Unita ’ Naturali

1. Unita’ Naturali

2. Il MetodoScientifico • La Fisicasioccupadidescrivereedinterpretareifenomeninaturaliusandoilmetodoscientifico. • Passi del metodoscientifico: • Schematizzazione: modellosemplificato del fenomenonaturale. • Misura: un insiemedi procedure e convenzionichepermettonodiassociare un numeroedun’unita’ dimisura ad ognigrandezzafisicaindividuata come essenzialenellaschematizzazione del fenomenonaturale. • Osservazionesperimentaledicorrelazioni quantitative tragrandezzefisiche. • Organizzazionedeirisultatidelleosservazioninella forma dileggichegovernanoilfenomeno. • La previsionedinuovifenomeni. • La verificasperimentaledelleprevisioni.

3. GrandezzeFisiche • Unagrandezzafisica e’ definitaquando e’ specificatoilmodo in cui puo’ esseremisurata. • Condizioneessenziale e’ la riproducibilita’ dellamisura. • Misuradiretta: confrontotragrandezzeomogenee. • Si stabilisce un criteriodiconfronto in base al qualesiapossibiledefinireilconcettodiuguaglianzafragrandezzeomogenee. • Si definisce un criteriodisommadi due grandezzeomogenee. • NB: questopermettedidefiniremultipli e sottomultiplidiunagrandezza. • Si sceglieunaunta’ dimisura. • Misuraindiretta: misuradigrandezze diverse daquellachesivuolemisurare, ma ad essa legate daleggi note.

4. Unita’ diMisura • Misuradiretta: • Confronto: necessita’ di un campionediriferimento. • Risultato: espresso come rapportotragrandezza e campione. • In principio ognigrandezza ha un suocampionediriferimentoindipendentedatutte le altreedogniindividuopuo’ scegliereilsuocampione: • Lunghezze in metri, pollici, miglia • Velocita’ in m/sec, nodi • Masse in Kg, once, libbre • Pressione: pascal, libbre per pollicequadrato. • Per ilconfrontotraindividuidiversi: fattoridiconversione • Numeri che esprimono il rapporto fra la grandezza dei campioni • Osservazionecentrale: • Non e’ necessario assegnare alle grandezze una dimensione; e’ sufficienteun’unita’ dimisura.

5. SistemadiUnita’ diMisura (1) • Esistono relazioni matematiche fra grandezze diverse, che sono espressione di leggi fisiche derivate dall’esperienza. • Area di un quadrato = (Lunghezza del lato)2 • Velocita’ = Spazio/Tempo • Forza = Massa x Accellerazione • Legge fisica: mette in relazione due o piu’ grandezze diverse • A titolo di esempio, si consideri: F=kma • Questa relazione e’ vera qualunque sia l’insieme di unita’ di misura scelto per masse, accelerazioni e forze, ogni unita’ essendo scelta in modo indipendente dalle altre. La quantita’ k e’ un opportuno fattore di conversione. • In questo caso non e’ necessario assegnare dimensioni alle grandezze fisiche • La relazione consente pero’ di scegliere unita’ di misura per forze, masse e accelerazioni tali da poter porre k = 1

6. SistemadiUnita’ diMisura (2) • Si vuole di solito ridurre al minimo il numero di fattori di conversione. • Vengono scelte alcune grandezze fra loro indipendenti, che si considerano come fondamentali: Per esse si determinano delle arbitrarieunita’ dimisura. • Il numero di grandezze fondamentali e’ maggiore o uguale al minimo necessario alla completa descrizione matematica di un insieme di sistemi fisici (p.es. quelli meccanici). • Il numero puo’ evolvere: puo’ essere conveniente introdurre nuove grandezze quando si studiano nuove classi di fenomeni. • La scelta di quante (almeno in numero uguale al minimo) e quali grandezze considerare fondamentali e’ arbitraria.

7. SistemadiUnita’ diMisura (3) • Tutte le altre grandezze sono considerate come derivate, ossia definite in base a definizioni o leggi fisiche. • Leggi fisiche, incluse le definizioni, usate per esprimere le unita’ derivate in termini di quelle fondamentali: anch’esse scelte in modo arbitrario. • Principio generale: Il rapporto fra due grandezze omogenee deve essere indipendente dall’unita’ usata. • La generica grandezza derivata f, funzione delle grandezze fondamentali f = f(m1,m2,...mp, l1, l2, ..lq, t1,t2,...tr) e’ omogenea nelle l, nelle m, nelle t,… quindi in tutte le grandezze fondamentali. • Il grado di omogeneita’ di f in ciascuna di esse (a,b,g,…) si chiama la dimensione di f rispetto a l,m,t,… • Ogni grandezza acquista un attributo extra, ossia la sua dimensione fisica • Ma: La dimensione di ogni grandezza non e’ un attributo assoluto: dipende dal sistema di unita’ di misura adottato

8. Sistemacgs e SI • cgs (1874) • Sistema di unita’ di misura a orientamento teorico/sperimentale: • 3 grandezzefondamentali • Carica elettrica: Grandezza derivata -> Dimensione Q = [M1/2L3/2T-1 ] • SI (1971) • Sistema di unita’ di misura a orientamento ingegneristico: • 7 grandezzefondamentali • Corrente elettrica: Grandezza fondamentale -> Dimensione Q = [I][T] • Entrambi fortemente ancorati nella fisica classica • Ignorano relativita’, meccanica quantistica, struttura granulare della materia.

