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Cours # 11

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Introduction à l’automatisation -ELE3202- Cours #11: Transformée en z – Bloqueur d’ordre 0 et transformée inverse Enseignant: Jean-Philippe Roberge. Cours # 11. Retour sur l’examen intra Exercices tirées des examens finaux des années passées Revue du dernier cours

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Introduction à l’automatisation-ELE3202-Cours #11: Transformée en z – Bloqueur d’ordre 0 et transformée inverseEnseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

cours 11
Cours # 11
  • Retour sur l’examen intra
  • Exercices tirées des examens finaux des années passées
  • Revue du dernier cours
  • Retour sur la fin du dernier cours: Bloqueur d’ordre 0
    • Obtention de la fonction de transfert
    • Obtention de la fonction de transfert pulsée
  • Transformée en z inverse

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

cours 111
Cours # 11
  • Choix d’une période d’échantillonnage
  • Fonction de transfert pulsée:
    • D’éléments en cascade
    • D’éléments en boucle fermée
  • Critère de stabilité
  • Présentation d’un intérêt d’étudiant : la photographie (1)

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

retour sur l examen intra question 1
Retour sur l’examen intraQuestion #1

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

retour sur l examen intra question 2
Retour sur l’examen intraQuestion #2

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

retour sur l examen intra question 3
Retour sur l’examen intraQuestion #3

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

retour sur l examen intra question 4
Retour sur l’examen intraQuestion #4

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

retour sur l examen intra question 5
Retour sur l’examen intraQuestion #5

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

retour sur l examen intra question 6
Retour sur l’examen intraQuestion #6

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

r sum des apprentissages i mati re vue depuis l examen intra
Résumé des apprentissages (I)Matière vue depuis l’examen intra
  • Modèle d’état
    • En boucle ouverte:
    • En boucle fermée (en fermant la boucle par une rétroaction d’états (U = -K*x)):

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

r sum des apprentissages ii mati re vue depuis l examen intra
Résumé des apprentissages (II)Matière vue depuis l’examen intra
  • Le fait d’avoir fermée la boucle avec U = -K*x suppose que tous les états sont disponibles (on peut les connaître les mesurer). Cependant, dans bien des cas:
    • Il est impossible de mesurer tous les états
    • On ne souhaite pas acheter tous les capteurs qui seraient nécessaires (qui sont parfois coûteux).
  • Une solution est alors l’observateur d’état:

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

r sum des apprentissages iii mati re vue depuis l examen intra
Résumé des apprentissages (III)Matière vue depuis l’examen intra
  • Si les valeurs propres de sont à partie réelle négative, alors nous avions démontré que l’erreur d’estimation de l’état tend vers 0 quand le temps tend vers l’infini.
    • On peut alors se servir de l’état estimé pour faire notre rétroaction d’état:

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

r sum des apprentissages iv mati re vue depuis l examen intra
Résumé des apprentissages (IV)Matière vue depuis l’examen intra
  • En ce qui concerne le design de l’observateur d’état, nous avions vu le principe de séparation. En effet:
  • Donc;
    • En choisissant le gain Ke de sorte à ce que les valeurs propres de (A-KeC) soient toutes à partie réelle négative, on assure la stabilité de l’observateur (l’erreur est stable). Non seulement l’erreur est-elle stable, elle tend vers 0 (tel que démontré dans le cours).
    • Étant donnée l’erreur stable et en choisissant le gain K de sorte à ce que les valeurs propres de (A-BK) soient toutes à partie réelle négative, on assure la stabilité du système (procédé)
  • Nous pouvons donc effectuer le design de l’observateur de manière tout à fait indépendante du procédé:

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

r sum des apprentissages v mati re vue depuis l examen intra
Résumé des apprentissages (V)Matière vue depuis l’examen intra
  • Dans une foule d’applications, nous souhaitons que le procédé soit apte à suivre des consignes de type échelon (d’amplitude quelconque) et ce, malgré la présence possible de perturbations constantes. Par exemple;
    • Régulateur de vitesse, lecteur de disque dur, suivi de température dans un four, thermostats électroniques et mécaniques, etc…
  • Nous avions alors démontré qu’en ajoutant un intégrateur à l’entrée du système, il était possible de faire le suivi de consigne de type échelon:

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

r sum des apprentissages vi mati re vue depuis l examen intra
Résumé des apprentissages (VI)Matière vue depuis l’examen intra
  • En effet, soient l’erreur « e » et l’intégrale de l’erreur « eI »:
  • On peut ré-écrire sous forme de modèle d’état, tel que:
  • En fermant la boucle (tout en étant conforme avec le diagramme fonctionnel précédent) avec u=-Kx+KIeI , on obtient le modèle d’état en boucle fermée:

