Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

1. SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 5.HAFTA İÇERİĞİ

2. Sayısal İntegrasyon SAYISAL YÖNTEMLER Basit fonksiyonların (polinom, üstel ve trigonometrik gibi sürekli fks.lar) integrali analitik olarak hesaplanabilir. Fakat integrali zor olan karmaşık yapıdaki fonksiyonların analitik olarak hesaplanması ya zor ya da imkansızdır. Bu gibi durumlarda sayısal integralden yararlanılır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

3. Sayısal İntegrasyon SAYISAL YÖNTEMLER Sayısal integrasyon yukarda verilen herhangi bir integralin değerinin yaklaşık olarak bulunmasıdır. İntegralin sınırları olan a ve b sayıları sabit ve fonksiyon bu aralıkta sürekli ise integralin sonucu sabit bir sayıdır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

4. y f(x) 0 x a b SAYISAL YÖNTEMLER Bu integralin değeri x=a ve x= bdoğruları ile y=f(x)eğrisinin altında kalan alana eşittir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Sayısal integrasyon verilen a-b aralığında fonksiyon n parçaya ayrılarak her bir parçanın alanının bulunması yöntemlerini içerir. Daha sonra ise toplam alan yani integralin yaklaşık değeri hesaplanır.

5. Sayısal İntegrasyon Yöntemleri SAYISAL YÖNTEMLER • Dikdörtgenler Yöntemi • Yamuk (Trapez) Yöntemi • Simpson Yöntemi • Orta Nokta Yöntemi • Gauss Yöntemi Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

6. Dikdörtgenler Yöntemi y f(x) so s1 s2 … Sn-1 yo y1 y2 y3 … yn h h h … h 0 a=xo x1 x2 x3 … x b=xn SAYISAL YÖNTEMLER yo= f(xo) ve yn= f(xn) so= h·yo = h·f(xo) s1= h·y1 = h·f(x1) . . . Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Sn-1= h·yn-1 = h·f(xn-1) a ve b arasını n adet çubuk ile böldüğümüzde oluşan dikdörtgenlerin alanının hesaplanması amaçlanır.

7. ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER İntegralini n= 6 için dikdörtgenler yöntemini kullanarak bulunuz. I. Basamak Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü xn=8 ve xo=1

8. SAYISAL YÖNTEMLER II. Basamak Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

9. Yamuk Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Bu yöntemde integrasyon n sayıda yamuk kullanılarak hesaplanır. y f(x) fi=f(xi) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü h hi=i. dikdörtgenin genişliği 0 hi=xi+1 - xi x xo=a xi xn=b Eğer dikdörtgenin genişliği sabit ise h=(b-a)/n = (xn-xo)/n

10. SAYISAL YÖNTEMLER İntegralini [a,b] aralığında n eşit parçaya ayıralım. y y=f(x) Her bölme noktasından dikler çıkılır bu dikler ile f(x) eğrisinin kesiştiği noktalar birer doğru ile birleştirilir. Bu durumda n adet yamuk elde edilir. G Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü F E B C D A s2 … … sn s1 yo y1 y2 … … yn h h h … h 0 a=xo x1 x2 b=xn … x

11. SAYISAL YÖNTEMLER y y=f(x) G F xoABx1 yamuğunun alanı E B C D A s2 … … sn s1 S1=(1/2)·h·(yo+y1) yo y1 y2 … … yn S2=(1/2)·h·(y1+y2) h h h … h Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 0 … a=xo x1 x2 … b=xn x Sn=(1/2)·h·(yn-1+yn)

12. SAYISAL YÖNTEMLER Toplam Alan S=S1+S2+…+Sn S=(1/2)·h·(yo+y1)+…+(1/2)·h·(yn-1+yn) S=(1/2)·h·(yo+2y1+2y2+…+2yn-1+yn) S=h·((yo+yn)/2+y1+y2+…+yn-1) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü yo=f(xo) yn=f(xn) xo=a xn=b alarak yeniden düzenlersek olur

13. Örnek SAYISAL YÖNTEMLER İntegralini n=4 için yamuk yöntemi kullanarak hesaplayınız I. Adım : xo=0 ve xn=1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü II. Adım :

14. SAYISAL YÖNTEMLER III. Adım : Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bu fks.için gerçek integral :

15. SAYISAL YÖNTEMLER • ÖDEV: • integralinin değerini n=4 için yamuk • ve dikdörtgen yöntemleri ile çözünüz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü