mod le math matique d un v lo n.
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Modèle mathématique d’un vélo

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Modèle mathématique d’un vélo - PowerPoint PPT Presentation


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Modèle mathématique d’un vélo. Guy Gauthier ing. Paramètres définissant la géométrie du vélo. Référentiels. Bicyclette version simplifiée. L’angle λ = 90°. Fourche avant verticale. Ce qui implique que c = 0. Vitesse de rotation du référentiel xyz. Vitesses

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Presentation Transcript
bicyclette version simplifi e
Bicyclette version simplifiée
  • L’angle λ = 90°.
    • Fourche avant verticale.
    • Ce qui implique que c = 0.
vitesse de rotation du r f rentiel xyz
Vitesse de rotation duréférentiel xyz
  • Vitesses
    • Roue arrière du vélo = V0;
    • Centre de gravité = V.
  • Vitesse de rotation du référentiel:
vitesse du centre de gravit
Vitesse du centre de gravité
  • A partir des deux équations précédentes:
  • Composante en y:
dynamique li e l inclinaison du v lo
Dynamique liée à l’inclinaison du vélo
  • Dynamique:
  • Avec:

Gravité

Force centrifuge

Force accélération

dynamique li e l inclinaison du v lo1
Dynamique liée à l’inclinaison du vélo
  • De plus, pour la partie centrifuge:
  • Ainsi, la dynamique devient:
bilan
Bilan
  • C’est l’équivalent d’un pendule:
    • Deux types de forces entrent en jeu:
      • Force centrifuge, proportionnelle à:
      • Force d’accélération angulaire, proportionnelle à:
lin arisation petits angles
Linéarisation (petits angles φ)
  • En posant cos(φ)≈1 et sin(φ)≈φ :
  • En Laplace
localisation des p les et z ros
Localisation des pôles et zéros
  • Pôles:
  • Zéros:

Un des pôles est instable !

valeurs num riques
Valeurs numériques
  • h = 1.3 m;
  • a = 0.4 m;
  • b = 1.2 m;
  • m = 75 kg;
  • Jp ≈ mh2.
bilan1
Bilan
  • Le gain du système dépend du carré de la vitesse du vélo.
  • La position du zéro dépend de la vitesse.
  • Pole instable à plus lent si h est grand.
    • Plus facile de conduire un vélo d’adulte qu’un vélo d’enfant.
comment rendre le v lo stable
Comment rendre le vélo stable ?
  • La clé, c’est la fourche avant:
    • Typiquement c = 4 à 8 cm.
comment rendre le v lo stable1
Comment rendre le vélo stable ?
  • Cela introduit une rétroaction:
  • Ainsi, on obtient:

Couple à la poignée

comment rendre le v lo stable2
Comment rendre le vélo stable ?
  • Pour que ce soit stable, il faut que:
    • Donc, une fourche avant est essentielle à la stabilité du vélo.
    • Vélo stable si vitesse suffisamment élevée.
      • Ce qui ne facilite pas la tâche aux enfants.
cas ou la roue command e est l arri re
Cas ou la roue commandée est à l’arrière
  • Schéma de principe:
    • Regardez la direction du vecteur V !
pr liminaires
Préliminaires
  • Équations:
  • Dynamique:
suite du mod le
Suite du modèle
  • Avec:
  • Qui dérivé donne:
nouvelle dynamique
Nouvelle dynamique
  • Qui est:
  • En linéarisant:
transformation de laplace
Transformation de Laplace
  • La voici:
  • Mêmes pôles, mais zéro dans le plan droit maintenant !
    • Gros risque de problème.
transformation de laplace1
Transformation de Laplace
  • Et avec une fourche avant:
bilan avec la conduite arri re
Bilan avec la conduite arrière
  • Système toujours instable.
  • La conduite arrière introduit un zéro dans le plan droit.
    • Ce zéro rend le contrôle très difficile, sinon impossible.
  • Un très mauvais design.
r f rence
Référence
  • Karl J. Åström, Richard E. Klein, and Anders Lennartsson, ‘Bicycle dynamics and control: adapted bicycles for education and research’, IEEE Control System Magazine, Vol. 24, No. 4, pp. 26-47, August 2005