Combinatoria.

1. Combinatoria. Reglas de la suma y del producto Número factorial Variaciones Variaciones con repetición Permutaciones Permutaciones con repetición Numero combinatorio Combinaciones Combinaciones con repetición Teorema del binomio

2. Regla de suma y producto • Si de varios posibles conjuntos A, B, …, C, de sucesos, actividades, eventos, etc., que no se puedan realizar simultáneamente. Y tenemos que realizar una actividad, evento, etc., . Si m es el número de elementos de A, n el de B, .. , p el de C, entonces, para realizar una actividad, evento, etc., pueden utilizarse m + n + … + p formas. • Ejemplos.- 1.- Si en una estantería hay 15 libros de literatura, 10 de historia y 5 de geografía, puede elegir un libro de 15 + 10 + 5 = 30 maneras. 2.- Si en un coloquio están presentes 7 periodistas 6 políticos y 17 ciudadanos. Se puede elegir un moderador de 7 + 6 + 17 = 30 maneras.

3. Regla de suma y producto • Si de varios posibles conjuntos A, B, …, C, de sucesos, actividades, eventos, etc., que tenemos que realizar simultáneamente o una a continuación de la otra. Si m es el número de elementos de A, n el de B, .. , p el de C, entonces, pueden utilizarse m . n . … . p formas. • Ejemplos.- 1.- Si tenemos 2 chaquetas, 3 camisas y 4 corbatas. Podemos combinar las tres prendas de 2 .3 . 4 = 24 formas. 2.- Si el menú del día de un restaurante, se compone de 3 primero platos, 4 segundos y 4 postres. Existen 3 . 4 . 4 = 48 elecciones de menús diferentes.

4. Número factorial • Dado un número natural n (n>0), denominamos n factorial y escribimos como n! al producto de los n primeros números naturales consecutivos. Es decir n ! = n. (n-1) . (n-2) . (n-3) . … . 1 Si n = 0, definimos 0! = 1. • Ejemplos.- 5 ! = 5.4.3.2.1 = 120 1 ! = 1 7 ! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

5. Variaciones Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0) y r un número natural (rn). Una VARIACIÓN SIN REPETICIÓN u ORDINARIA DE ORDEN r DE A, es una lista ordenada de elementos distintos de A (a 1, a 2, . . . , a r ). Dos variaciones son distintas, si alguno de los elementos de una lista no se encuentran en la otra, o si las dos listas contienen los mismos elementos (a 1,a 2,... ,a r ) en distinto orden. • Ejemplo.- Sea A = {a,b,c}. Las posibles conjuntos de dos elementos sin repetición que podemos formar son: {a,b};{a,c};{b,a};{b,c};{c,a};{c,b}. Si A es un conjunto con n elementos y r es un número natural (rn). El número de variaciones ordinarias de orden r que podemos obtener de A es V n , r = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) . … . (n-r+1) • Ejemplo.- De una clase de 40 alumnos. ¿De cuántas formas posibles se pueden elegir Delegado y subdelegado?. Como, escoger Delegado y subdelegado, son variaciones ordinarias de orden 2, el número de posibles elecciones será V 40, 2 = 40 .39 = 1560

6. Variaciones con repetición Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0) y r un número natural. Una VARIACIÓN CON REPETICIÓN DE ORDEN r DE A, es una lista ordenada de elementos (a 1, a 2, . . . , a r ) (pudiendo ser iguales) de A. Dos variaciones son distintas, si alguno de los elementos de una lista no se encuentran en la otra, o si las dos listas contienen los mismos elementos (a 1,a 2,... ,a r ) en distinto orden. • Ejemplo.- Sea A = {a,b,c}. Las posibles conjuntos de dos elementos con repetición de A son: {a,a};{a,b};{a,c};{b,a};{b,b};{b,c};{c,a};{c,b};{c,c}. Si A es un conjunto con n elementos y r es un número natural. El número de variaciones con repetición de orden r que podemos obtener de A es VR n , r = n r . • Ejemplo.- con los cinco primeros números impares { 1, 3, 5, 7, 9}. ¿Cuantos números distintos con repetición de tres cifras se pueden formar. VR 5, 3 = 5 3 = 125

