 x11 x21 x31 x41 ······· xn1 x12 x22 x32 ·· xn2 x13 x23 x33 ·· xn3 x1j x2j x3j ·· xnj  Y y1 y2 yj Transformación de Variables Sea X una v.a. discreta con función de cuantía f(xij) f(x11) ··· f(x31) ·······f(xn1) f(x12) ········· f(xn2) f(x13) ········· f(xn3) f(x1j) ········· f(xnj) Sea H(xij) = yj una función que tiene la propiedad de asignar un valor yj a todo xijj  J para i = 1, 2, 3 ,...; j = 1, 2,...

  5. Transformación de Variables Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX(x) Sea Y = H(x) también es una variable aleatoria. Entonces: Si H(x) discreta Si H(x) continua Y = H( X) es v.a. discreta Y = H( X) es v.a. discreta discreta X es v.a. Y = H( X) es v.a. discreta Y = H( X) es v.a. continua continua

  6. Funciones de Variables Aleatorias X :  R g : D R Y = g(X) v.a. v.a.c. fu continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A  D Entonces:

  7. f(x) Sea X v.a. f(x) = 2x 0 < x < 1 y 2 x Sea Y = H(X) = 3X + 1 pdf de Y; g(y) ? 1 f(x) = 2x 0 < x < 1 4 3 2 x y = 3x + 1 1 g(y) = P(X  (y – 1)/ 3) = 2x dx = [y – 1]2 1 2 1 (y –1)/3 0 y y 1 9   1 2 3 4 5 g(y) = G’(y)  (y - 1) 2 9 Transformación de V.A. Continuas G(y) = P(Y  y) = P(3X + 1  y)

  8. Funciones de Variables Aleatorias Ejemplo: fX(x) = I0,1(x) g(x) = ln x Sea Y = g o X = ln X. Encontrar la densidad de Y = ln X

  9. Funciones de Variables Aleatorias Solución: Sea A = 0,1  D = R+ Además g es derivable y con derivada no nula en A Entonces:

  10. x y 0 - 1 0 g(y) dx dy dF(x) dx 1 g(y) = G’(y) = = 1 x ey g(y) >0  y -  Caso X  U (0,1) H(X) = ln X Sea X ~ U(0,1) f(x) = 1 0 < x < 1 Y = H(X)  Y = ln X X = H-1(Y)  X = eY encontrar g(y) G(y) = P(Y  y) P(ln X  y) P(X  ey ) F(ey)

  11. Funciones de Variables Aleatorias Solución: Además, algunas propiedades de Y son:

  12. Un método operativo X  U (0,1) Y = ln X derivando con respecto a “y” tenemos:

  13. Un método operativo En general, sea X v.a.c.  Y = X2 Consideremos X  N(0,1), sea Y = X2, luego: Y  2(1)

  14. Ejercicio Sea X = ln Y  N (  , 2) Encontrar la distribución de Y Nota: Y se conoce como distribución Log-normal.

  15. Distribución Log-Normal Función de Densidad LN( 0, 2)

  16. Función Generadora de Momentos Definición: Sea X v.a. (d. ó c.) con densidad o cuantía fX. Se llama función generadora de momentos a  : D  R R / X(t) = E [etX] t X(t) X v.a.d. X v.a.c.

  17. Función Generadora de Momentos • Observaciones: • Tal serie o integral pude no existir siempre  t  D. • Sin embargo, t = 0 existe siempre, y vale 1. • Deseamos que exista V(0,)D y que además sea derivable k-veces. • Cuando X(t)=E[etX] no exista, podemos usar X(t)=EeitX llamada función característica.

  18. Función Generadora de Momentos X X(t) U(a,b) P() Exp() N(,2)

  19. Función Generadora de Momentos X X(t) (,) B(n,p)

  20. Función Generadora de Momentos Usando el desarrollo en serie de Maclaurin X(t) ’X(0) = E[X] ’’X(0) = E[X2]

  21. Función Generadora de Momentos En general, bajo condiciones de regularidad: nX(0) = E[Xn] Finalmente: Si Y = X +   Y(t) = et X(t) Z = X + Y ; X  Y  Z(t) = X(t) Y(t)

