Matrizes

1. Matrizes DEFINIÇÃO K corpo p,q números naturais Uma matriz p×q (ou matriz do tipo (p,q)) é um quadro (ou tabela de dupla entrada) de escalares do tipo com p linhas e q colunas de elementos . O elemento chama-se termo ou coeficiente da matriz. O índice i corresponde à linha, o índice j à coluna. Também se usa a notação .

2. Matrizes DEFINIÇÃO (Igualdade de Matrizes) Duas matrizes e de p linhas e q colunas são iguais se os seus coeficientes e são iguais para cada i=1,...,p e j=1,...,q. DEFINIÇÃO Uma matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas chama-se matriz quadrada.

3. Matrizes Numa matriz quadrada p×p, os elementos a11, a22, …, app são os da diagonal principal. Uma matriz quadrada em que os elementos que não são da diagonal principal são iguais a zero chama-se matriz diagonal. Se todos os elementos forem iguais a zero, a matriz diz-se nula. Os elementos aij e aji que se dispoem simetricamente relativamente à diagonal principal chamam-se opostos. Uma matriz quadrada diz-se triangular superior (inferior) se aij=0 quando i>j (aij=0 quando i<j). Uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais chama-se matriz escalar. Se forem iguais a 1 chama-se matriz identidade.

4. Matrizes DEFINIÇÃO Se é uma matriz quadrada, a matriz transposta de A, AT, é a matriz que se obtem substituindo cada elemento pelo seu oposto e mantendo os da diagonal principal. Assim, .

5. Matrizes DEFINIÇÃO Dada uma matriz A cujos elementos são números complexos, a matriz conjugada de A, , é a matriz que se obtem substituindo cada elemento de A pelo seu conjugado. DEFINIÇÃO Dada uma matriz A cujos elementos são números complexos, a matriz associada de A ou matriz transposta hermítica de A, AH, é a matriz que se obtem transpondo a conjugada de A. (isto é, )

6. Matrizes DEFINIÇÃO e duas matrizes p×q com coeficientes no corpo K. A matriz soma, A+B, é definida como sendo a matriz obtida adicionando os elementos correspondentes de A e B. ADIÇÃO DE MATRIZES NOTA A soma A+B só está definida quando A e B são do mesmo tipo, isto é, quando A e B têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.

7. Matrizes DEFINIÇÃO matriz p×q com coeficientes no corpo K, K. A matriz A é definida como sendo a matriz obtida multiplicando o escalar  pelos coeficientes de A. MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR

8. Matrizes TEOREMA O conjunto M das matrizes p×q com coeficientes no corpo K é umespaço vectorial sobre K.

9. Matrizes DEFINIÇÃO matriz p×q com coeficientes no corpo K. matriz q×r com coeficientes no corpo K. A matriz produto é uma matriz p×r cujos coeficientes cij são definidos por com i=1,...,p e j=1,...,r. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES (isto é, para se obter o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna de AB, multiplicamos ordenadamente os elementos da i-ésima linha de A pelos da j-ésima coluna de B e adicionamos os resultados,

10. Matrizes MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES NOTA Duas matrizes que podem ser multiplicadas (isto é, em que o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda) dizem-se encadeadas. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Sempre que os produtos estiverem definidos, tem-se: (I) ( A B ) C = A ( B C ) - associativa (II) A ( B + C ) = A B + A C - distributiva ( A + B ) C = A C + B C

11. Matrizes TEOREMA O conjunto Mn(K) das matrizes quadradas de ordem n (isto é, matrizes n×n) com coeficientes no corpo K com as operações de adição e multiplicação definidas é umanel com unidade não comutativo.

12. Matrizes DEFINIÇÃO Uma matriz A  Mn(K)diz-se invertível se existe B  Mn(K) tal que A B = B A = In. NOTA A matriz B quando existe é única. Representa-se por A-1, inversa de A.

13. Matrizes Generalizando, Se A1, A2,..., Ap são matrizes invertíveis e o produto A1A2...Ap está definido então: (I) A1A2...Ap é invertível (II) PROPOSIÇÃO Se A e B são matrizes invertíveis e o produto AB está definido (isto é, as matrizes são encadeadas) então: (I) AB é invertível (II) PROPOSIÇÃO Se A é invertível, AT também o é e .