7. Permutaciones Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0). Una PERMUTACIÓN DE A es una variación sin ordinaria de todos sus elementos (r=n) (a 1, a 2, . . . , a n ). Dos variaciones son distintas, si los elementos de una lista están en distinto orden. • Ejemplo.- Sea A = {a,b,c}. Las posibles permutaciones de A son: {a,b,c};{a,c,b};{b,a,c};{b,c,a};{c,a,b};{c,b,a}. Si A es un conjunto con n elementos. El número de permutaciones que podemos obtener de A es P n = V n , n = n . (n-1) . … . (n-n+1) = n . (n-1) . … . 2 .1 = n! • Ejemplo.- De una clase de 20 alumnos. ¿De cuántas formas posibles se pueden colocar en una fila?. Como cada fila es una permutación de 20 elementos será P 20 = 20 . 19 .18 . …. 3 . 2 . 1 = 20 !  2,43 . 1018

8. Permutaciones con repetición Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0), supongamos que n1 son de 1º tipo, n2 son de 1º tipo, … , y n r son del tipo r-ésimo. Una PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN DE A, es una lista ordenada de elementos de A, de los cuales hay n 1 repetidos, n 2 repetidos, ... , y n r repetidos. Dos permutaciones con repetición son distintas, si están en distinto orden. • Ejemplo.- Sea A = {a,b,c,c}. Las posibles permutaciones con repetición que podemos formar son: {a,b,c,c};{a,c,b,c};{a,c,c,b};{b,a,c,c,};{b,c,a,c};{b,c,c,a}; {c,a,b,c};{c,a,c,b};{c,b,a,c};{c,b,c,a};{c,c,a,b} };{c,c,b,a}. Si A es un conjunto con n elementos , de los cuales hay n1 repetidos, n2 repetidos, ... , y nr repetidos El número de permutaciones con repetición que podemos obtener de A es • Ejemplo.- Con las cifras del número 21 312, se pueden formar 5! . ( 1!.2!.2!)-1 = 5.3.2 = 30 números distintos de cinco cifras

9. Número combinatorio • Si m y n son dos números enteros con 0  n  m, el símbolo Se llama número combinatorio y se lee “m sobre n”. Además • Ejemplo.- • Tres propiedades se deducen (operando) de los números combinatorios

10. Número combinatorio • Utilizando las propiedades de los números combinatorios, podemos construir el TRIÁNGULO DE PASCAL • Ejemplo.-

11. Combinaciones Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0) y r un número natural (rn). Una COMBINACIÓN DE ORDEN r DE A, es una lista (a 1, a 2, . . . , a r ) no ordenada de elementos distintos de A Dos combinaciones son distintas, si alguno de los elementos de una lista no se encuentran en la otra. • Ejemplo.- Sea A = {a,b,c}. Las posibles combinaciones de dos elementos que podemos formar son: (a,b),(a,c),(b,c) Si A es un conjunto con n elementos y r es un número natural (rn). El número de combinaciones de orden r que podemos obtener de A es • Ejemplo.- De una clase de 20 alumnos, si se quiere hacer un trabajo en grupos de 4 alumnos ¿Cuántos grupos posibles se pueden formar?. C 20, 4 = 20! .(4!.16!)-1 = 4845

12. Combinaciones Sea A un conjunto finito con n elementos (n>0) y r un número natural (rn). Una COMBINACIÓN CON REPETICIÓN DE ORDEN r DE A, es una combinación de r elementos de A, pudiéndose repetir los elementos. Dos combinaciones son distintas, si alguno de los elementos de una lista no se encuentran en la otra. • Ejemplo.- Sea A = {a,b,c}. Las posibles combinaciones con repetición de dos elementos que podemos formar son: (a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c) Si A es un conjunto con n elementos y r es un número natural (rn). El número de combinaciones con repetición de orden r que podemos obtener de A es • Ejemplo.- Si tenemos tres botes de pintura {rojo, azul y verde} y queremos pintar una puerta y una ventana ¿De cuántos formas posibles las podemos pintar?. CR 3, 2 = C 3+2-1, 2 = 4! .(2!.2!)-1 = 6

13. Teorema del binomio • Si x, y son variables y n es un número natural se cumple • Ejemplo.- Calcular el desarrollo de (x+y)4

14. Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)En la siguiente diapósitiva

16. Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesorDr. Juan Medina Molina(http://www.dmae.upct.es/~juan/matematicas.htm)En la siguiente diapósitiva