Model Konkurujących Gatunków

1. Model Konkurujących Gatunków

2. Co to jest konkurencja? Konkurencja to jedna z antagonistycznych interakcji międzypopulacyjnych, w której dwie populacje tego samego lub różnych gatunków, zazwyczaj o podobnych wymaganiach środowiskowych rywalizują o tę samą niszę ekologiczną. Dochodzi do współzawodnictwa o ograniczone zasoby środowiska np. pożywienie.

3. Założenia modelu konkurujących gatunków: • Liczba konkurujących osobników jest proporcjonalna do liczebności każdego z tych gatunków, czyli iloczynu • Konkurencja zewnątrzgatunkowa może w różnym stopniu wpływać na osobniki różnych gatunków, w tym celu należy uwzględnić strategię jaką stosują osobniki w spotkaniu ze sobą. • Jednorodność każdej populacji, zatem wszystkie osobniki danego gatunku zachowują się jednakowo.

4. Strategie stosowane przez osobniki: Gołębia Jastrzębia Atakowanie osobników drugiego gatunku i wykazywanie agresji. • Osobniki stosującego ją gatunku ustępują przy spotkaniu z osobnikami , które zachowują się agresywnie.

5. Wpływ konkurencji na osobniki: Jeśli oba gatunki stosują strategię to tracą dużo energii przy spotkaniach na walkę, co przekłada się na duży wpływ tej konkurencji. Dla osobników stosujących strategię wpływ konkurencji jest nieco mniejszy. W przypadku strategii jeden z gatunków straci więcej energii niż drugi.

6. Rozważany model konkurujących gatunków ma postać: Oznaczenia:

7. Znajdźmy rozwiązania dla omawianego modelu:

8. Ostatecznie :

9. Wyznaczmy nasze izokliny:

10. Uwaga!Portrety fazowe zależą od wzajemnego położenia prostych .Od tego zależy także liczba rozwiązań stacjonarnych w przestrzeni fazowej

11. Uwaga!Wzajemne położenie izoklin zależy od wielkości współczynników

12. Przypadek 1 • Prosta znajduje się powyżej (pierwsza ćwiartka układu współrzędnych). • Proste te przecinają się w . • Istnieją trzy rozwiązania stacjonarne o nieujemnych współrzędnych: A, B, C. • Występują zarówno rozwiązania niestabilne ( A i C ) jak i stabilne ( B, które przyciąga inne rozwiązania ).

13. Portret fazowy Rys 1. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

14. Przypadek 2 • Analogiczny do przypadku 1. Za silniejszy gatunek uznajemy , który przeżywa, a jako słabszy , eliminowany ze środowiska . • Portret fazowy jest symetryczny z portretem dla przypadku wcześniejszego.

15. Przypadek 3 • Proste i przecinają się w pierwszej ćwiartce. • Istnieją rozwiązania stacjonarne, które nie są stabilne ( D ) i stabilne lokalnie ( B i C ). • Zachowanie rozwiązań zależy od warunków początkowych. Jeśli liczebność początkowa danego gatunku jest duża w stosunku do gatunku konkurencyjnego, to ten gatunek przeżywa.

16. Interpretacja przypadku Strategia jastrzębia vs. x3 x1

17. Portret fazowy Rys 2. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

18. Przypadek 4 • Proste i przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. • Występuje czwarte rozwiązanie stacjonarne ( D) do którego zbiegają wszystkie rozwiązania.

19. Interpretacja przypadku Strategia gołębia vs.

20. Portret fazowy Rys 3. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

21. Odmianą modelu jest układ zaproponowany przez V. Volterrę : Wpływ zużycia zasobów środowiska na gatunek Funkcja zużycia zasobów środowiska Liczebność Współczynnik rozrodczości

22. Własności funkcji F: • F jest klasy , czyli jest ciągła wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi. • F(0,0)=0; • F jest ściśle rosnąca ze względu na zmienne, czyli dla i=1,2. • Dla dowolnych ustalonych zachodzi:

23. Zbadajmy własności rozwiązań układu: Założenia: Układ ma nieujemne rozwiązania dla nieujemnych warunków początkowych , które są określone i ograniczone dla każdego t >0.

25. Znajdźmy izokliny:

26. Znajdowanie rozwiązań stacjonarnych.

27. Istnieje także czwarte rozwiązanie, które spełnia warunek :

28. Koniec