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퍼지 이론 (Fuzzy Theory). 컴퓨터를 인간에 가깝게 하는 일의 어려움 컴퓨터의 수치 및 기호처리를 이용 → 모호하지 않은 작업처리 인간의 행동 → 애매한 정보를 많이 이용 ↓ 퍼지 이론 : 애매함을 처리하는 수리 이론 Zadeh 의 퍼지 집합 “아름다운 여자의 집합” , “ 키 큰 사람의 집합” 패턴 인식 , 의미 정보 전달 , 추상화 등에 중요한 역할 소속 여부가 확실하지 않은 경우의 집합 - 수학적 집합과 배치 정밀 복잡한 제어 이론을 개괄적으로 해결하려는 의도

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퍼지 이론 (Fuzzy Theory)


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Presentation Transcript
fuzzy theory
퍼지 이론 (Fuzzy Theory)
  • 컴퓨터를 인간에 가깝게 하는 일의 어려움
    • 컴퓨터의 수치 및 기호처리를 이용 → 모호하지 않은 작업처리
    • 인간의 행동 → 애매한 정보를 많이 이용

    • 퍼지 이론: 애매함을 처리하는 수리 이론
  • Zadeh의 퍼지 집합
    • “아름다운 여자의 집합”, “키 큰 사람의 집합”
    • 패턴 인식, 의미 정보 전달, 추상화 등에 중요한 역할
    • 소속 여부가 확실하지 않은 경우의 집합 - 수학적 집합과 배치
    • 정밀 복잡한 제어 이론을 개괄적으로 해결하려는 의도
  • Crisp 논리 vs Fuzzy 논리
    • 0,1의 명제값과 0과 1사이의 실수값을 명제값으로 가짐
    • “오늘 비가 올 확률이 70%이다” → 명제의 확신도 → 확률과 다른가?
    • “내일 미인을 만날 확률이 50%이다” → 내일의 만남은 확률, 미인인지는 애매함
fuzzy set
퍼지 집합(Fuzzy Set)
  • 기호
    • 집합 X의 최대값 연산: ∨ 최소값 연산: ∧
    • 전체 집합 X의 각 원소 x가 X의 퍼지 집합 A에 속하는 정도, 즉 퍼지 집합 A의 소속 함수(membership function)
    • x∈X가 퍼지 집합 A에 소속되는 정도(degree or grade of

membership)

  • 퍼지 집합 표현
    • 집합 X가 이산:
    • 집합 X가 연속:
slide3
지지 집합(Support Set)

예) 퍼지집합 A={1.0/1, 0/2, 0.5/3, 0/4, 0.2/5}일 때, supp(A)?

해: supp(A) = { 1, 3, 5 }

  • 정규 퍼지 집합(Normal Fuzzy Set)
    • x∈X중에서 적어도 하나의 원소가 퍼지 집합 A의 소속 함수 값이 1이 될때, A는 정규 퍼지 집합이라 한다.

or

  • 볼록 퍼지 집합(Convex Fuzzy Set)
slide4
상등(집합 X의 두개의 퍼지 집합 A, B)

예) 퍼지 집합 A={ 1/1, 0.5/2, 0/3}, B={y| y=-1/2x+3/2, for x=1,2,3}

해: 퍼지 집합 A=B

  • 포함 (집합 X의 두개의 퍼지 집합 A, B)

예) 퍼지 집합 A={키 큰 사람}, B={키가 작지 않은 사람}일 때 포함관계?

