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M arkow- K etten - PowerPoint PPT Presentation


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M arkow- K etten. Jens Keienburg, Nora Rieber, Samuel Bandara, Felix Bonowski . Übersicht. Definitionen Veranschaulichung; ‚Bienen-Modell‘ die Übergangsmatrix die Grenzmatrix Anwendung in Genomics. Stochastischer Prozess. Folge von Zufallsexperimenten

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PowerPoint Slideshow about 'M arkow- K etten' - sylvain


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Presentation Transcript
Slide1 l.jpg

Markow-Ketten

Jens Keienburg, Nora Rieber,Samuel Bandara, Felix Bonowski


Bersicht l.jpg
Übersicht

  • Definitionen

  • Veranschaulichung; ‚Bienen-Modell‘

    • die Übergangsmatrix

    • die Grenzmatrix

  • Anwendung in Genomics


Stochastischer prozess l.jpg
Stochastischer Prozess

  • Folge von Zufallsexperimenten

  • beschreibbar durch Funktion X(t), t g T

  • X(t): ‚Zufallsvariable‘

  • T: ‚Parameterraum‘

  • M: ‚Zustandsraum‘; M = {X(t) | t g T}

  • Bsp: n-maliger Münzwurf


Markow ketten l.jpg
Markow-Ketten

  • diskret in Zeit und Raum

  • Besonderheit: Wahrscheinlichkeit eines Zustands hängt nur von der Wahrscheinlichkeit des vorherigen ab

  • Markow-Kette ist bestimmt durch

    • Anfangsverteilung

    • Übergangswahrscheinlichkeiten

    • ihren Zustandsraum


Das bienen modell l.jpg

Chrysantheme

Akelei

Tulpe

Geranie

Das Bienen-Modell

  • Wohin geht die Biene als nächstes?


Bergangswahrscheinlicheiten l.jpg

Chrysantheme

1/2

1/3

Akelei

Tulpe

1/3

1/2

1/3

1/4

1/3

1/3

1/4

A

G

C

T

1/3

A

1/3

1/3

1/3

0

1/4

G

1/4

1/4

1/4

1/4

Geranie

C

1/2

0

0

1/2

1/4

T

0

1/3

1/3

1/3

Übergangswahrscheinlicheiten


Die bergangsmatrix l.jpg
Die Übergangsmatrix

  • P =

  • Allgemein:in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte Wahrscheinlichkeit pik für einen Übergang vom Zustand i in den Zustand k


Die bergangsmatrix8 l.jpg
Die Übergangsmatrix

  • P =

  • Matrix ist stochastischpikg [0;1] i,k = 1,2,...,N


Mehrstufige berg nge l.jpg

Chrysantheme

Akelei

Tulpe

Geranie

Mehrstufige Übergänge

  • Wo ist die Biene in n Zügen?

  • Grenzwert?


Definitionen l.jpg
Definitionen

  • p(n)= (p1(n), p2(n), …, PN(n))

    Wahrscheinlichkeiten für jeden Zustand nach n Durchgängen

  • Anfangsverteilung: p(0)

  • z.B. (1 0 0 0) Biene sitzt auf Akelei

  • oder (0.25 0.25 0.25 0.25)  Anfangsort unbekannt


Sp tere verteilungen l.jpg
Spätere Verteilungen

  • Zustände auf mehreren Wegen erreichbar

  • Nächster Zustand durch Anwendung der Übergangsmatrix zugänglich

  • p(n+1)= P*p(n)

n

Beispiel:

= p(n)

p(0) *


Langfristiges verhalten l.jpg
Langfristiges Verhalten

  • Die Matrix limn®¥(P)n heißt Grenzmatrix

  • Wenn sie existiert erlaubt sie Aussagen über das langfristige Verhalten des Systems.

  • In unserem Beispiel:

  • limn®¥(P)n =


Diskussion des beispiels l.jpg
Diskussion des Beispiels

  • In unserer Grenzmatrix sind die Elemente einer Spalte gleich (Ergodische Matrix)

  • Jede Anfangsverteilung führt im Grenzwert zur gleichen Verteilung p(¥)= (0,265 0,235 0,235 0,264)

  • Das dann der Fall, wenn es zwischen allen Zuständen irgendeinen zulässigen Weg gibt.


Wahrscheinlichkeiten von pfaden l.jpg

Chrysantheme

Akelei

Tulpe

Geranie

Wahrscheinlichkeiten von Pfaden

  • Pfad: (C T G C A)

p(CTGCA)=p(C®T)*p(T®G)…*P(G®A)


Zwei g rten l.jpg

C

C

A

A

T

T

G

G

Zwei Gärten…

Garten 1 mit Übergangsmatrix P1

Gegeben: Die Biene hat die Blumen in der Reihenfolge CTGATC besucht.

Frage: In welchen Garten war sie?

Garten 2 mit Übergangsmatrix P2


Genomics l.jpg
Genomics

Problematik :

Entschlüsselung des Genoms

Welche Bereiche codieren ?

Wo befinden sich Gene?


Genomics17 l.jpg
Genomics

Gene Prediction :

Codierende und nicht codierende DNA-Sequenzen besitzen

unterschiedliche Übergangswahrscheinlichkeiten.

Mit Hilfe von Markovketten lassen sich Gene zuverlässig

finden !


Genomics18 l.jpg
Genomics

Definition : Ein Open Reading Frame (ORF) ist eine

Gensequenz, die von einem Start- und einem

Stopcodon terminiert wird.

Ein Gen ist ein codierender ORF

Jeder ORF ist ein möglicher Kandidat für ein Gen.

Wesentlich mehr ORF als Gene.


Genomics19 l.jpg
Genomics

Markowmodell :

Xt(b) sei Zufallsvariable

T ist Indexmenge mit T ={1, ...N}, wobei N = Anzahl der Basen

Zustandsraum B ={A, C, T, G}, und b1, b2, ... g B

Markow‘sche Eigenschaft :

P( Xn(b) = b1 | Xn-1(b) = b1 , Xn-2(b) = b2, ... ) = P( Xn(b1) | Xn-1(b2) )


Genomics20 l.jpg
Genomics

Produkt aller Wahrscheinlichkeiten ist ein Maß für die

Wahrscheinlichkeit eines Gens.

Genom : Abhängigkeit Xn von Xn-1, ... Xn-j

mit 0 < j < 8 ist Grad der Markowkette

Auf jedes j-Tupel von Basen folgt eine Base.

Erfassung der Übergangswahrscheinlichkeiten mit einer

höher dimensionalen Übergangsmatrix.


Genomics21 l.jpg
Genomics

Versuch am Genom von E. Coli liefert folgende Ergebnisse


Gene prediction l.jpg
Gene Prediction

Ergebnisse : 1) Der Algorithmus identifiziert ein Gen mit einer

Wahrscheinlichkeit von 94% richtig.

2) ORFs werden zu weniger als 10% fälsch-

licherweise als Gene erkannt.