Frattali, disordine, caos

1. Frattali, disordine, caos attrattori

2. Sfortunatamente, l’attrattore di Lorenz è anche un oggetto molto complicato da studiare e da capire Fortunatamente, esistono sistemi che hanno un comportamento caotico ma che sono molto più semplici da studiare

3. Supponiamo di collocare, in un grande campo recintato, una giovane coppia di conigli Alcuni degli esempi più tipici vengono dalla “dinamica delle popolazioni” Dopo un anno, ci aspettiamo naturalmente che i conigli siano diventati, per esempio, 6 Dopo due anni, 18 Fino a quando continueranno ad aumentare tutti questi conigli?

4. Il fatto è che, per quanto grande sia il prato, l’erba alla fine non basterà per tutti, i nuovi nati cominceranno a soffrire la denutrizione, e saranno più esposti alle malattie È assai probabile, quindi, che se un certo anno ci sono 40 conigli, l’anno dopo la popolazione registri un crollo Sarà anche triste, ma è così!

5. Proviamo a descrivere questo fatto da un punto di vista matematico sulle y i conigli l’anno dopo Sopra la bisettrice= natalità>mortalità Sotto la bisettrice= mortalità>natalità Allora, sull’asse x mettiamo i conigli in un certo anno

6. 1° anno Un punto sulla bisettrice Chiediamoci: esiste una popolazione d’equilibrio? 4° anno 2° anno 3° anno Dopo tanti anni… La popolazione converge verso il suo “attrattore” che in questo caso è semplicemente

7. Le cose potrebbero andare anche in modo diverso: Supponiamo di incrementare la fertilità dei conigli: L’attrattore, invece di essere un punto, potrebbe essere un “ciclo” Un anno tanti conigli… Un anno pochi…

8. Uhm… questo è il tipico problema che si potrebbe affidare ad un computer:

9. Ciclo di ordine 2 Ciclo di ordine 4 Fino ad un regime caotico, senza periodicità Ciclo di ordine 8 Ciclo di ordine 16 Come si sarà notato, all’aumentare della fertilità, il sistema passa attraverso una serie di “biforcazioni” sempre più vicine

10. In che modo c’entrano i frattali?Andiamo a studiare come sono distribuite queste biforcazioni:

11. Poi il caos Le biforcazioni, come si vede, seguono un albero binario con struttura frattale Compaiono il ciclo di ordine 2, 4, 8, 16…

12. La più estesa corrisponde ad un ciclo di ordine 3 Nella regione caotica, per la verità, permangono alcune “isole” di ordine

13. O con un nuovo fenomeno chiamato “intermittenza” Sono, come si usa dire le due “vie al caos”:l’intermittenza e le biforcazioni di Hopf Come si vede, ai due estremi della “isola” di ordine, il caos viene raggiunto in due modi diversi: con la consueta successione di biforcazioni

14. ? … d3 d2 d1 Costante di Feigenbaum