Lektion 6

1. Lektion 6 • En programmeringsuppgift • Komplettering av felfortplantningsformeln • Varians och kovarians • Korrelationer Fysikexperiment, 5p

2. Programmeringsuppgift Skriv en MatLab funktion som beräknar parametrarna A och k med fel i den räta linjens ekvation (y = A + k·x) med hjälp av den viktade minstakvadratmetoden. Funktionen skall kallas med: [A dA k dk dkA]=linfitw(x,y,dy) I linfitw.m filen ska vi då ha: function [A dA k dk dkA]=linfitw(x,y,dy) … kod … Fysikexperiment, 5p

3. linfitw.m function [A,dA,k,dk,dAk]=linfitm(x,y,dy) % med matrisräkning N=length(x); X=[ones(N,1) x']; V=eye(N,N); for i=1:N; V(i,i)=1/dy(i)^2; end dB=inv(X'*V*X); B=dB*(X'*V*y'); A=B(1); k=B(2); dA=sqrt(dB(1,1)); dk=sqrt(dB(2,2)); dAk=dB(1,2); function [A,dA,k,dk,dAk]=linfitw(x,y,dy) % med summaräkning w=1./dy.^2; sw=sum(w); wx=w.*x; swx=sum(wx); wxx=w.*x.^2; swxx=sum(wxx); wy=w.*y; swy=sum(wy); wxy=w.*x.*y; swxy=sum(wxy); D=sw*swxx-swx^2; A=(swxx*swy-swx*swxy)/D; k=(sw*swxy-swx*swy)/D; dA=sqrt(swxx/D); dk=sqrt(sw/D); dAk=-swx/D; Fysikexperiment, 5p

4. Beräkning av arbetet – del Ia Kraften beräknad i mittpunkten utifrån en minsta kvadratan- passning av data till en rät linje. Felet i kraften beräknat med hjälp av felfortplantningsformeln och den räta linjens parametrar. Arbetet som uträttas = arean under den röda rektangeln = F0 · h, där h = (hb – h1). F0 = 0,990  0,12 N Onödigt stort fel! h = 43,4  2,0 mm W = 43,0  5,6 mJ F = A + k·h Orimligt stort fel Fysikexperiment, 5p

5. Beräkning av arbetet – del Ib Skifta origo till punkten h0 och gör en ny anpassning. Kraften i mittpunkten blir nu F0 = A. Felet i kraften blir nu endast felet i parametern A. Arbetet som uträttas = F0 · h, där h = (hb – h1). F0 = 0,990  0,006 N h = 43,4  2,0 mm W = 43,0  2,0 mJ Fysikexperiment, 5p

6. Komplettering av felfortplantningsformeln Observera att detta är ett resultat som vi använt intuitivt hittills! T.ex. z = z(a,b) = a + b, där a = 33  2,0 och b = 52  3,2 (se läroboken sidan 213) z = a + b = 33 + 52 = 85 är det bästa estimatet av summan (ganska naturligt!). Fysikexperiment, 5p

7. Varianser och kovariansen Där vi definierar kovariansenxy och varianserna 2x,y Den allmänna felfortplantningsformeln skrivs således: Fysikexperiment, 5p

8. Quick Check 9.1 (sidan 214) Beräkna arean A = x • y med fel (öva på summan själva) variansen variansen kovariansen medelvärde Vi får A = 27 • 35 = 945  82 utan hänsyn till korrelationen mellan x och y. Korrekt värde är A = 945  114. Notera att (kontrollera själva!) medelvärdesfelet för arean blir 81,4 dvs mycket lika det värde som erhålles med felfortplantningsformeln utan korrelationen (vilket är naturligt då formeln för medelvärdesfelet förutsätter att storheterna är okorrelerade. Fysikexperiment, 5p

9. Beräkning av arbetet - del II Kraften beräknad i mittpunkten utifrån en minsta kvadratanpassning av data till en rät linje. Felet i kraften beräknat med hänsyn till kovariansen mellan den räta linjens parametrar. Arbetet som uträttas = arean under den blå kurvan = arean under den röda rektangeln = F0 · h, där h = (hb – h1). F0 = 0,990  0,006 N h = 43,4  2,0 mm W = 43,0  2,0 mJ Felet i F0 förstorat 10 ggr Fysikexperiment, 5p

10. Absoluta nollpunktenAvsnitt 8.5 i boken Linjär anpassning med minstakvadratmetoden. Absoluta nollpunkten T0 definieras som temperaturen vid trycket = 0, T0 = A. Felet i T0 = dA Felet i A minskar om vi flyttar y-axeln. Men T0 skall då beräknas och felet beräknas med hjälp av kovariansen mellan k och A. Resultatet blir (naturligtvis) detsamma! Fysikexperiment, 5p

11. Korrelationer • Ett effektivt sätt att beskriva sambandet mellan två variabler • (ett observationspar) är i ett spridningsdiagram (eng. catterplot). • Varje observationspar blir en punkt i diagrammet. • De två variablerna i diagrammet nedan synes vara korrelerade. • Korrelationen kan vara positiv eller negativ samt karakteriseras • av ett visst mått: korrelationskoefficienten. När värdet på storheten på x-axeln ökar ser det ut som att även värdet på y-axeln ökar – vi har en positiv korrelation! Men hur signifikant är detta samband? Fysikexperiment, 5p

12. Korrelationskoefficienten Korrelationskoefficienten, r, definieras som: För variabler som har en linjär relation kommer r att ligga nära ±1 (idealt exakt lika med ±1), linjära relationer med positiv riktningskoefficient har r = 1 (oavsett storleken på riktningskoefficienten) och samband med negativ riktningskoefficient har r = -1. Fysikexperiment, 5p

13. Korrelationskoefficienten Med vilken grad av sannolikhet kan vi påstå att det finns ett samband? Svaret ges av korrelationskoefficientens (r) egenskaper. Vi definierar r genom: Fysikexperiment, 5p

14. Exempel Fysikexperiment, 5p

15. Korrelationsexempel Over hälften av resultaten (7 av 12) visar en tydlig korrelation. Totalt är sannolikheten mindre än 8% för att r skall vara större än 0,53. Vi kan misstänka att det finns en korrelation med tillfälliga misslyckanden. Fysikexperiment, 5p

16. Problem 9.12 i läroboken Den linjära korrelationskoefficienten, r. Studera följande tabell som anger sambandet mellan studieresultat och resultat från läxarbete … … eller i grafisk form Fysikexperiment, 5p

17. Beräkning av r Exempel på uppställning av data för uträkning. Vi finner att r10 = 0,78. Vad betyder det? Funktionen PN(|r| > rN) anger sannolikheten att r > rN för N datapunkter om dessa är fullständigt okorrelerade! Funktionen är vanligen tabellerad och vi finner från tabell C (sidan 291 i läroboken) sannolik- heterna (i procent): Om 1% < PN < 5% anser vi att vi har ett sannolikt samband! Om PN < 1% anser vi att vi har ett högst troligt samband! 0,8% Fysikexperiment, 5p

18. Korrelationskoefficienten Låt oss ta ett nytt exempel: I diagramform: Fysikexperiment, 5p

19. Beräkna korrelations-koefficienten Uppgift 9.14 i läroboken. Fysikexperiment, 5p