해: 퍼지 집합 A  B

slide5
퍼지 집합의 연산
    • 한계합
    • 한계곱
    • -컷

예) 키가 크거나 몸무게가 무거운 사람의 집합 , 키도 크고 몸무게도 무거운 사람의 집합, 키가 크지 않은 사람의 집합

fuzzy relation
퍼지 관계(Fuzzy Relation)
  • 정의
    • 집합 X, Y 사이의 퍼지 관계 R의 소속 함수

예) X={1, 2}, Y={1, 3, 5}, R=“y는 x보다 훨씬 크다”

해: 두 수 x, y의 비를 보고 주관적으로 정하면,

slide7
퍼지 집합의 관계
    • 집합 A, B는 전체 집합 X, Y상의 퍼지 집합
    • AB는 X  Y상의 퍼지 관계
  • 역 퍼지 관계

예) X={1, 2}, Y={1, 3, 5}, R=“y는 x보다 훨씬 크다” 의 역 퍼지 관계?

해: R-1=“x는 y보다 훨씬 작다”

slide8
퍼지 관계의 연산(X  Y상의 퍼지 관계 P, R에 대해)

예) X={x1, x2}, Y={y1, y2}, X와 Y 사이의 퍼지 관계 P와 R이 다음과

같이 주어질 때, PR, PR, Rc ?

해:

slide9
퍼지 관계의 합성(Composition)

P: X  Y상의 퍼지 관계

R: Y  Z상의 퍼지 관계

PR: X  Z상의 퍼지 관계

→ 최대-최소 합성(max-min composition)

      • 경우에 따라서는 최대-곱, 최소-최대, 최대-최대, 최소-최소, 최대-평균 등을 적용할 수 있다.
  • 퍼지 집합과 퍼지 관계 합성
    • X상의 퍼지 집합 A와 X  Y상의 퍼지 관계 R의 합성

 R을 f: X → Y로 해석하면, f(A)=A  R : A의 f에 의한 상(image)

fuzzy number
퍼지 수(Fuzzy Number)
  • 임의의 실수 r에 대해서, “약 r”, “거의 r”
  • 퍼지 수를 나타내는 퍼지 집합의 소속 함수
    • 정규이고 볼록 형태를 갖는 퍼지 집합
    • 종형: 매끄러운 모양이지만 계산이 복잡
slide12
삼각형: 종형의 간략화로서 일반적으로 많이 사용됨
  • 사다리꼴: 종형과 삼각형의 혼합, 간단
fuzzy inference
퍼지 추론 (Fuzzy Inference)
  • 퍼지 명제: 애매함이 포함된 언어적 명제(linguistic proposition)
    • x∈X, A가 X의 퍼지 집합일 때 퍼지 명제 P

퍼지 명제: P = “x is A”

    • 예) P: “지하철이 있는 도시는 매우 큰 도시이다”

X: “모든 도시”, A: “매우 큰 도시”

    • 퍼지 조건 명제

P → Q = if P then Q

= if “x is A” then “y is B”

= (x, y) is RP→Q

RP→Q: 조건 명제 P → Q에 대한 X  Y 상의 퍼지 관계

P: 전건부(antecedent portion)

Q: 후건부(consequent portion)

slide14
퍼지 추론(Fuzzy Reasoning)
    • 퍼지 추론: 몇 개의 퍼지 명제로부터 하나의 다른 근사적인 퍼지 명제를 유도하는 근사 추론(approximate reasoning)
      • 긍정식(modus ponens)가 추론의 기반

[ P와 PQ가 참이면, Q가 참 ] 임을 주장하는 규칙

      • “영희는 미인이다” 와 “미인은 박명한다”의 경우
        • 일반 추론: “영희는 박명한다”
        • 퍼지 추론: “영희는 미인인 정도 만큼 박명한다”
    • 일반화된 긍정식(generalized modus ponens): 전제와 전건부가 완전 일치가 안됨 → 후건부도 결론과 완전 일치가 안됨

[전제] P+ : “저 아기는 매우 기분이 좋다”

[조건] P → Q : “만일 아기가 기분이 좋으면, 그 아기는 웃는다”

[결론] Q+ : “저 아기는 매우 웃는다”

slide15
퍼지 추론의 합성 규칙
    • 일반화된 긍정식에 대한 구체적인 추론 방법

관계 개념을 퍼지 명제에 대한 관계 개념으로 확장, 최대-최소 합성 연산에 의한 근사적 결론을 추론

    • 일반 형식

[전제] P1 : “x is A”

