Guerino Mazzola U & ETH Zürich guerino@mazzola.ch encyclospace

1. Le rôle possible de la logique musicale dans une certaine intellectualité mathématique Guerino Mazzola U & ETH Zürich     guerino@mazzola.ch      www.encyclospace.org        

2. Roger Penrose (1995): Pattern, Precision and Profundity: it seems to me those three words characterize, to a great extent, the essence of mathematics. Additionally, I use those three words deliberately because I believe that they characterize much of music. I hope it is clear from this talk that there is much beauty to be beheld in mathematical structures, and that the issues of mathematical truth and beauty are profoundly intertwined. I am sure that these issues also have much to say about music, but these are matters that I do not feel competent to address.

3. Logique • Diagrammes • Gestes • Synopsis

4. Logique • Diagrammes • Gestes • Synopsis

5. d dénotateur FormeF A topos D:A@F(d) nom forme coordonnée nom type/diagramme id

6. Facticité: prédicates textuels formules prédicatives Exk dénotateurs ∏(Exi) D Exi ∏ D/Exi

7. A d F Facticité d’un prédicate Ex au dénotateurD Vérité(F):Id.Power(F)Vérité(F) = espace des ‘sous-ensembles’ de‘l’espace’ F des ‘éléments de vérité’ D/Ex:A@Vérité(F)(d) dÎ A@WF d @AF„F-crible de A“ La coordonnée d de vérité du dénotateur D/Ex est un F-crible de A.

8. Premier cas spécial: I = 0-module F = @I = objet final = 1 dans Mod@ d A@W1 = A@W adresse A = 0: 0@W = Hom(1, W) = ensemble des valeurs de vérité toposique = Sub(@0) valeurs spéciales: d = @0 = T (TRUE, VRAI) d = ˆ =F = ˘ T (FAUX)

9. e S Second cas spécial: I = —/Ÿ = S = groupe du cercle, F = @S. d Î A@WF signifie le suivant à l‘adresse A = 0: d @S crible de S. En particulier, si d = d^, d = [0,e[ S un intervalle, on a la logique flue (fuzzy) définie par la quantité de vérité e.

11. II VI V IV I VII III Troisième cas spécial: I = Ÿ12 F = @Ÿ12 d A@WF d  @(A  Ÿ12) adresse A = 0: 0@WF = Hom(@Ÿ12, W) = ensemble des valeurs de Ÿ12-vérité toposique = Sub(@Ÿ12) valeurs spéciales: d = C^, C Ÿ12(accords “constants”) adresse A = Ÿ11: séries dodécaphoniques adresse A = Ÿ12: accords auto-adressés de Noll et al. On peut globaliser....

12. A d F Résumé Les dénotateurs de vérité D/Ex associés à une formule (prédicative) Ex sont des compositions locales d’adresseAdans la forme de vérité F. • Ils généralisent et unifient • Les valeurs de vérité toposiques et fuzzy et • les objets classiques de la théorie de la musique. • On peut globalieser de façon évidente.

13. A D/! Ex !(d) D/f Ex D/Ex Vérité(f) Vérité(!) d f(d) G @0 F Changement d’espace de vérité f: F  G transformation naturelle d’espaces de vérité Vérité(f): Vérité(F) Vérité(G) A@WF  A@WG d @AF ~> f(d) @AG D/Ex ~> D/f Ex: A@Vérité(G)(f(d))

14. Logique • Diagrammes • Gestes • Synopsis

15. fllr Zi filq Zl flip D fijt fjlk Zj fjms Zm lim(D) Zi = préfaisceaux ensemblistes sur Mod D = diagramme dans Mod@ Solution du problèmedes limites itérées Perspectives of New Music (2005) Guerino Mazzola & Moreno Andreatta: From a Categorical Point of View: K-nets as Limit Denotators