Rappel de la preuve démontrant la capacité du système à effectuer le suivi de consigne:

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

contr le int gral pour suivi de consigne vii
Contrôle intégral pour suivi de consigne (VII)
  • Le système et l’erreur à la sortie de l’intégrateur seront stables si la matrice Ae à toute ses valeurs propres à partie réelle négative.
  • Maintenant, si le système est stable, cela implique que lorsque le temps tend vers l’infini:
  • Si , alors on a (de l’équation du haut):

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

r sum des apprentissages viii mati re vue depuis l examen intra
Résumé des apprentissages (VIII)Matière vue depuis l’examen intra
  • Évidemment, il est possible de pousser plus loin la théorie et de combiner toutes ces notions sous forme générale:
    • Nous pouvons faire la conception d’un système qui doit suivre des consignes de type échelon avec un observateur pour estimer l’état:
    • Nous avions vu l’exemple des locomotives qui appliquait cette forme complète.

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

r sum des apprentissages ix bloqueur d ordre z ro
Résumé des apprentissages (IX)Bloqueur d’ordre zéro
  • Un bloqueur d’ordre 0 est un système qui permet de garder constante (le temps d’une période d’échantillonnage) la valeur d’un échantillon:
  • À l’entré du bloqueur, on a:
  • En intégrant, on obtient :
  • Finalement on obtient la sortie du bloqueur en soustrayant: , c’est-à-dire l’intégrale décalée de:

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

fin du dernier cours x bloqueur d ordre z ro
Fin du dernier cours (X)Bloqueur d’ordre zéro
  • Donc, la fonction de transfert du bloqueur d’ordre 0 est:
  • Exemple de système en boucle ouverte avec un bloqueur d’ordre 0 à l’entrée:

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

fin du dernier cours xi bloqueur d ordre z ro
Fin du dernier cours (XI)Bloqueur d’ordre zéro

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Exercices

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

exercices i mod le d tat
Exercices (I)Modèle d’état

Examen final 2008:

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

exercices ii mod le d tat
Exercices (II)Modèle d’état

Examen final 2009:

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

transform e en z inverse i
Transformée en z inverse (I)
  • Lorsque nous nous intéressons à « convertir » une fonction du domaine z au domaine temporel, il est nécessaire de faire appel à la notion de transformée de z inverse.
  • Dans le cadre du cours, trois différentes méthodes seront présentées pour obtenir la transformée en z inverse. Il s’agit de:
    • 1) La division directe
    • 2) L’expansion en fractions partielles
    • 3) Le calcul par récursion

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

transform e en z inverse ii la division directe
Transformée en z inverse (II)La division directe
  • Le principe de la méthode par division directe est d’obtenir une série infinie en . Ensuite, en se rappelant la définition même d’une transformée en z, i.e.:
  • Il est possible de retrouver la valeur de chaque x(k*T).
  • Considérons cet exemple:
  • Que l’on peut ré-écrire sous cette forme:

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

transform e en z inverse iv la division directe
Transformée en z inverse (IV)La division directe

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

transform e en z inverse v l expansion en fractions partielles
Transformée en z inverse (V)L’expansion en fractions partielles

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

transform e en z inverse vi l expansion en fractions partielles
Transformée en z inverse (VI)L’expansion en fractions partielles

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

transform e en z inverse vii l expansion en fractions partielles
Transformée en z inverse (VII)L’expansion en fractions partielles

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

choix d une fr quence d chantillonnage i th or me d chantillonnage de nyquist shannon
Choix d’une fréquence d’échantillonnage (I)Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon
  • Le théorème de Nyquist-Shannon (aussi parfois nommé « le théorème d’échantillonnage) énonce que la fréquence à laquelle on échantillonne un certain signal doit être au moins supérieure au double de la fréquence maximale qui compose ce signal, c’est-à-dire:
  • Où ws est la fréquence d’échantillonnage et w1 est la fréquence maximale qui compose le signal à échantillonner.

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

choix d une fr quence d chantillonnage ii th or me d chantillonnage de nyquist shannon
Choix d’une fréquence d’échantillonnage (II)Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon
  • Tiré de [7]

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

choix d une fr quence d chantillonnage iii th or me d chantillonnage de nyquist shannon
Choix d’une fréquence d’échantillonnage (III)Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon
  • À la limite, si un signal est échantillonné à exactement 2 fois sa fréquence maximale (source - wikipédia) :
  • Plusieurs signaux différents peuvent interpoler le signal véritable, c’est donc la raison pourquoi il faut que la fréquence d’échantillonnage soit plus de deux fois plus grande et non « plus grande ou égale » à la fréquence maximale qui compose le signal véritable.

