Programação Não Linear

1. Programação Não Linear

2. Conteúdos do Capítulo • Programação Não Linear • Aplicações • Solução Gráfica • Resolução no Excel • Controle de Estoque • Modelo do Lote Econômico • Problemas de Localização • Caso LCL Telecom S.A.

3. Programação Não Linear • De forma geral um problema de programação não linear tem a seguinte forma: • Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato.

4. Programação Não LinearAplicações • Problemas de Mix de Produtos em que o “lucro” obtido por produto varia com a quantidade vendida. • Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada. • Seleção de Portfolio com Risco

5. x2 (2;6) Max Z = 3 x + 5 x (0;6) 1 2 s . r . x £ 4 1 (4;3) Solução Viável 2x £ 12 2 3x + 2 x £ 18 2 1 x1 (0;0) x ³ 0 , x ³ 0 (4;0) 1 2 Programação Não LinearSolução Gráfica • Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica 1

6. x 2 (2;6) Max Z = 3 x + 5 x 6 1 2 s.t. x £ 4 4 1 Solução Viável + £ 2 2 9 x 5 x 216 2 1 2 x ³ 0 , x ³ 0 1 2 0 x 0 3 4 1 1 2 Programação Não LinearSolução Gráfica • Considere o Problema e sua solução gráfica.

7. x 2 (2;6) 6 4 Solução Viável 2 0 x 0 3 4 1 1 2 Programação Não LinearSolução Gráfica • A solução ótima: • é a mesma do problema linear. • continua na fronteira do conjunto de soluções viáveis. • não é mais um extremo do conjunto de soluções viáveis, mas poderia ainda ocorrer em um ponto extremo. • Não existe a simplificação (enumeração) existente em Programação Linear

8. - + - 2 2 Max Z= 126 x 9 x 182 x 13 x 1 1 2 2 s . r . x £ 4 x2 1 2x £ 12 (2;6) 2 (0;6) 3x + 2 x £ 18 2 1 (4;3) Solução Viável x ³ 0 , x ³ 0 1 2 x1 (0;0) (4;0) Programação Não LinearSolução Gráfica

9. Programação Não LinearSolução Gráfica • A função objetivo é uma equação quadrática.

10. - + - 2 2 Max Z = 857 = 126 x 9 x 182 x 13 x 1 1 2 2 x 2 Z = 907 x 1 Programação Não LinearSoluçãoGráfica 6 4 Solução Viável Z = 807 2 4 2

11. - + - 2 2 Max Z= 54 x 9 x 78 x 13 x 1 1 2 2 s . r . x £ 4 x2 1 2x £ 12 (2;6) 2 (0;6) 3x + 2 x £ 18 2 1 (4;3) Solução Viável x ³ 0 , x ³ 0 1 2 x1 (0;0) (4;0) Programação Não LinearSolução Gráfica

12. - + - 2 2 Z= 54 x 9 x 78 x 13 x 1 1 2 2 é ù é ù 2 2 2 2 æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö 54 78 54 54 78 78 - - = - - + - - + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 2 ê ú ê ú Z 9 13 9 x x 13 x x è ø è ø è ø è ø è ø è ø 1 1 2 2 18 26 9 18 13 26 ë û ë û [ ] [ ] ( ) ( ) 2 2 - - = - - - - Z 81 117 9 x 3 13 x 3 1 2 [ ] [ ] ( ) ( ) 2 2 Þ - + - Para Z = 198 0 = 9 x 3 13 x 3 1 2 [ ] [ ] ( ) ( ) 2 2 Þ - + - Para Z = 189 9 = 9 x 3 13 x 3 1 2 [ ] [ ] ( ) ( ) 2 2 Þ - + - Para Z = 162 36 = 9 x 3 13 x 3 1 2 Programação Não LinearSolução Gráfica • A função objetivo é uma equação quadrática

13. x = - + - 2 2 Max Z 198 = 54 x 9 x 78 x 13 x 2 1 1 2 2 x 1 Programação Não LinearSolução Gráfica 6 4 Solução no interior do conjunto de soluções viáveis e não mais na fronteira do conjunto 3 2 Solução Viável 3 2 4

14. Programação Não Linear • A solução ótima de um problema de programação não linear(NLP), diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer ponto do conjunto de soluções viáveis. • Isso torna os problemas de NLP muito mais complexos, obrigando os algoritmos de solução a pesquisar todas as soluções viáveis.

