Combinatoria

1. Combinatoria Etimología: Del lat. combināre = com binare (com = unir, binare= dos cosas). Unir dos o más cosas para formar un nuevo objeto. Combinación de objetos: • ¿Se puede?  Existencia • ¿Cómo?  Algoritmos • ¿Cuánto?  Conteo • Propiedades: Estudio cualitativo (Grafos)

2. Técnicas básicas de conteo • Regla del producto: Si para formar los objetos en el 1er paso tenemosmposibles salidas y en el segundonposibles salidas independientes del paso anterior el total de objetos formados serám n Arreglos con repetición ARmn = mn • Arreglos sin repetición Amn = m(m-1)…(m-n+1) • Permutaciones (sin repetición): Amm = m! • Arreglos con repetición

3. Permutaciones con repetición • Regla general: la cantidad de permutaciones de una palabraaaaabbbbcccc…es igual a Donde n1, n2, n3… es la cantidad de a’s, b’s, c’s, etc Obviamnete n1 + n2 + n3 + … nk= n. • Ejemplo: • aab, aba, baa Son 3 en lugar de 3! = 6. • aabc, aacb, abac, abca, acab, acba, baac, baca, bcaa,caab, caba, cbaa Son 12 en lugar de 4! = 24.

4. c c c c c a a a a b b c a c a c a b c c c c c c b c b Permutaciones con repetición • Ejemplo: Tableros de ta-te-ti ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay?

5. Permutaciones con repetición • ¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay? acccbaccc acccbabcc acacbabcc =252 9!/(2!1!6!)=9x8x7/2 9!/(3!2!4!)=9x8x7x6x5/12=1260 9!/(2!2!5!)=9x8x7x6/4=756

6. Permutaciones con repetición • El total se obtiene sumando los totales parciales. • Hemos aplicado la Regla de la suma que dice así: si los objetos que quiero contar los puedo dividir en dos ( o más) tipos distinto, basta contar cuantos de cada tipo hay y sumar los resultados.

7. Simetrías ¿Estamos contando de más? ¿Son iguales? • Suele dar lugar a problemas difíciles • Teoría de Redfield y Polya: ver por ejemplo Grimaldi 16.9 a 16.11 involucra teoría de grupos (Discreta 2) y funciones generatrices • Casos sencillos: permutaciones circulares, combinaciones • La combinatoria involucra: • Objetos: generalmente cantidad finita de tipos • Forma de combinarlos: geometría (lineal, circular, cuadrada, etc) • Simetría: asociada (a la geometría) o ad hoc.

8. Permutaciones circulares • Ejemplo: tengo cuatro personas a, b, c y d • ¿Cuántas formas hay de ubicarlas en una mesa circular? • Sea “x” dicha cantidad a b c d b a c b d c d a

9. Permutaciones circulares • Paso 1 : elijo una de las x permutaciones circulares • Paso 2: la giro de 4 formas posibles • Obtengo: todas las 4! Permutaciones •  (regla del producto) x4=P=4! •  x= 4!/4 = 3! a d c = d b a = c b d c b a

10. Permutaciones circulares • En general si tengo n símbolos Hay n giros posibles  x  n = n! De donde x = n!/n = (n-1)! • Otra forma de pensarlo Fijo a arriba y permuto las otras (n-1) a a a … c b d b b d d c c

11. Combinaciones (sin repetición) • Otra simetría sencilla: toda permutación da lugar a objetos equivalentes = “no importa el orden” • Ejemplo: Arreglos de 4 en 3. • Objetos: a, b, c, d • acd = • adc = • dac = etc • ¿Cuántos tenemos? • 3! = 6: acd = adc = cad = cda = dac = dca

12. Combinaciones • Permutando las combinaciones obtenemos los arreglos, por lo tanto (regla del producto) • Cnm n! = Anm Cnm= Anm/ n! = m! (m-n)! n!

13. Combinaciones con repetición • Ejemplo: ¿De cuántas formas puedo pedir una media docena de biscochos? Supongamos cuatro tipos: a, b, c, d ¿Importa el orden? aaabbb = 3 a y 3 b, 0 c, 0 d aabbcc = 2 a, 2 b y 2 c, 0 d 3 a y 3 b = a xxx, b xxx, c 0, d, 0 2 a, 2 b y 2 c = a xx, b xx, c xx, d 0 aaabbb = xxx|xxx|| aabbcc = xx|xx|xx| ¿abbcdd? x|xx|x|xx 1ero) siempre hay 6 “x” y 3 “|” 2do ) cualquier permutación de 6x y 3 | da lugar a una elección distinta

14. Combinaciones con repetición • ¿Cuántas hay? Permutaciones con repetición de 6+3 letras con 6 y 3repetidas = (6+3)!/(6!3!) = C93 • En general para CRmn son n “x” y m-1 “|” • Total: (n+m-1)! = Cnn+m-1 n!(m-1)!

15. Resumen

16. Otra forma de ver las cosas • Combinaciones con repetición de 4 en 6 • aaabbb = xxx|xxx|| = 3+3+0+0 • Distribución de objetos en cajas: objetos y cajas distinguibles o no. • Pueden haber cajas vacías o no.

17. Distribución de objetos en cajas

18. Otra forma de ver las cosas • Fórmula del Binomio: • Por esta razón a los coeficientes Cni también se los llama coeficientes binomiales. Se los suele denotar de la siguiente forma

19. Fórmula del Binomio Demostración combinatoria a1 a2a3 +b1 a2a3+ a1b2a3 +…+ a1b2b3 + b1b2b3 Vemos que por cada término comienza con una a1 o una b1 sigue con a2 o b2 y termina con a3 o b3. Entonces podemos pensar que los términos se construyen en un proceso de tres pasos: • Paso 1 Elijo una de las letras del 1er factor (a1+b1) • Paso 2 Elijo una de las letras del 2do factor (a2+b2) • Paso 3 Elijo una de las letras del 3er factor (a3+b3)

20. Fórmula del Binomio Por otro lado los términos finales se obtiene al borrar los índices y juntar los términos iguales. En el ejemplo: aaa+baa+ aba+…+ abb+ bbb = a3+3a2b+3ab2+b3 ¿De donde sale el “3” de “a2b” ? De juntar aab+aba+baa, es decir de elegir en dos pasos “a” y en el otro “b”. ¿De cuantas formas se pueden elegir 2 “a”? Tengo 3 factores, debo elegir 2 de donde elegir dichas “a”, como no importa el orden en que elija dichos dos factores, tengo C32 formas de hacerlo.

21. Fórmula del Binomio • En general (a+b)n =  i aibn-i • Donde i será todas las formas de elegir en i pasos la letra “a”, es decir elegir i factores de entre n: Cni.

22. Algunas Consecuencias • Ejemplo 1: (1+x)n = Cni1ixn-i= Cnixn-i=(x+1)n = Cnixi1n-i= Cnixi Por lo tanto: Cni = Cnn-i • Ejemplo 2: 0= (-1+1)n = Cni(-1)i1n-i= Cni(-1)i • Ejemplo 3: 2n = (1+1)n = Cni(1)i1n-i= Cni Este ejemplo además nos da una cota (grosera) de los coeficientes binomiales.