積分的意義 Integration

1. 積分的意義Integration 組員：鐘志翔、羅有呈、梁君熙

2. 主題 • 引言.基本概念 • 積分的符號.用處 • 圖形的面積 • 多邊形的面積 • 積分的意義

3. 引言.基本概念 • 在談積分之前，不得不複習所謂微量的概念。任何一個量都容許些微的變動，比方說，時間是一個量，在某時刻 t的時候，可以讓 t再往前走一點點，或者往後走一點點，這個「一點點」就是一個微量，通常記成△t，△t可正可負，它的值不必確定，它可以是千分之一、萬分之一、或是更小更小。一般而言，現象通常以一個或多個量來描述，例如在 t時刻，某物的位置在 x，或是當密度為 ρ 的時刻，某物所受的浮力為 F等等。

4. 當我們觀察兩個相關的量時，其中一個量微微的變化會影響另一個量也跟著起了微微的變化，也就是說，這兩個微量的變化之間是相關的。由於生活中一些具體事物的啟發，我們因此專注在理解兩個微量之間的比值。比方說 ，又由於△t的大小並不確定，我們因此發展了一個令△t趨近於 0 的（求極限）處理方式，記成：

5. 上式稱為 x對 t的微分。如果了解求微分的操作，就可以從已知的公式中如 ，得到當 x=t2時，△x和△t的比之極限是 2t。在更多的場合，我們常常喜歡使用另一種寫法，即 d(t2)=2tdt，或 d(x2)=2xdx • 如果兩個量 y與 x之間有 y=x2的關係，那麼從 d(x2)=2xdx這個關係式中，y=x2對 x的微分就是 2x，經常我們把上述的觀念直接表成 。 那麼如果 y=f(x)，則dy=f(x)dx。

6. 積分符號.用處 • 積分，則是一個把許多微量重新求和的概念。例如，想求圓的面積 A，如果把圓割成許多小小的扇形，這每一個小小的扇形可以籠統的以 dA表達。在分割的過程中，無論分成多麼細的扇形，它們的總和總是原來的 A這個量，記成 或 ， 是 的變形，它代表對無窮多個無窮小的微量求和的過程。

7. 再說， 也不能簡單的看成是一句廢話，這個式子有兩個要緊之處，其一就是剛才談過的「A是一個不變的總量」這件事，任何一個問題的處理，都要注意到所求的量是不會因為求法的不同而改變的。其二就是 的這個表示，必須要倚重另一個量才有真正的用處。

8. 例如弧長 s，我們知道一個小扇形可以看成是一個小小的等腰三角形，它的底邊近似來看是 ds而腰或高的近似就是半徑 r，因此 這樣一個表示同時也提醒我們 dA和 ds這兩個微量之間的關係，這個關係是從本文一開始就一再強調的。

9. 知道了 ，則 就是 的1/2r倍，但是 的意義正是求所謂圓周的總長，因此得到圓面積的公式 我們注意到，如果不能把 dA表達成另一個微量 ds的一個係數，那麼即便是寫下 也是無法真正求出一個答案來。

10. 可以這麼說，若是想求一個量 Q，積分的意義就在於把 Q表成 之後，再繼續把 dQ以某一個更方便的微量 dP來表成 ，則 ，如果能解 ，就可以掌握 Q，這樣的想法和過程不僅幫我們求出答案，同時，也說明了求 Q的方式不外是了解 再得到 Q，這個過程有人說成是求 的反微分，因為 是 Q的微分，所以 Q就是 的反微分了。

11. 至於求 Q的時候要選誰當（參考量）P呢？那當然要看哪一個 P才能提供最清楚的 。一般來說，問題的本身可能會提供不只一個的參考量 P，但是若是不能方便的知道 ，如何求 Q也就幫不上忙。