  22. Distribución Log-Normal Función de Densidad LN( 0, 2)

  23. dx dy dF(x) dx g(y) _ 1 y g(y) = G’(y) = = - 1 1 x y 0 1 1 e-1 g(y)  1 e-1 y Caso X  U (0,1) H(X) = e-X Sea X ~ U(0,1) f(x) = 1 0 < x < 1 Y = H(X)  Y = e-X X = H-1(Y)  X = - ln Y encontrar g(y) G(y) = P(Y  y) = P(e-X  y) P(- X  ln y ) = P(X  - ln y ) = 1 – F(ln y)

  24. - 1 dH ( y ) - = 1 g ( y ) f ( H y )) ( Y X dy Transformación de V.A. Continuas X :  X H : X Y Y = H(X) v.a. v.a.c. H() continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A  Y Entonces:

  25. Sea X ~ U(0,1) f(x) = 1 0 < x < 1 Y = H(X)  Y = X2 X = H-1(Y)  X =  Y ó X = -  Y encontrar g(y) = G(y) = P(Y  y) = P(X2  y) P(- y  X   y ) = F( y ) – F(-  y ) dF(-y) dx dF(y) dx  G’(y) = g(y) = f( y ) + f(-  y ) dx dy dx dy 1 2  y Caso X  U (0,1) H(X) = X2

  26. (X – m ) s Caso X  N (m,s2) H(X) = Sabemos que - ½ s dx dy g(y) = f(x) 2 s y + m - m s 1 2 = 1 e s * p s 2 2 Reconocemos la Normal Estandar (N(0,1) x - m s 1 g(y) = e 1 2p p 2 1 2 2 - y Sea X ~ N(m,s2) f(x) = e - < x <  Y = H(X)  Y = X = H-1(Y)  X = sY + m encontrar g(y) X – m s

  27. Sabemos que - ½ s dx dy g(y) = f(x) 2 ey - m s 1 2 1 e ey * p s 2 2 x - m s 2 ey - m s 1 2p 1 2 y g(y) = 1 e p s 2 Caso X  N (m,s2) H(X) = ln X Sea X ~ N(m,s2) f(x) = e - < x <  Y = H(X)  Y = ln X X = H-1(Y)  X = eY encontrar g(y) =

  28. Sabemos que - ½ s dx dy g(y) = f(x) 2 lny – m s 1 2 = 1 e 1 y * p s 2 2 Se le denomina distribución LogNormal: (N(0,1) x - m s 2 lny – m s 1 2 1 2p - 1 y e g y = 2 p s Caso X  N (m,s2) H(X) = eX Sea X ~ N(m,s2) f(x) = e - < x <  Y = H(X)  Y = eX X = H-1(Y)  X = lnY encontrar g(y)

  29. Distribución LogNormal (0,1) • Fenómenos aleatorios representados por variables aleatorias con esta distribución: • Diámetro de pequeñas partículas después de un • proceso de chancado • El tamaño de un organismo sujeto a un número • pequeño de impulsos • Rentas de familias; consumo de electricidad; ventas en pesos; etc. • Tiempo de vida de ciertos ítems • Análisis de riesgo financiero en el cálculo del VAN

  30. Î x R 1 2 Distribución LogNormal (m, s2) ln x - m s 2 _ x-1 e f(x) = p s 2 F(x) : No tiene expresión analítica. 2 E[X] = em+ s /2 V[X] = e2m+ s (es– 1) 2 2

  31. Sabemos que: - - / / 1 2 2 y ì ü 1 1 1 y e - - = + = / / 2 2 y y e e í ý p p p / 1 2 î þ 2 y 2 2 2 g(y) = f( y ) + f(-  y ) Reconocemos una distribución n ; con n = 1 1 2  y - - / / 1 2 2 y 1 2p y e g y =  p / 1 2 2 Caso X  N(0,1) H(X) = X2 Sea X ~ N(0,1) f(x) = e - < x <  Y = H(X)  Y = X2 X = H-1(Y)  X =  Y . ó X = -  Y encontrar g(y) x 2 - ½

  32. Desafíos ... Sea X ~ U(1, 3) H(X) = 3X + 1 J(X) = eX Sea f(x) = 2x 0 < x < 1 H(X) = 3X + 1 J(X) = e-X Sea f(x) = e-x x > 0 H(X) = X3 J(X) = Sea f(x) = ½ -1 < x < 1 H(X) = 4 – x2 J(X) = ln X 3 (X + 1)2

  33. G p =  1 2 n x - - 1 x e 2 2 = x > 0 f( x ) n G n 2 2 2

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