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Fonctions numériques usuelles - PowerPoint PPT Presentation


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Fonctions numériques usuelles . CHAPITRE 7 . Le plan du chapitre . La fonction exponentielle La fonction logarithme Les fonctions puissances Les fonctions sin et cos ; relations entre les lignes trigonométriques Les fonctions Arcos et Arsin

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Presentation Transcript
le plan du chapitre
Le plan du chapitre
  • La fonction exponentielle
  • La fonction logarithme
  • Les fonctions puissances
  • Les fonctions sin et cos ; relations entre les lignes trigonométriques
  • Les fonctions Arcos et Arsin
  • La fonction tangente et la fonction Arctan
  • Quelques relations importantes
  • Les fonctions trigonométriques sinh et cosh
  • Les fonctions trigométriques inverses Argsinh et Argcosh
  • La fonction tanh et son inverse
la fonction exponentielle
La fonction exponentielle

lim (ex/xn) = + l’infini

en +l’infini

x k

k=n

exp (x)



k !

k=0

lim (ex xn) = 0

en - l’infini

exp (x1+x2) = exp (x1) x exp (x2)

la m thode d euler
La méthode d’Euler

exp ’ = exp

Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x)

u0 = 1

Dérivée « discrète »

un+1-un

= un

1/N

(1+ x/N)N ---> exp (x)

lorsque N tend vers + l’infini

la fonction logarithme 1
La fonction logarithme (1)

x  R et y = exp (x)

y  et x = log (y)

lim+infini (log y /y) =0

lim0 (|y| log |y|) =0

log (y1 y2) = log (y1) + log (y2)

la fonction logarithme 2
La fonction logarithme (2)

log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 }

(log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a}

Remarque : pour tout entier n de Z

différent de -1, on a sur R \{a} :

(y-a)n+1

[]’ =[ y ---> (y-a)n]

n+1

les fonctions puissance
Les fonctions puissance

(ax1) x2 = a x1x2

ax1+x2 =ax1x ax2

(ab)x = axx bx

a-x = (1/a)x

a > 0

x  R  ax := exp (x log a)

[ x  ax]’ = [x  log(a) x ax]

la fonction cosinus
La fonction cosinus

x  R

x 2k

k=n

cos (x)



(-1)k

(2k) !

k=0

cos 0 = 1

cos 2 <-1/3

(suites adjacentes)

cos s’annule en au

moins un point de [0,2]

 := 2 inf{x>0, cos x=0}

la fonction sinus
La fonction sinus

x  R

x 2k+1

k=n

sin (x)



(-1)k

(2k+1) !

k=0

(suites adjacentes)

relations entre fonctions trigonom triques
Relations entre fonctions trigonométriques

cos (x1 + x2) = cos (x1) cos (x2) – sin (x1) sin (x2)

sin (x1+ x2) = cos (x1) sin (x2) + sin (x1) cos (x2)

cos’ = - sin

sin’ = cos

cos2 x + sin2 x =1

cos (x+ 2)=cos x

sin (x+2) = sin x



(cos (x), sin (x))

( pourx  [0, 2[)

paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et de rayon 1

fonctions trigonom triques inverses
Fonctions trigonométriques inverses

Arcos : [-1,1] --- > [0, ]

Arcsin : [-1,1] --- > [-/2 , /2]

sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y  (1-y2)-1/2]

sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y  - (1-y2)-1/2]

Arcsin (y) + Arcos (y) = /2 pour y  [-1,1]

la fonction tangente
La fonction tangente

tan x := sin (x) / cos (x)



tan’ = 1 + tan2

la fonction arctan arc tangente
La fonction Arctan (Arc-tangente)

x  ]-/2 , /2[ et y =tan (x)

y  R et x= Arctan (y)

1 1

Arctan’(y) = ------------------------ = ----------

1 + tan2 (Arctan y) 1 + y2

quelques relations importantes
Quelques relations importantes

cos (t) = 2 cos2 (t/2) -1 = (1-u2)/(1+u2)

sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u2)

t  ]-, [

u= tan (t/2) , t = 2 Arctan u

slide15

1-u2 2u

--------- , -------

1+u2 1+u2

(0,0)

(-1,0)

1

Un paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un point

les fonctions hyperboliques
Les fonctions hyperboliques

cosh x : = (ex+e-x)/2 , x  R

sinh x : = (ex – e-x)/2 , x  R

cosh2 x – sinh2 x = 1

cosh’ = sinh sinh’ = cosh

slide17

Intersection d’un plan et d’un cône :

hyperbole, ellipse ou parabole

hyperbole

(2 branches)

ellipse

les Coniques

slide18

Le paramétrage de la demi-hyperbole

x = cosh t , t  R

x2 – y2=1 , x>0

y = sinh t , t  R

la fonction argsinh r r
La fonction argsinh : R  R

x  R et y = sinh xy  R et x=argsinh y

variable auxiliaire

argsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y2)-1/2

{

X = ex

X2 – 2y X - 1 =0

sinh x = y

x= argsinh y =log [y + (1+y2)1/2]

la fonction argcosh y y 1 x x 0
La fonction argcosh : {y ; y 1}  {x ; x  0}

x0 et y = cosh xy 1 et x=argcosh y

variable auxiliaire

argcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y2 -1)-1/2 , y > 1

{

X = ex

x0(donc X 1)

X2 – 2y X +1 =0

cosh x = y

x= argcosh y =log [y + (y2 -1)1/2]

la fonction tangente hyperbolique
La fonction tangente hyperbolique

tanh : x  R  tanh x := sinh x / cosh x

tanh’ : x  R  1 – tanh2 x = (cosh x)-2

x  R et y = tanh xy  ]-1,1[ et x= argtanh y

argtanh’ y = 1/(1-y2)

= (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1) , y  ]-1,1[

argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)1/2 , y  ]-1,1[