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ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN

ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN. Bloque I * Tema 039. Capitalización. ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN En un fondo, además de no recoger los beneficios, aportamos todos los periodos el mismo capital Co. Eso hará que el capital final se verá bastante aumentado. Año Capital final 0 Co

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ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN

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  1. ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN Bloque I * Tema 039 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. Capitalización • ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN • En un fondo, además de no recoger los beneficios, aportamos todos los periodos el mismo capital Co. Eso hará que el capital final se verá bastante aumentado. • Año Capital final • 0 Co • 1 Co + Co.i = Co (1+ i) • 2 [Co + Co (1 + i)] + [Co + Co (1 + i)].i = • =Co +Co(1+i) + Co.i + Co.i. (1 + i) = • =Co(1+i) +Co(1+i)(1+i) = Co(1+i)+Co(1+i)2 • 3 [Co+Co(1+i)+Co(1+i)2] + [Co+Co(1+i)+Co(1+i)2].i = • =Co(1+i) +Co(1+i)(1+i)+ Co(1+i) .(1+i) = • =Co(1+i) +Co(1+i)2 + Co(1+i)3 • Nota: Donde pone i se debe leer r/100 Matemáticas Acceso a CFGS

  3. … ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓN • Vemos que es una progresión geométrica de razón (1 + i) y cuyo primer término vale Co. (1 + i). • an. r - a1 • En una p.g. la suma de todos los términos vale S = ---------------- • r – 1 • donde el número de términos, n, es el tiempo, t, en años transcurrido. • Al cabo de n años tendremos un capital final de: • t t+1 • Co.(1+ i).(1+ i) - Co.(1 + i) Co.(1+i) - Co.(1+i) • Cf = ---------------------------------------- = ------------------------------------------- • (1 + i) – 1 i • t +1 • Co . [ (1+ r/100) - (1 + r/100) ] • Cf = ----------------------------------------------- • r/100 • Fórmula empleada en fondo de pensiones y similares. Matemáticas Acceso a CFGS

  4. CAPITALIZACIÓN • Ingresamos a principio de cada año 5.000 € que nos ponen a un interés fijo del 10% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 7 años?. • Año Ingreso Capital Intereses Capital final • 1 5.000 5.000 500 5.500 • 2 5.000 10.500 1.050 11.550 • 3 5.000 16.550 1.655 18.205 • 4 5.000 23.205 2.320,5 25.525,5 • 5 5.000 30.525,5 3.052,55 33.578,05 • 6 5.000 38.578,05 3.857,81 42.436,86 • 7 5.000 47.436,86 4.743,69 52.180,55 • Hemos invertido 35.000 € y obtenido más de 52.000 € Matemáticas Acceso a CFGS

  5. EJEMPLO 1 CAPITALIZACIÓN • Ingresamos a principio de cada año 5.000 € que nos ponen a un interés fijo del 10% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 7 años?. • Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: • t+1 • Co [ (1+i) - (1+i) ] • Cf = ----------------------------------- • i • 7+1 • 5000 [ (1+ 0,1) - (1+ 0,1) ] • Cf = -------------------------------------------- • 0,1 • 5000 [ 2,143588 - 1,1) ] • Cf = -------------------------------------- = 5000 x 10,435888 = 52.179,44 • 0,1 Matemáticas Acceso a CFGS

  6. EJEMPLO 2 CAPITALIZACIÓN • Dentro de 5 años queremos tener un capital de 100.000 €. Para ello ingresamos Iuna cantidad fija todos los trimestres en un banco que nos ofrece un 4,8 % anual de intereses. ¿Qué cantidad aportar ingresar trimestralmente?. • Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: • t+1 • Co [ (1+i) - (1+i) ] • Cf = ----------------------------------- , sabiendo que ahora i = 4,8 / 400 = 0,012 • i y que t = 5.4 = 20 trimestres • 20+1 • Co [ (1+ 0,012) - (1+ 0,012) ] • 100.000 = ------------------------------------------------- • 0,012 • 1200 = Co.(1,284667 – 1,012 ] • Co = 1200 / 0,272667 = 4401 € • Habremos aportado al banco 4401.20 = 88.020 € para obtener 100.000 € Matemáticas Acceso a CFGS

  7. EJEMPLO 3 CAPITALIZACIÓN • Todos los meses podemos aportar 100 € a un fondo de pensiones que tenemos a un interés del 3,6 % anual. ¿Qué tiempo debemos estar, suponiendo que no varíen las condiciones, para tener un capital de 100.000 €?. • Apliquemos la fórmula que nos da directamente el capital final: • t+1 • Co [ (1+i) - (1+i) ] • Cf = ----------------------------------- , sabiendo que ahora i = 3,6 / 1200 = 0,003 • i y que t vendrá en meses. • t+1 • 100 [ (1+ 0,003) - (1+ 0,003) ] • 100.000 = ------------------------------------------------- • 0,003 • t+1 t+1 • 300 = 100.(1,003 – 1,003 ]  3 + 1,003 = 1,003 • Tomando logaritmos: log 4,003 = ( t+1).log 1,003 • t+1 = log 4,003 / log 1,003 = 463 meses  t = 37 años y 7 meses Matemáticas Acceso a CFGS

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