Geometría del espacio – Sólidos geométricos - PRISMA

1. Geometría del espacio – Sólidos geométricos - PRISMA PROFESOR: Felipillo Asmad

2. Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. • Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: o formados por caras planas (poliedros), o teniendo alguna o todas sus caras curvas (cuerpos redondos). CUERPOS SÓLIDOS

3. ¿Qué características comunes ves a todos ellos? Actividad

4. Estos cuerpos se llaman poliedros y podemos decir de forma simplificada que son sólidos limitados por caras en forma de polígonos. DEFINICIÓN

5. Observa los siguientes poliedros. Actividad • Si los sitúas en un plano, observa que hay dos que no se pueden apoyar sobre todas sus caras. ¿Cuáles son?

6. A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavosy a los demás convexos. Nosotros vamos a trabajar siempre, salvo que se indique lo contrario, con poliedros convexos. DEFINICIÓN

7. En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos. a. ¿Cómo definirías cada uno de estos elementos? b. ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro? Actividad Al número de caras que concurren en un mismo vértice se le llama orden del vértice.

8. En todos los poliedros convexos se verifica siempre que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos: C + V = A + 2 CONCLUSIÓN

9. Hay otros elementos en los poliedros que debes conocer: ¿Cómo definirías la diagonal de un poliedro? ¿Y el plano diagonal? ¿Cuál es el número de diagonales y de planos diagonales del poliedro anterior?

10. Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón (siglo IV a. de C.), pero lo cierto es que no se sabe en qué época llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.) POLIEDROS REGULARES

11. Un poliedro es regular si todas sus caras son regulares e iguales y todos sus vértices son del mismo orden. DEFINICIÓN

12. Dibújalos en una cartulina, recórtalos y constrúyelos. Un desarrollo de cada sólido platónico

13. Felipillo no te olvides del video :D PRISMA • Un prisma es un poliedro limitado por dos caras congruentes y paralelas (bases) y tantos paralelogramos (caras laterales) como lados tienen las bases

14. I H J G F D C E B A Ejemplos: Prisma recto Prisma recto Prisma oblicuo

15. PRISMA REGULAR: Un prisma regular es un prisma recto cuyas bases son regiones poligonales regulares Ejemplo:

16. h a AREA LATERAL DE UN PRISMA RECTO El área lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura. Ejemplo: = h a a a a a Alateral= perímetro x h

17. h a a a a a h a AREA TOTAL DE UN PRISMA Se obtiene sumando al área lateral las áreas de las bases Ejemplo: + = Atotal= Alateral+2Abase

18. VOLUMEN DE UN PRISMA El volumen de un prisma es igual al producto del área de su base por su altura. h h a a V= Abase x h

19. Hay unos prismas especialmente interesantes dentro de los prismas cuadrangulares. Estos son los paralelepípedos llamados así porque los cuadriláteros de las bases son paralelogramos. • Si el paralelepípedo es recto y los paralelogramos de las bases son rectángulos, éste recibe el nombredeparalelepípedo rectángulo u ortoedro.

20. Ejercicios

21. Problema 1 Área lateral = (Perímetro).(altura) 4 3 5 Área lateral = (3+4+5).10 = 120 10 4 3 5

22. Problema 2 13 13 12 5 5 12 13 13 Área de la base = 120 Volumen = 120 . 24 Volumen = (Área de la base).(altura) = 2880

23. Problema 3 6 8 5 5 3 6 4 4 Área lateral = (5+6+5+14).8 = 240

24. Problema 4 a 2a 2a 3a Pitágoras: = 9 = 4.13 13 = 4.13 = 4 Volumen: 2a . 3a . a = 48

25. Problema 5 a c b Reemplazaremos en el siguiente producto notable: 88

26. Problema 6 37° 10 6 3k = 15/2 8 37° 10 = 4k 5/2 = k Área lateral = (6+6+8+8).(15/2) = 210

27. Problema 7 2 2 10 1 1 2 2 Área de la base = = 2 Volumen =

28. 4 Problema 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 12 2 2 Área de la base = Volumen =

29. Problema 9 Área lateral = 16.6 = 96 6 4 4 4 4

30. Problema 10 1 D 2 D 2 1 2 2 Pitágoras: = 8 1 = 3 =

31. Problema 11 Área total = Área lateral + 2 Área de la base 4 3 5 (3+4+5).(2,5) Área lateral = = 30 2,5 Área de la base = (3.4)/2 = 6 4 30 + 2.6 Área total = 3 = 42 5

32. Problema 12 Área lateral = (12+12+12+12) . 24 = 1152 24 12 12 12 12

33. Problema 13 8 6 10 Área de la base = (6.8)/2 = 24 12 Volumen = 24. 12 = 288 8 6 10

34. Problema 14 Pitágoras: = 2 = 100.2 = 100 = 10 (10+10+10+10) . 30 Área lateral = = 1200 30 Área de la base = 10 . 10 = 100 a 1200+ 2 . 100 Área total = a = 1400 a a

35. Problema 15 Datos: 2a + 2b = 34 a . b = 60 a = 5 D = 85 13 4D = 340 a + b = 17 Entonces: b = 12 a = 5 b = 12 D = 85 c Pitágoras: = = 7225 = 7056 = 84 Hallando el volumen V= a . b . c = 5040

36. Problema 16 2,8m 3cm x Sabiendo que un metro es cien centímetros Tenemos que: 3 cm = 0,03 m Volumen: (0,03) . (x) . (2,8) = 0,45 (3) . (x) . (28) = 450 x = 5,36 m

37. Problema 17 c c b a a b a . b = 8 Nos piden el volumen del paralelepípedo rectangular: V = a . b . c b . c = 10 a . c = 6

38. Problema 18 Dato: Área total = 144 6 D Área lateral = (++2+2) . 6 = 36 a 3 = x a Área de la base = 2a = 6 = Sabemos que: Área total = Área lateral + 2(Área de la base) Pitágoras: = 36 + 45 = 81 = = 9 144 = 36 + 2 () 0 = - 144 + 36 + 0 = + 36a - 144 0 = + 9 - 36 Entonces:

39. Problema 19 6 a a a a a Pitágoras: = 9 + 27 = 9 =9 = 1 = 1 Volumen = (Área de la base) . (altura) a = =

40. Problema 20 Echando el paralelepípedo rectangular: 6 6 24 24 Volumen del paralelepípedo rectangular = 24 . 6 = 144 6 Volumen del prisma triangular = 144/2 = 72

41. Problema 21 Pitágoras: = + 48 = + 192 = = 192 = 64 = 8 a a a/2 a/2 5 Volumen = (Área de la base) . (altura) = 5 a a = a