Cinética Fracionária

1. Cinética Fracionária Seminário Fora de Área Miguel Quartin Abril 2005

2. Resumo • Motivação • Cinética Não-Fracionária • Lei de Fick da Difusão e Cam. Aleatória (RW) • Teoria de Langevin • Eq. de Fokker-Planck • Cinética Fracionária • Cálculo Fracionário • Cam. Aleatória de Tempo Contínuo (CTRW) • Eq. de Fokker-Planck Fracionária (FFPE) • Outro Exemplo Físico • Conclusões • Referências

3. Motivação • As leis convencionais que governam a difusão prevêem que o deslocamento médio quadrático r2(t)de partículas imersas em um fluido é dado pela lei de escala: • Diversos sistemas físicos, no entanto, violam essa lei de escala. Alguns exemplos são encontrados em: • Passagem de moléculas de ssDNA curtas (até 300 nucleotídeos) por membranas; • Transporte dispersivo em semicondutores amorfos; • Dinâmicas de uma conta em uma rede de polímeros; • Ótica quântica; • Nestes sistemas, vale:

4. Análoga à Lei de Ohm e à Lei de Fourier do fluxo de calor Se a condição inicial for A Lei de Fick (1855) • Teoria fenomenológica da difusão. • Premissa básica: a difusão equilibra as concentrações. Então

5. A Teoria de Einstein-Smoluchowski (1-D) • Hipótese: a cada impacto (que ocorre, em média, após um tempo ) a partícula dá um salto de x=±L (magnitude constante) A probabilidade da partícula se encontrar em m (:= x / L) após n (:= t / ) saltos sucessivos é dada por:

6. Logo, onde Compare com a eq. A Teoria de Einstein-Smoluchowski (1-D) Se n  1 (t ), podemos usar a aprox. de Stirling: Hip. Ergódica

7. Se mostra então que, para t M Comparando com a eq. obtida pela Lei de Fick, deduzimos que Relação de Einstein Se uma partícula de massa pequena estiver sujeita a uma força adicional f(r,t), então: Teoria de Langevin (1906) • As forças que atuam sobre uma partícula browniana “livre” podem ser decompostas em duas partes

8. - j(r,t ) A Eq. de Fokker-Planck (1913) • Simplificação da Equação Mestra para o caso de uma partícula cuja massa é muito maior que a massa das moléculas com as quais colide • Considera tanto os impactos descorrelacionados das moléculas como forças externas determinísticas.

9. Podemos generalizar a eq. acima para a chamada derivada de Riemann-Liouville Cálculo Fracionário • É desenvolvido há mais de 300 anos por, dentre outros: Laplace, Riemann, Liouville, Heaviside e Erdélyi; • Até a década de 90  restrito ao campo da matemática; • Recentemente  usado para descrever processos físicos, como difusão (lenta) anômala. (Ex.: r2(t)  t)

10. A limite inferior A é arbitrário. Normalmente, escolhe-se A = 0 ou A = -. Esta liberdade de definição é vantajosa e permite uma informação física adicional. Cálculo Fracionário • Um modo mais elegante de introduzir derivadas fracionárias é através da identidade integral:

11. Estamos interessados em A = 0 e 0 <  < 1 Cálculo Fracionário • Propriedades interessantes:

12. Cam. Aleatórias de Tempo Contínuo (CTRW) • Caminhadas aleatórias e difusão servem de interface entre cinética e o cálculo fracionário. • RW é o modelo mais simples que leva à eq. de difusão. • Nas CTRW, a condição de constância temporal dos passos é retirada. • Os intervalos são descritos por uma função de espera(t). Esta função pode ser fruto de obstáculos e armadilhas que atrasam o movimento da partícula. • Se o tempo médio de espera  for finito, a Lei de Fick é re-obtida  não nos interessa • Se   , a situação muda drasticamente

13. Pelos mesmos argumentos da teoria de Einstein-Smoluchowski, pode se mostrar que neste caso Cam. Aleatórias de Tempo Contínuo (CTRW) • Funções de espera mais utilizadas (0 <  < 1):  < 1  sub-difusão  > 1  super-difusão

14. t t P(x, t = ) P(x, t = ) x x

15. Cam. Aleatórias de Tempo Contínuo (CTRW) Rede de percolação tipo “queijo suíço”. Exemplo de sistema onde a difusão é caracterizada por uma CTRW. As partículas ficam presas por algum tempo nos poros (zonas escuras) até voltarem ao fluxo nas “espinhas dorsais” (zonas claras).

16. A Eq. de Fokker-Planck Fracionária • Uma generalização da Lei de Fick consistente com a eq. r2(t)  t é dada por: • Analogamente, podemos generalizar a eq. de Fokker-Planck para: • Vantagens sobre a abordagem de CTRW: • Torna possível a análise de transporte no espaço de fase; • Inclusão de campos externos é imediata.

17. FFPE em Potenciais Harmônicos • Exemplo: difusão em 1-D em um potencial harmônico U(x) = bx2/2 (processo de Ornstein-Uhlenbeck). A tática para a resolução desta equação é aplicar uma Transf. de Fourier em x, seguida de uma Transf. de Laplace em t. Para tal, é necessário introduzir a função de Mittag-Leffler E:

18. Característica típica de CTRW “largas”

19. Note a escala logarítmica!

20. < > x 2 FPE FFPE 1.5 1 0.5 t 0 1 2 3 4 5 FFPE em Potenciais Harmônicos • A eq. de Fokker-Planck tradicional implica em: • A FFPE implica em:

21. Rede de resistores e capacitores Rede de contas e molas em meio viscoso Outro Exemplo Físico

22. Conclusões • FFPE permite modelar sistemas que apresentam sub-difusão de um modo simples e elegante; • A abordagem fracionária é de certo modo equivalente à da generalização da Equação Mestra, mas permite de forma imediata: • Inclusão de campos externos; • Resolução de problemas de valores de contorno; • FFPE possui vantagens sobre modelos de RW; • O cálculo fracionário é aplicável a uma razoável diversidade de sistemas físicos.

23. Referências • I. Sokolov, J. Klafter, A. Blumen, Physics Today, vol. 55, n. 11, pág. 48 (2002) • R. Pathria, Statistical Mechanics, Pergamon • R. Metzler, J. Klafter, Phys. Rep., 339, 1 (2000) • R. Metzler, J. Klafter, arXiv:cond-mat/0306599 v1 (2003) • Eric W. Weisstein. "Mittag-Leffler Function." From MathWorld-- A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Mittag-LefflerFunction.html • W. Schneider, W. Wyss, J. Math. Phys. 30, 134 (1989)