15. Programação Não LinearExcel • O Excel utiliza o algoritmo GRG (generalized reduced gradient) para chegar à solução para um dado problema. • O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma solução global. • O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão.

16. Programação Não LinearExcel • Uma maneira prática para tentar minorar o problema de máximos e mínimos locais é começar a otimização de diversos pontos iniciais, gerados aleatoriamente. • Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado, você pode ter maior confiança, não a certeza, de ter atingido um ponto global.

17. Programação Não Linear Controle de Estoque • Um dos modelos mais simples de controle de estoque é conhecido como Modelo do Lote Econômico. • Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses • A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é praticamente constante durante o ano. • Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no exato instante em que este chegar a zero.

18. Programação Não Linear Controle de Estoque • Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos: • Manutenção de Estoque – Custo por se manter o capital no estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa. • Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto. • Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto.

19. Demanda Anual =100 Lote=50, Pedidos = 2 Estoque Médio = 25 25 25 12,5 3 6 9 12 6 12 meses meses Programação Não Linear Controle de Estoque Demanda Anual =100 Lote=25,Pedido= 4 Estoque Médio = 12,5 50

20. Programação Não Linear Controle de Estoque • Variável de Decisão Q – Quantidade por Pedido • Função Objetivo = Onde: D = Demanda Anual do Produto C = Custo Unitário do Produto S = Custo Unitário de Fazer o Pedido Cm= Custo unitário de manutenção em estoque por ano Constante

21. Caso LCL Computadores • A LCL Computadores deseja diminuir o seu estoque de mainboards. Sabendo-se que o custo unitário da mainboard é de R$50,00, o custo anual unitário de manutenção de estoque é de R$20,00 e o custo unitário do pedido é de R$10,00, encontre o lote econômico para atender a uma demanda anual de 1000 mainboards.

22. Caso LCL Computadores

23. Caso LCL Computadores

24. Caso LCL Computadores

25. Caso LCL Computadores • Na solução apresentada do lote econômico, a quantidade de pedidos por ano é fracionário, já que • Isso não representa um problema

26. Programação Não LinearProblemas de Localização • Um problema muito usual na área de negócios é o de localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica. • Nesses problemas devemos Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte ou perdas de transmissão. • O usual é se colocar um eixo cartesiano sobre um mapa e determinar a posição dos centro consumidores em relação a uma origem aleatória.

27. Caso LCL Telefonia Celular S.A. • O Gerente de Projetos da LCL Telefonia Celular S.A., tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Fluminense. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaixo, determine o melhor posicionamento para a torre.

28. Caso LCL Telefonia Celular S.A. Y Nova Iguaçu (-5,10) Duque de Caxias (10,5) Queimados (2,1) X

29. Caso LCL Telefonia Celular S.A. • Variáveis de Decisão • X – Coordenada no eixo X da torre de transmissão • Y – Coordenada no eixo Y da torre de transmissão • Função-objetivo

30. - + - £ 2 2 ( x X ) ( y Y ) 10 1 1 - + - £ 2 2 ( x X ) ( y Y ) 10 2 2 - + - £ 2 2 ( x X ) ( y Y ) 10 3 3 Caso LCL Telefonia Celular S.A. • Restrições de Distância

31. Caso LCL Telefonia Celular S.A.Modelo no Excel =SOMA(D2:D4)

32. Caso LCL Telefonia Celular S.A.Parametrização

33. Caso LCL Telefonia Celular S.A.Solução