TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA POTENCIAL ELÉCTRICO

ENERGÍA POTENCIAL • http://video.google.com/videoplay?docid=1300100838331569747#docid=3181538259443698485 • http://www.youtube.com/watch?v=-QlwkJaAwjE

ENERGÍA POTENCIAL • Fuerza gravitacional mTm2 F = G r 2 RT

ENERGÍA POTENCIAL • Potencial gravitacional

ENERGÍA POTENCIAL q1 q2 • r12 • F12= k r12 2 q1 q2 • F= k r 2

ENERGÍA POTENCIAL • Perturbación generada en el medio debido a la presencia de una carga eléctrica • q

ENERGÍA POTENCIAL • El trabajo realizado para llevar a una carga de prueba q0 , de un punto en r0 hasta un punto r1 cerca de una carga q será r1 • W01= F dr r0 • E • r1 • q • q • r0 • q

ENERGÍA POTENCIAL • La energía potencial asociada al trabajo realizado por la fuerza electrostática es r1 • DU = U1 – U0 = W01= F dr = kq0q( - ) 1 1 r r0 r0 Suponiendo que la carga de prueba se encuentra en un punto muy lejano r0= , donde el potencial es casi cero U0=0 kq0q • U1= W01= r

ENERGÍA POTENCIAL • EJERCICIO Dos protones en un núcleo de un átomo U están separados por una distancia de 6.0 fm. ¿Cuál es la energía potencial relacionada con la fuerza eléctrica que opera entre las dos partículas? 238 -15 6x10 m

ENERGÍA POTENCIAL • Solución kq1q2 • U= r • U= 240 keV -15 6x10 m

ENERGÍA POTENCIAL • Se tiene que el cambio en la energía potencial DU será: r1 • DU = - W01= F dr r0 La relación entre la fuerza y el campo eléctrico es • F= q E Dado que el campo es constante • W= F d = qE d = q E d cosq

ENERGÍA POTENCIAL • Para un campo eléctrico constante • W = qE d = qEd cos q Así, para una partícula que se mueve en la misma dirección del campo, la energía potencial estará dada por • q • F • - • E • DU = -W = - qE d =- qEd

ENERGÍA POTENCIAL • EJERCICIO Las partículas de rayos cósmicos provenientes del espacio, continuamente sacan electrones de las moléculas del aire de la atmósfera. Una vez liberados, cada electrón experimenta una fuerza electrostática F debida al campo eléctrico E, el cual es producido en la atmósfera por las partículas cargadas que ya están en la Tierra.

ENERGÍA POTENCIAL (Continuación) Cerca de la superficie terrestre, el campo eléctrico tiene una magnitud E = 150 N/C y está dirigido hacia abajo. ¿Cuál es el cambio DU de la energía eléctrica potencial de un electrón liberado cuando la fuerza electrostática lo hace moverse verticalmente hacia arriba una distancia d = 520 m?

q1 • q2 • q3 ENERGÍA POTENCIAL • Para tres cargas

ENERGÍA POTENCIAL • Para tres cargas q1q2 q1q3 q2q3 • U= k + k + k r12 r13 r23 La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales fijas en reposo es igual al trabajo que debe ejecutar un agente externo para ensamblar el sistema trayendo las cargas desde una distancia infinita donde se encuentran en reposo.

ENERGÍA POTENCIAL • Para tres cargas En el sistema de la figura anterior, suponga que r12 = r13 = r23 = d = 12 cm, y que q1 = +q, q2 = -4q y q3 = +2q Donde q=150nC. ¿Cuál es la energía potencial del sistema? Suponga que U=0 cuando una distancia infinita separa a las cargas.

ENERGÍA POTENCIAL • Para tres cargas Solución q1q2 q1q3 q2q3 • U= k + k + k r12 r13 r23 (-4q)(+2q) (+q)(-4q) (+q)(+2q) 1 • U = + + 4pe0 d d d 10q • 2 • U = - 4pe0d

POTENCIAL ELÉCTRICO • Para fuerzas con funciones de proporcionalidad inversa a r0, el trabajo realizado sobre una trayectoria cerrada es igual a cero r1 • W01= F dr = 0 r0 de donde se concluye que se trata de una fuerza conservativa

POTENCIAL ELÉCTRICO • Para un campo conservativo E se cumple que: • E es un campo irrotacional • E tiene un campo escalar (Potencial escalar) asociado. • x E = 0 • V = E

