Fonction puissance et modélisation

1. Fonction puissanceet modélisation Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2. Introduction On peut, à partir de la forme obtenue en représentant graphiquement des données expérimentales, faire l’hypothèse d’une variation directement proportionnelle au carré, d’une variation inversement proportionnelle ou inversement proportionnelle au carré. Pour confirmer une telle hypothèse, il faut appliquer un critère algébrique qui nous permet également de déterminer la constante de proportionnalité. C’est la procédure que nous étudierons maintenant, mais rappelons tout d’abord les caractéristiques de ces variations.

3. Lien directement proportionnel au carré y x2 y = ax2, d’où = a, si x ≠ 0 et y = 0 lorsque x = 0. y Pour modéliser des données expérimentales, on peut faire l’hypothèse d’un lien directement proportionnel au carré entre les variables lorsque les conditions suivantes sont satisfaites : • la variable dépendante est nulle lorsque la variable indépendante est nulle; x • la représentation graphique des données expérimentales donne une courbe croissante et concave vers le haut. Un lien directement proportionnel au carré est de la forme : On peut donc confirmer ou infirmer l’hypothèse, en calculant le quotient de chaque valeur de la variable dépendante sur le carré de la valeur correspondante de la variable indépendante. L’hypothèse est confirmée lorsque ces quotients sont relativement constants, la valeur moyenne de ces quotients est la constante a.

4. Lien inversement proportionnel a x y = , d’où l’on tire yx = a y Pour modéliser des données expérimentales, on peut faire l’hypothèse d’un lien inversement proportionnel entre les variables lorsque les conditions suivantes sont satisfaites : • la relation n’est pas définie lorsque la variable indépendante est nulle; x • la représentation graphique des données expérimentales donne une courbe décroissante et concave vers le haut. Un lien inversement proportionnel est de la forme : On peut donc confirmer ou infirmer l’hypothèse, en calculant le produit des valeurs correspondantes des deux variables. L’hypothèse est confirmée lorsque ces produits sont relativement constants, la valeur moyenne de ces produits est la constante a.

5. Lien inversement proportionnel au carré a x2 y = , d’où l’on tire yx2= a y Pour modéliser des données expérimentales, on peut faire l’hypothèse d’un lien inversement proportionnel au carré entre les variables lorsque les conditions suivantes sont satisfaites : • la relation n’est pas définie lorsque la variable indépendante est nulle; x • la représentation graphique des données expérimentales donne une courbe décroissante et concave vers le haut. Un lien inversement proportionnel est de la forme : On peut donc confirmer ou infirmer l’hypothèse, en calculant le produit des valeurs correspondantes de la variable dépendante et du carré de la variable indépendante. L’hypothèse est confirmée lorsque ces produits sont relativement constants, la valeur moyenne de ces produits est la constante a.

6. Exemple 3.3.1 x y 0 4 6 11 15 20 24 27 0,0 2,3 9,0 16,9 32,0 56,2 80,4 102,4 120 80 40 y S S S 8 16 24 x y/x2 On a relevé expérimentalement les correspon-dances ci-contre. – 0,14375 0,14063 0,13967 0,14222 0,14050 0,13958 0,14047 Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les variables. À l’aide du modèle, déterminer la valeur correspondante lorsque la variable indépendante prend la valeur 13. Représentons graphiquement les données. Le modèle mathématique est : La relation est définie à x = 0 et la valeur correspondante est y = 0. y = 0,14097x2 Si x = 13, on trouve alors en substituant dans la relation : La représentation graphique donne une courbe croissante et concave vers le haut. On peut donc faire l’hypothèse d’un lien directement proportionnel au carré. y = 0,1409 ´ 132 = 23,82393 Conclusion Calculons les quotients pour tester notre hypothèse. Compte tenu de la précision des données, on retiendra 24 comme valeur de la variable dépendante. Les quotients sont relativement constants et la valeur moyenne est a = 0,14097.

7. 1,543 x2 y = 1,543 (1,4)2 Exemple 3.3.2 y = = 0,787244... x y 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 9,62 2,41 1,07 0,60 0,38 0,27 0,20 12 8 4 y S S S S 0,8 1,6 2,4 x yx yx2 On a relevé expérimentalement les corres-pondances ci-contre. 3,848 1,928 1,284 0,960 0,760 0,648 0,560 1,539 1,542 1,541 1,536 1,520 1,555 1,568 Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les variables. À l’aide du modèle, déterminer la valeur correspondante lorsque la variable indépen-dante prend la valeur 1,4. Faisons maintenant l’hypothèse que le lien est inversement proportionnel au carré et vérifions celle-ci par les produits yx2. Le modèle mathématique est : Représentons graphiquement les données. La relation ne semble pas définie à x = 0. La représentation graphique donne une courbe décroissante et concave vers le haut. Si x = 1,4, on trouve alors en substituant dans la relation : Les produits sont relativement constants et la valeur moyenne est 1,543. On peut donc faire l’hypothèse d’un lien inversement proportionnel. Conclusion Calculons les produits pour tester notre hypothèse. Compte tenu de la précision des données, on retiendra 0,79 comme valeur de la variable dépendante. Les produits ne sont pas constants, ce qui infirme l’hypothèse.

8. Exemple 3.3.3 x y 0,0 3,2 5,5 7,3 9,2 11,4 12,7 13,8 0,0 4,3 5,7 6,6 7,4 8,2 8,7 9,0 12 8 4 y S 4 8 12 x On a relevé expérimentalement les correspon-dances ci-contre. Déterminer un modèle mathématique décrivant la correspondance entre les variables. Représentons graphiquement les données. La relation est définie à x = 0 et la valeur correspondante est y = 0. La représentation graphique donne une courbe croissante et concave vers le bas. On peut donc faire l’hypothèse d’un lien de puissance y = axb, où 0 < b < 1. Cependant, nous ne sommes pas en mesure de confirmer ou d’infirmer cette hypothèse car nous ne disposons pas de critère algébrique pour le faire. Pour déterminer un modèle décrivant ces données, il faut avoir recours à la régression.

9. Conclusion La représentation graphique de données expérimentales suggère une ou des hypothèses quant au lien entre les variables. Pour confirmer ou infirmer ces hypothèses, il faut avoir recours à un critère algébrique. Il existe des critères algébriques simples permettant de confirmer algébriquement l’hypothèse d’une relation de la forme : y = axb pour b Î {–2; –1; 1; 2} Cependant, lorsque l’exposant est différent des valeurs de cet ensemble, il n’existe pas de critère simple. Il faut alors avoir recours à la méthode de régression que nous verrons dans la présentation intitulée Régression logarithmique.

10. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 3.3, p. 80 à 84. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 3.4, p. 85 à 86.