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Máximo e Mínimo. Calculo II Prof Me Carlos Bifi. Para que serve o cálculo Diferencial?. Algumas das aplicações mais importantes do Cálculo Diferencial são os problemas de Otimização , em que devemos encontrar a melhor maneira de fazer alguma coisa, por exemplo:
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Máximo e Mínimo Calculo II Prof Me Carlos Bifi
Para que serve o cálculo Diferencial? Algumas das aplicações mais importantes do Cálculo Diferencial são os problemas de Otimização, em que devemos encontrar a melhor maneira de fazer alguma coisa, por exemplo: • Qual é a forma de uma lata que minimiza o custo de manufatura? • Qual é a aceleração máxima de um ônibus espacial? • Qual a raio de uma traqueia contraída que expele mais rapidamente o ar durante uma tosse? Problemas desse tipo podem ser reduzidos a encontrar valores máximo e mínimo de uma função. Mas o que seria valores Máximo e Mínimo de f?
Definição Uma função f tem máximo absoluto em c se f(c) ≥ f(x) para todo x em D, onde D é o domínio da função. O número f(c) é chamado de valor máximo de f em D. Analogamente, f tem mínimo absoluto em c se f(c) ≤ f(x) para todo x em D, onde D é o domínio da função. O número f(c) é chamado de valor mínimo de f em D.
O gráfico abaixo mostra a f com máximo absoluto em a e mínimo absoluto em b note que (a,f(a)) é o ponto mais alto e (b,f(b)) é o ponto mais baixo. Máximo absoluto y f(a) Mínimo absoluto f(b) x b a
Existem funções que podem ter máximos locais e mínimos locais isso dependerá do intervalo que você está estudando. Veja o gráfico agora. y f(a) f(d) f(c) f(b) x c d a b Se considerarmos somente os valores de x próximos de c, restringindo um intervalo pequeno entre c, então f(c) será um mínimo local, e se considerarmos os valores próximos de d, também restringindo um intervalo pequeno entre d, o f(d) será o máximo local.
Definição Uma função f tem máximo local (máximo relativo) em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c. [Isso significa que f(c) ≥ f(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo c]. Analogamente, f tem mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
Exemplo 1 A função “f(x) = cosx” assume seu valor de máximo (local e absoluto) de 1 um número infinito de vezes, uma vez que : cos 2nπ = 1 para todo período n e imagem como -1 ≤ cosx ≤ 1 para todo x. Da mesma forma, cos (2n+1)π = -1 é seu valor mínimo, onde n é qualquer inteiro.
Exemplo 2 Se f(x) = x², então f(x) ≥ f(0) , pois x² ≥ 0 para todo x. portanto f(0) = 0 é o valor mínimo absoluto (e local) de f. isso corresponde ao fato de que a origem é o ponto mais baixo sobre a parábola y = x² . Porém, não há um ponto mais alto sobre a parábola, e dessa forma a função não tem valor máximo.
Exemplo 3 Dado o gráfico y = x³ vemos que essa função não tem nem valor máximo nem valor mínimo absoluto. De fato, ela não tem nenhum valor extremo local.
Exemplo 4 O gráfico da função está abaixo. Você pode ver que f(1) = 5 é um máximo local, enquanto o máximo absoluto é f(-1) = 37 (esse máximo absoluto não é o máximo local, pois ocorre num extremo do intervalo). Também, f(0) = 0 é o mínimo local como mínimo absoluto. Note que em x = 4, f não tem um máximo local nem máximo absoluto.
Vamos observar o seguinte: f(c) • O gráfico acima mostra o máximo em (c,f(c)) e um mínimo em (d,f(d)). Parece que nos pontos de máx. e de min. as retas tangentes são horizontais (retas em vermelho) e, portanto cada uma tem inclinação zero. Logo f’(c) = 0 e f’(d) = 0, então podemos ver que: f(d) c d
Teorema de Fermat • Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, e f’(c) existir, então f’(c) = 0. O teorema de Fermat sugere que devemos pelo menos começar procurando por valores extremos de f nos números c onde f’(c) = 0 ou onde f’(c) não existe. Tais números tem um nome especial . Número Crítico Número Crítico de um f é um número c no domínio de f onde ou f’(c) = 0 ou f’(c) não existe.
Exemplo. • Encontre os números críticos da função • Depois de resolvido concluímos pelo teorema que: se f tiver um valor máximo ou mínimo local em c, então é um numero critico de f. • Regra: Para encontrar os valores máximo e mínimo absoluto de uma f continua em um intervalo fechado [a,b] • Encontre os valores de f nos extremos de f nos números críticos de f em (a,b) • Encontre os valores de f nos extremos do intervalo • O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.