[조건] P2 : “(x, y) is R”

[결론] Q : “y is AR”

    • 실제 추론에서 퍼지 조건 명제가 사용될 경우

[전제] P1 : “x is A+”

[조건] P2 : if “x is A” then “y is B”

[결론] Q : “y is B+”

→ B+ = A+RA→B

    • 퍼지 조건 명제와 퍼지 관계의 변환이 중요: 표준 해결 방법은 없음
slide16
직접법에 의한 퍼지 추론

[전제] P+ : “x is A+”

[조건] PQ : if “x is A” then “y is B”

[결론] Q + : “y is A+RA→B”

RA→B ≡ RP→Q , 퍼지 조건 명제 P → Q ≡ 퍼지 집합을 이용한 관계 A → B

  • A → B에 대한 RA→B의 결정 방법(실용상 간편한 방법)
    • 조건 명제와 동치인 논리식 사용

(P → Q ≡ ~P∨Q ≡ (P∧Q)∨~P 이용)

RA→B = R(A∧B)∨~A로 하여 소속함수는

    • Rescher의 다진 논리
slide17
A → B에 대한 RA→B의 결정 방법(계속)
    • Lukasiewicz의 다진 논리 변형
    • Mamdani의 제안
      • 일반적으로 가장 많이 사용

→ 각 방법에 따른 결론은 퍼지 관계가 다르므로 반드시 같지는 않다.

    • [ 를 사용한 결론] : “y is A+ “
    • [ 를 사용한 결론] : “y is A+ “
    • [ 를 사용한 결론] : “y is A+ “
    • [ 를 사용한 결론] : “y is A+ “
slide18
퍼지 추론의 예

X=Y={1, 2, 3}

A: “x∈X가 작다”에 대한 퍼지 집합 = {1.0/1, 0.5/2, 0/3}

B: “y∈Y가 크다”에 대한 퍼지 집합 = {0/1, 0.5/2, 1.0/3}

A+: “x∈X가 매우 작다”에 대한 퍼지 집합

= {1.0/1, 0.25/2, 0/3}

  • Rz, Rr, Re, Rm 각각을 구한다.
  • 각 방법에 의한 추론 결과는

[전제] P1 : “x is A+” ; 1이 매우 작다(1.0)

[조건] P2 : if “x is A” then “y is B” ; 1이 작으면 2는 크다

[결론] Q : “y is B+” ; 2는 매우 크다(0.5)

slide19
퍼지 조건 명제가 2개 이상인 일반적인 퍼지 추론

[전제] P+ : “x is A+”

[조건] P1 → Q1 : if “x is A1” then “y is B1”

P2 → Q2 : if “x is A2” then “y is B2”

Pn → Qn : if “x is An” then “y is Bn”

[결론] Q+ : “y is B+”

    • Or 관계
    • And 관계

조건들을 Or 또는 And로 취급하는 방식에 따라

추론 방식이 달라진다.

slide20
퍼지 이론의 응용
    • 인공지능, 지능 제어, 전문가 시스템, 패턴 인식
    • 의료, 정보 검색, 가전제품
    • 의사 결정 지원, 앙케이트 조사
    • 퍼지 제어
      • 세탁기, 카메라, 차량 제어 등 어느 정도 실용화
      • 가장 많이 적용
      • 주로 1단계 추론으로 단순한 기술 적용
    • 퍼지 전문가 시스템
      • 문제 영역 전문가의 지식에 대해서 생성 방식으로 추론이 진행
      • 전문가의 지식을 사실과 규칙으로 나누어 복잡한 추론 과정 진행
      • 지식에 fuzziness를 도입 → 퍼지 생성 시스템(production system)
fuzzy control application on a traffic road