12. 再以求 y=f(x) 的函數圖形下所覆蓋的面積 A為例，如果以 x為參考量的話，要如何理解 呢？注意到 是 的極限，也就是說要先了解當 x變化到 x+△x時，A究竟起了什麼變化？當然 △A 是一個近似的梯形，它的高是 △x，下底和上底分別是 y和 y+△y，同時面積 △A近似等於 ，而 近似等於 ，當 △x 趨近於 0，得到 ，所以求 A等於是求 y=f(x) 的反微分，這正是牛頓與 Leibniz 發現的微積分基本定理。

13. 圖形的面積 • 在一平面上，三角形、四邊形或其他多邊形，都能圍出一個封閉區域，也都有其各自的面積。，此外圓、橢圓以及各種型態的曲線，只要能圍出一個封閉區域，同樣具有一定的面積。

14. 一個封閉區域R的面積可記為A(R)。關於面積，我們有以下三點基本共識：一個封閉區域R的面積可記為A(R)。關於面積，我們有以下三點基本共識： (1)若區域R經平移或旋轉或鏡射後得區域R’(R’與R全等)，則R’的面積與R的面積相等，即A(R’)＝A(R) (2)若區域R1包含於區域R2，則R1的面積不大於R2的面積，即A(R1)≦A(R2)

15. (3)若區域R可以分割成不重疊(邊界除外)的兩區域R1與R2，則R的面積等於R1與R2面積之和，即A(R)＝A(R1)＋A(R2)(3)若區域R可以分割成不重疊(邊界除外)的兩區域R1與R2，則R的面積等於R1與R2面積之和，即A(R)＝A(R1)＋A(R2) 由(3)又可進一步推得：若區域可以分割成不重疊的個區域R1，R2，…，Rn，則 A(R)==A(R1)＋A(R2)＋…＋A(Rn)

16. 多邊形面積 • 我們都知道三角形的面積是底乘以高的一半，由於任意多邊形皆可分割成有限個三角形，會求三角形的面積之後，就可以求多邊形的面積了。 • 有些特殊的多邊形可以分割成若干個矩形，再將這些矩形面積相加，便得多邊形的面積。

17. 積分的意義 • 一般而言，在座標平面上，如果要考慮一條x軸上方的曲線y＝f(x)(f(x)≧0)在鉛直線x＝a與x＝b(b＞a)之間與軸所圍區域之面積，如圖所示：

18. 設n是一個正整數，並以鉛直線x＝a＋ (b－a)，x＝a＋ (b－a)，…， x＝a＋ (b－a)將區域R分割成n個部分，其中第k部分(k＝1，2，…，n)由曲線y＝f(x)，鉛直線x＝a＋ (b－a)及x＝a＋ (b－a)與x軸所圍成。設函數f在閉區間[a＋ (b－a) ，a＋ (b－a)]中的最小值為mk，最大值為Mk，則第k部分之面積介於兩個矩形之間，如圖所示：

19. 其中較小矩形之面積為 ˙mk，較大矩形之面積為 ˙Mk，故區域R之面積介於Ln＝ 與 Un＝ 之間，即Ln≦A(R)≦Un。當n趨向無窮大時，只要函數f在閉區間[a，b]上連續，數列〈Ln〉與〈Un〉會趨近同一個正數α，即limLn＝α且limUn＝α。因此α≦A(R)≦α，於是得到區域R的面積A(R)＝α。一般而言，要取得函數f在閉區間Ik＝[a＋ (b－a) ，a＋ (b－a)]中的最小值mk及最大值Mk，未必容易。

20. 事實上，我們可以任取tk Ik，並令Tn＝ ，則由於mk≦f(tk)≦Mk 而有 ≦ ≦ 即Ln≦Tn≦Un， 此時，limLn＝limUn＝A(R)，由夾擠定理知limTn＝A(R)。我們通常將tk一律取為閉區間Ik的右端點或左端點的中點。

21. 參考資料 • 高中數學課本康熙版數學甲下冊2-4 • 相關網頁：微積分基本定理 微積分與差和分大意（蔡聰明） 人怎樣求得面積？（黃武雄） Leibniz 如何想出微積分？（蔡聰明）