16. Réseaux de séries dodécaphoniques S U   e4 Ÿ11@ Ÿ12 Ÿ11@ Ÿ12 D e5.-1 e11.-1 Ÿ11@ Ÿ12 Ÿ11@ Ÿ12  e2  V T

17. Yi carte vi vi Yl vl vl Yj vj vj Ym vm vm cartésien vi Xi Yi Xl vl Yl vj Xj  Yj vi isomorphisme de limites locales vl Xi Xl vj Xj carte

18. 2004 Les réseaux neuronaux artificiels sont des limites locales limites globales  recollements dendritiques (K. Pribram)

19. 4 6 ~> |GI| GI 4 3 6 5 1 3 5 2 1 2 Les procès ne sont ni vrais ni faux, seuls les faits qu‘ils englobent peuvent l‘être. Theorème: On a un foncteur de vérification |?|: AGlobLimredAGlobMod COLLOQUIUM ON MATHEMATHICAL MUSIC THEORY H. Fripertinger, L. Reich (Eds.) Grazer Math. Ber., ISSN 1016–7692 Bericht Nr. 347 (2005), Guerino Mazzola : Local and Global Limit Denotators and the Classification of Global Compositions

20. Logique • Diagrammes • Gestes • Synopsis

22. 1 touche  0 — temps position 2 1  2 2  * 1 t. 1 2 + 1

23. e = temps y z   (t ) (t ) 6 6   (t ) (t ) 5 5   (t ) (t ) 4 4   (t ) (t ) 3 3     (t ) (t ) (t ) (t ) x 2 2 1 1 Une main  produit  = 123456de 6 courbes gestuelles dans espace-temps (x,y,z;e) du piano j=1, 2, ... 5: bouts de doigts, j = 6: le carpe, 6 = root paramètre t  séquence de points: (t) = (1(t),...,6(t))

24. T Hypergeste symboliqueou „diagrammatique“ hypergestephysique touches [cm] temps [sec] E position [cm] P partition dégèle symbolique dégèle physique

25. Logique • Diagrammes • Gestes • Synopsis

26. ? ? ! • Procès • limites de diagrammes • renvoyer, montrer • Gestes • courbes paramétrisées • faire, bouger • Faits • compositions globales • être le cas Vue d‘ensemble des trois strates (onto-logiques?)

27. formules gestuelles formules diagrammatiques formules prédicatives   ∏ vérification démonstration? • Procès • limites de diagrammes • montrer,renvoyer • Faits • compositions globales • être le cas • Gestes • courbes paramétrisées • faire, bouger

28. Exemples d‘une certaine musicalité dans • des démonstrations mathématiques: • Théorème fondamental des EDO (neutralisation, modulation, cadence) • Parabole de Grothendieck?

29. Prenons par exemple la tâche de démontrer un théorème. Je vois deux approches extrêmes pour s'y prendre. L'une est celle du marteau et du burin, quand le problème posé est vu comme une grosse noix, dure et lisse, dont il s'agit d'atteindre l'intérieur. [...] Le principe est simple: on pose le tranchant du burin contre la coque, et on tape fort. Au besoin, on recommence en plusieurs endroits différents, jusqu' à ce que la coque se casse — et on est content. [...] Je pourrais illustrer la deuxième approche, en gardant l'image de la noix qu'il s'agit d'ouvrir. [...] on plonge la noix dans un liquide émollient, de l'eau simplement pourquoi pas, de temps en temps on frotte pour qu'elle pénètre mieux, pour le reste on laisse faire le temps. La coque s'assouplit au fil des semaines et des mois — quand le temps est mûr, une pression de la main suffit, la coque s'ouvre comme celle d'un avocat mûr à point! [...] Le lecteur qui serait tant soit peu familier avec certains de mes travaux n'aura aucune diffculté à reconnaître lequel de ces deux modes d'approche est "le mien". Alexander Grothendieck: Récoltes et Semailles (3me partie), Univ. Sci. et Tech. Languedoc et CNRS, Montpellier 1985, pp. 552—553