Fuzzy control application on a Traffic Road

퍼지 교통제어

Fuzzy

Logic

Control

inputs

output

Inputs={Arrival, Queue}

Output={Extension}

fuzzy control

Fuzzy control

Traffic simulator

N

Front detector

W

E

Arrival : Green 신호에 진입한 차량 수

N(7대), S(8대)=15대

Rear detector

Queue : Red 신호에 대기하는 차량 수

W(6대), E(5대)=11대

S

fuzzy control1

Fuzzy control

추론

Primitive time(기본주기) :18초, A=10, Q=20

Extension time : Primitive time 이외의 연장시간

f1 : A=10 & Q=20 then E=0초

f2 : A=20 & Q=5 then E=10초

f3 : A=0 & Q=0 then E=?초

fuzzy control2

Fuzzy control

1. Fuzzy input variables & their membership functions

zero

light

normal

heavy

zero

light

normal

heavy

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

zero

short

medium

long

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fuzzy control3

Fuzzy control

2. Fuzzy control rules(rule의 개수 4*4=16)

Extension

fuzzy control4

Fuzzy control

<규칙설명>

R1 : if Arrival = Z and Queue = Z then Extension = Z(Zero)

R2 : if Arrival = Z and Queue = S then Extension = Z

R3 : if Arrival = Z and Queue = M then Extension = Z

R4 : if Arrival = Z and Queue = L then Extension = Z

R5 : if Arrival = S and Queue = Z then Extension = S(Short)

R6 : if Arrival = S and Queue = S then Extension = Z

R7 : if Arrival = S and Queue = M then Extension = Z

R8 : if Arrival = S and Queue = L then Extension = Z

R9 : if Arrival = M and Queue = Z then Extension = M(Medium)

R10 : if Arrival = M and Queue = S then Extension = S

R11 : if Arrival = M and Queue = M then Extension = Z

R12 : if Arrival = M and Queue = L then Extension = Z

R13 : if Arrival = L and Queue = Z then Extension = L(Long)

R14 : if Arrival = L and Queue = S then Extension = M

R15 : if Arrival = L and Queue = M then Extension = S

R16 : if Arrival = L and Queue = L then Extension = Z

fuzzy control5

Fuzzy control

<계산식>

u[i] * u(i, Extension)

Extension = ----------------------

u[i]

16

u[i] = ∑ min( Ri-Arrival, Ri-Queue)

i =1

u(i, Extension) = the extension_unit of i-th Rule

Linguistic Label of Extension

fuzzy control6

Fuzzy control

Ex) Arrival = 7 이고 Queue = 5 일 때 Extension = ?

R1 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Zero) = 0초

min(0, 0) = 0

R2 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Zero) = 0초

R3 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Zero) = 0초

R4 : if Arrival(Zero) = 0 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0초

R5 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Short) = 3초

R6 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Zero) = 0초

R7 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Zero) = 0초

R8 : if Arrival(Short) = 0 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0초

R9 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Medium) = 6초

R10 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Short) = 3초

min(0.7, 0.2) = 0.2

R11 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Zero) = 0초

R12 : if Arrival(Medium) = 0.7 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0초

R13 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Zero) = 0 then Extension(Long) = 9초

R14 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Short) = 0.2 then Extension(Medium) = 6초

R15 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Medium) = 0.8 then Extension(Short) = 3초

R16 : if Arrival(Long) = 0.4 and Queue(Long) = 0 then Extension(Zero) = 0초

fuzzy control7

Fuzzy control

numerator

Extension = --------------

denominator

numerator = 0*0+ 0*0+ 0*0+ 0*0+0*3+ 0*0+ 0*0+ 0*0+0*6+ 0.2*3+ …

denominator = 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+ 0+0.2+ 0.7+ 0+ 0+ 0.2+ 0.4+ 0

0.2*3 + 0.7*0 + 0.2*6 + 0.4*3

Extension = -------------------------

0.2 + 0.7 + 0.2 + 0.4

= 2(sec)