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

fonction de transfert puls e ii l ments en boucle ferm e
Fonction de transfert pulsée (II)Éléments en boucle fermée

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

fonction de transfert puls e iii l ments en boucle ferm e
Fonction de transfert pulsée (III)Éléments en boucle fermée

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

fonction de transfert puls e iv exemple i
Fonction de transfert pulsée (IV)Exemple I

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

fonction de transfert puls e v exemple i
Fonction de transfert pulsée (V)Exemple I

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

fonction de transfert puls e vi exemple i
Fonction de transfert pulsée (VI)Exemple I

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

fonction de transfert puls e vii stabilit
Fonction de transfert pulsée (VII)Stabilité

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

fonction de transfert puls e viii stabilit
Fonction de transfert pulsée (VIII)Stabilité

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

pr sentation d int r ts d tudiants i photographie r f rences
Présentation d’intérêts d’étudiants (I)Photographie - Références
  • [1] A Control System for Superimposed High Speed Photographic Records – F.L. Curzon 1970
  • [2] Automatically Available Photographer Robot for controlling Composition and taking pictures – Myung-Jin Kim, Tae-Hoon Song, Seung-Hun Jin, Soon-Mook Jung, Gi-Hoon Go, Key-Ho Kwon and Jae-Wook Jeon, 2010.
  • [3]ENTROPY BASED CAMERA CONTROL FOR VISUAL OBJECT TRACKING - Matthias Zobel, Joachim Denzler; Heinrich Niemann – 2002.
  • [4]Exposure Control in a Multi-Stage Photographic System - J. W. Boone 1967.
  • [5] Image-based visual PID control of a micro helicopter using a stationary camera, Kei Watanabe, Yuta Yoshihata, Yasushi Iwatani and Koichi Hashimoto, 2007.
  • [6] Optical Image Stabilizing System using Multirate Fuzzy PID Controller for Mobile Device Camera, Hyung Jin Chang, Pyo Jae Kim, Dong Sung Song, and Jin Young Choi, 2009.

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

pr sentation d int r ts d tudiants ii photographie
Présentation d’intérêts d’étudiants (II)Photographie
  • Application #1 : le robot photographe (tiré de [2])
    • Utile lors de sinistres ou de situations critiques (e.g. Centrales nucléaires au Japon)

b) Système de vision

a) Plateforme mobile

c) Contrôleur

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

pr sentation d int r ts d tudiants iii photographie
Présentation d’intérêts d’étudiants (III)Photographie

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

pr sentation d int r ts d tudiants iv photographie
Présentation d’intérêts d’étudiants (IV)Photographie
  • 2ième application (tiré de [6]):
    • Stabilisateur d’image pour caméra digitale portable.
    • Basé sur la lecture de gyroscopes et de capteur d’accélération linéaire, l’algorithme de contrôle évalue les vibrations subies par l’appareil et minimise leur impact en corrigeant la position du capteur photographique (CCD : Charged Coupled Device) à l’aide d’un moteur de type « voice coil ».

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

pr sentation d int r ts d tudiants vii photographie r sultats
Présentation d’intérêts d’étudiants (VII)Photographie - Résultats

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

pr sentation d int r ts d tudiants viii photographie r sultats
Présentation d’intérêts d’étudiants (VIII)Photographie - Résultats

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

pr sentation d int r ts d tudiants ix photographie r sultats
Présentation d’intérêts d’étudiants (IX)Photographie - Résultats

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

prochain cours
Prochain cours
  • Commande des systèmes échantillonnés:
    • Lieux des racines
    • Critère de Jury
    • Erreur en régime permanent
    • Équivalent discret d’un contrôleur continu
    • Réponses basées sur le système de deuxième ordre

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

r f rences
Références
  • [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop
  • [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise
  • [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle
  • [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh
  • [5] R.C. Dorf and A. Kusiak, Handbook of Manufacturing and Automation, John Wiley & Sons, New York, 1994.
  • [6] Jean-Philippe Roberge, Étude et commande d’un système mécanique avec liens flexible, 2009.
  • [7]Pascal Bigras, Asservissement numérique en temps réel, notes de cours, cours #1 2007.

Jean-Philippe Roberge - Mars 2011