9. CostantiUniversali (1) • Fissato il sistema di unita’, compaiono in alcune leggi fisiche delle costanti sperimentali, non legate a particolarita’ di sostanze, stati di aggregazione, etc: CostantiUniversali • Il valore di molte costanti universali dipende dal sistema di unita’ usato. • Es: LeggediGravitazioneUniversale: • La dimensione e l’unita’ di forza sono definite nel SI da: F =ma Dim F = [M] [L] [T-2] • Di conseguenza G e’ una quantita’ sperimentale con valore 6.674 10-11 m3kg-1s-2e dimensione [M-1][L3][T-2] • Alternativamente, si potrebbe usare la legge di gravitazione per definire una differente unita’ di forza (magari chiamandola l’ “unita’ di forza gravitazionale”, con dimensione [M2][L-2]), in cui G = 1 con dimensione zero: G sarebbe un (banale) fattorediconversione

10. CostantiUniversali (2) • Quantita’ come G compaiono in diverse equazioni di validita’ generale. • Doppiapossibilita’: Costanti universali: Dimensione non nulla, valore dall’esperimento • oppure Fattori di conversione: Senza dimensione, valore che si puo’ porre = 1 • La scelta dipende ovviamente da come viene costruito il sistema di unita’. • Sistemi di unita’ ‘naturali’: basati sulla seconda scelta • Nell’esempio, l’unita’ ‘naturale’ di forza gravitazionale e’ quella che si esercita fra due unita’ di massa a distanza unitaria. Misurare le forze in questa unita’ equivale a porre G = 1, adimensionale. • Usualmente non lo si fa (es: ne’ in cgs, ne’ in SI): non c’e’ solo la forza gravitazionale

11. CostantiUniversali (3) • SI: Unita’ legate alla pratica ingegneristica • Dimensione ‘umana’ ( o quasi…) • Slegate da proprieta’ dei costituenti elementari della materia • Slegate da proprieta’ delle interazioni fondamentali • Poco adatte ai modelli matematici relativi alla struttura atomica, nucleare, subnucleare • Risultati: • Moltecostantiuniversalidimensionate • Relazione complicata fra proprieta’ elementari, costanti universali, unita’ di misura

12. Relativita’ Ristretta e MeccanicaQuantistica • Invariantifondamentali: • ds2 = c2dt2 – dx2 – dy2 –dz2 • m2c4 = E2 –p2c2 • Commutatorefondamentale: • [q,p] = ih • Questerelazionivalgono in ogniteoriaquantistica e relativistica. • Come ilModello Standard • Consentonounasceltaalternativadiunita’ fondamentali.

13. Unita’ Naturali • Le quantita’ c,h possono essere poste = 1, con dimensione zero. • Conseguenze: • dim l = dim t • dim E = dim p = dim m • dim l = dim p-1 • c, hdiventanofattoridiconversionitradimensioni diverse • Sopravviveuna sola dimensione • Sceltanormalmentefatta: • Energia come unica grandezza fondamentale • Dettata dalle applicazioni tipiche: Sistemi microscopici • Per un sistema microscopico, l’energia e’ quasi sempre molto piu’ accessibile delle dimensioni lineari, o delle durate (entrambe molto piccole)

15. CostantiUniversali in Unita’ Naturali

16. CostantiUniversaliAdimensionali • In fisicadelleparticellesistudiano le forze (interazioni) fondamentalidellanatura. • Per ognunadiesse e’ possibiledefinireunacostanteadimensionale: • Chesipuo’ interpretare come ilrapportotrailquadratodella “carica” (caricaelettrica, debole, gravitazionale e dicolore) edilprodottohc. • Nel formalismo della teoria quantistica dei campi la costante prende il significato di misura dell’accoppiamento fra il campo legato all’interazione e le cariche che interagiscono tramite il campo stesso. • Essendoprivedidimensione, queste costanti hanno lo stesso valore in tutti i sistemi di unita’ di misura, e si presentano quindi come autentiche costanti universali.

17. CostantidelleInterazioniFondamentali • Interazioneelettromagnetica: • Interazionedebole: • Interazionegravitazionale: • Interazione forte: • NB: Tuttequestecostantidipendonodallascaladell’energia.