POTENCIAL ELÉCTRICO • Ejercicio: • Pruebe que E = r/r es irrotacional. Determine f tal que E = - f y tal que f(a)=0, donde a>0 • 2

POTENCIAL ELÉCTRICO • Se denomina Potencial Eléctrico V a la energía potencial por carga unitaria se define, es decir U • V = q Así, la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos cualesquiera en un campo eléctrico será Ui Uf DU • DV = - = q q q [ W ] J • [ V ] = = = Volt [ q ] C

POTENCIAL ELÉCTRICO • U La Energía Eléctrica Potencial es la energía de un objeto cargado en un campo eléctrico externo. (J) • V El Potencial Eléctrico es una propiedad escalar asociada a un Campo Eléctrico. (J/C).

POTENCIAL ELÉCTRICO • SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES: Son aquellas regiones para las cuales el valor del Potencial Eléctrico es constante ESFERAS CONCÉNTRICAS PLANOS PARALELOS

POTENCIAL ELÉCTRICO • EJERCICIO • Encontrar ahora la diferencia de potencial Vb – Va al mover una carga positiva de prueba q0 a lo largo de la trayectoria acb. • q • b • c • + • ds • + • p-q • L • q • E • a

POTENCIAL ELÉCTRICO • SOLUCIÓN • q • b • c c • + • Vc- Va = - E ds a c • E • Vc- Va = - E ds cos (p – q) • L a c • = E cos q ds a • a L • ds = cos q

POTENCIAL ELÉCTRICO • Así • Vc- Va = E L • Con • Vb- Vc = 0 • Se tiene • Vb- Va = (Vb- Vc) + (Vc- Va) = 0 + EL = EL

q1 • q5 • q4 • q2 • q3 POTENCIAL ELÉCTRICO • Para una serie de cargas puntuales P

POTENCIAL ELÉCTRICO • Para una serie de cargas puntuales • V = V1 + V2 + V3 + … +VN q1 q2 q3 qN • V = k + k + k + … + k r1 r2 r3 rN N qn • V = k S rn n=1

q1 • q2 • q4 • q3 POTENCIAL ELÉCTRICO • Calcule el potencial en el punto P situado en el centro del cuadrado de cargas puntuales de la figura. Suponga que d = 1.3 m y que las cargas son d q1 = + 12 nC q2 = - 24 nC P q3 = + 31 nC d d q4 = + 17 nC R N qn • V = k S rn d n=1

DISTRIBUCIÓN CONTINUA dq • V= k r

LÍNEA DE CARGA Densidad lineal de carga l • Y q dq • dq = l dy • l= = dy L • dy • dq 2 2 2 • r = x + y • r • y • q0 • X • x

DISTRIBUCIÓN CONTINUA l dy dq • dV= k = k (x + y ) r 2 2 1/2 + L/2 l dy • V= k (x + y ) 2 2 1/2 - L/2 + L/2 2 1/2 • V=k l ln [y + (x + y ) ] 2 - L/2 2 ln [L/2 + (x + L /4) ] 2 1/2 • V= lk 2 2 ln [-L/2 + (x + L /4) ] 1/2

DISCO CON CARGA Densidad superficial de carga s • Z q dq • dq = s dA • s= = dA A • dA = 2pwdw • r • dw • w • Y • R • X

DISCO CON CARGA El potencial asociado al elemento de anillo dA será: • Z • P dq • s dA • dV= k = k (w + z ) r 2 2 1/2 • r • dw • w • Y • R • X

DISTRIBUCIÓN CONTINUA dq • s 2pwdw • dV= k = k r (w + z ) 2 2 1/2 R • wdw • s • V= (w + z ) 2 2 1/2 • 2e0 0 • s 2 1/2 • V= [(R + z ) - |z|] 2 • 2e0 Esta ecuación es válida para z > 0 y z < 0, alcanzando su valor máximo en z = 0.

DISTRIBUCIÓN CONTINUA Para z muy grande, se aplica el teorema del binomio R 2 1 R 2 1/2 2 1/2 2 • (R + z ) = |z| ( 1 + ) ~ |z| ( 1 + ) z 2 z 2 2 • s 1 R 2 • V= [|z| (1 + ) - |z|] • 2e0 2 z 2 R 2 q/A R 2 1 q • s • V= = = z z z • 4e0 • 4e0 • 4pe0 Para z muy pequeña • s • s |z| R • V= - • 2e0 • 2e0

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