Exemplo. • Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função Resolução na lousa
Exemplo • O telescópio espacial Hubble foi colocado em orbita em 24 de abril de 1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão do lançamento em t=0 até a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s é dado por: (em pés/s). Usando esse modelo estime os valores máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a entrada do foguete auxiliar. Dica : pede-se os valores extremos da aceleração
Crescimento e Decrescimento de uma função • Função crescente derivada positiva f(x) > 0 • Função decrescente derivada negativa f(x) < 0 • Função constante derivada nula f(x) = 0
Exemplo: • Encontre os intervalos onde as funções abaixo é crescente ou decrescente • (a) • (b)
Ponto de Inflexão • O ponto no qual ocorre a variação de concavidade da função denomina-se Ponto de Inflexão. Se a derivada Segunda (f’’(x)) é definida no ponto de inflexão, seu valor tem que ser zero. Os pontos de inflexão podem ocorrer onde a derivada Segunda é indefinida. • Os pontos nos quais a derivada Segunda da função é nula ou indefinida denominam-se pontos críticos de Segunda ordem. • Sem formalidades, o ponto de inflexão é o momento onde a curva muda de sentido de concavidade que está para baixo para a concavidade que está para cima, ou vice-versa • Como encontrar esse ponto de transição?
Exemplo: • Considere a função 1º. Vamos verificar onde a função é crescente e decrescente, calculando a f’(x) = 0 Veja o Gráfico como ficou!!!
2º. Vamos verificar onde o gráfico muda a concavidade de baixo para cima ou vice-versa. Para tal procedimento calcularemos a derivada segunda e igualamos a zero. f’’(x) = 0. • Veja o gráfico novamente
Exemplo. • Dada a função , determine se os pontos críticos são de máximo ou de mínimo relativo. • gráfico
Observação. • Neste último exemplo, não foram dados os extremos do domínio da função. Então, para verificar se os pontos críticos são de máximo relativo ou de mínimo relativo, faremos a substituição das raízes encontradas no valor de x na f’(x) = 0, na segunda derivada e faremos o seguinte estudo • Se f’’(raiz) > 0, então teremos ponto de MÍNIMO. • Se f’’(raiz) < 0, então teremos ponto de MÁXIMO. • Logo, os pontos críticos são: • f’’(0) = 12(0)² - 4 = - 4 ( x = 0 é um ponto de máximo relativo) • f’’(-1) = 12(-1)² - 4 = 8 ( x = -1 é um ponto de mínimo relativo) • f’’(1) = 12(1)² - 4 = 8 (x = 1 é um ponto de mínimo relativo)
exercício de aplicação • Uma empresa de confecção de engrenagens em automação industrial apresenta as funções da receita e do custo (em milhões de reais), respectivamente, para produzir engrenagens de aço. Elas são dadas: , encontre: • A produção para que o custo seja mínimo; • Os intervalos em que a função custo cresce ou decresce; • A produção para que a receita seja máxima; • Os intervalos em que a função receita cresce e decresce; • Se a função lucro é L = R – C, qual o nível de produção para o lucro seja máximo? • Chamamos ponto de ruptura o ponto de inflexão. Qual seria esse ponto?
Exercício de aplicação • Suponha que a equação de demanda para uma certa mercadoria seja p = 4 – 0,0002x, onde x é o numero de unidades produzidas semanalmente e p reais é o preço de cada unidade. O número do custo total da produção de x unidades é C(x) = 800 + 3x. Se o lucro semanal deve ser o maior possível, encontre o número de unidades que serão produzidas semanalmente, o preço de cada unidade e o lucro semanal • Lembrando que R(x) = preço de venda x quantidade vendida.
Exercício • Verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função: f(x) = 3x² + 6 • Determine os intervalos em que a função abaixo é crescente, decrescente, determine os extremos relativos o ponto de inflexão e esboce o gráfico. f(x) = 2x³ + 3x² - 12x - 7
INTEGRAL INDEFINIDA CONCEITO DE INTEGRAL INDEFINIDA Dada uma função f, uma integral indefinida de f é outra função F tal que a derivada F’ é igual à função f. Assim, temos: Se F´(x) = f(x) então F(x) é uma primitiva de f(x).
ASSIM... Seja f(x) = 2x, então a função primitiva é F(x) = x². Dizemos que F(x) = x² é uma integral indefinida de f. Observação as funções h(x) = x² + 3, g(x) = x² - 4, m(x) = x² + , enfim, as funções do tipo β(x) = x² + K, são primitivas da função f(x) = 2x, pois as derivadas de [β(x)]’ resultam 2x. Pelo que foi dito até aqui, podemos concluir que a integração indefinida é a operação inversa da derivação, (ou da diferenciação) a menos de uma constante. Em notação temos:
Mas como encontrar tais Integrais? Tabela de Integral