14. Matrizes

15. Matrizes DEFINIÇÃO Seja a permutação . Diz-se que ocorre uma inversão em  ou que o par ((i),(j)) constitui uma inversão se i<j e (i)>(j). DETERMINANTE DEFINIÇÃO F=1,2,...,n} Uma permutação  de F é uma bijecção de F sobre F. O conjunto de todas as permutações de F com a operação de composição de funções forma um grupo que se chama Grupo Simétrico e se representa por Sn.

16. Matrizes O número de inversões da permutação  é . DETERMINANTE DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE INVERSÕES Para cada elemento do contradomínio de , verificar quais os elementos que o precedem e que são maiores do que ele. ls é o número de elementos que precedem s e que são maiores do que s, sendo s um elemento qualquer do contradomínio de .

17. Matrizes DETERMINANTE DEFINIÇÃO O número (1)l em que l é o número de inversões da permutação  chama-se sinal da permutação  e representa-se por (). DEFINIÇÃO Uma permutação diz-se par ou ímpar conforme o seu número de inversões é par ou ímpar, ou seja, conforme o seu sinal é +1 ou 1.

18. Matrizes DEFINIÇÃO matriz n×n com coeficientes em K O determinante da matriz A é o elemento de K definido pela expressão DETERMINANTE

19. Matrizes EXEMPLO (n=2) DETERMINANTE

20. Matrizes EXEMPLO (n=3) DETERMINANTE

21. Matrizes DETERMINANTE

22. Matrizes DETERMINANTE REGRA DE SARRUS (para o cálculo do determinante de uma matriz 3×3) A seguir à última coluna, reescrevem-se as duas primeiras colunas da matriz.

23. Matrizes DETERMINANTE REGRA DE SARRUS São positivos os produtos dos elementos ligados pelas linhas a vermelho, com a direcção da diagonal principal; São negativos os produtos dos elementos ligados pelas linhas a azul, com a direcção da diagonal não principal. NOTA Em vez de acrescentarmos à direita as duas primeiras colunas podemos acrecentar em baixo as duas primeiras linhas e a regra mantem-se.

24. Matrizes DETERMINANTE TEOREMA Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K. Então, det AT = det A.

25. Matrizes PROPRIEDADE 1 Seja uma matriz n×n sobre o corpo K. Se a linha i de A (1in), é a soma dos n-úplos e , então o determinante de A é igual à soma dos determinantes que se obtêm de A substituindo a linha i respectivamente por e , isto é: DETERMINANTE

26. Matrizes PROPRIEDADE 2 Seja uma matriz n×n sobre o corpo K. Se a linha i de A (1in) é o produto do escalar  pelo n-úplo , então o determinante da matriz A é igual ao produto de  pelo determinante da matriz que se obtêm de A substituindo a linha i por , isto é: DETERMINANTE

27. Matrizes DETERMINANTE COROLÁRIO (da Propriedade 2) Se a matriz A tem uma linha ou coluna de zeros, então det A = 0.

28. Matrizes PROPRIEDADE 3 Seja uma matriz n×n sobre o corpo K. Designemos por A' a matriz que se obtem de A trocando as linhas i e j de A (respectivamente as colunas i e j de A), ij, 1i,jn. Então det A' =  det A. DETERMINANTE

29. Matrizes DETERMINANTE COROLÁRIO (da Propriedade 3) Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det A = 0.

30. Matrizes DETERMINANTE TEOREMA Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K. Designemos por A' a matriz que se obtem de A adicionando à linha (coluna) i o produto do escalar  pela linha (coluna) j. Então det A' = det A.

31. Matrizes DETERMINANTE

32. Matrizes DETERMINANTE Observação: Quando se efectua a condensação de uma matriz, as transformações que podem ocorrer no seu determinante são: - Mudança de sinal, se houver troca de linhas (ou colunas) um número ímpar de vezes; - Multiplicação por um escalar não nulo, se se multiplicar uma linha (ou coluna) por um escalar não nulo.

33. Matrizes DETERMINANTE TEOREMA (Critério de invertibilidade de uma matriz) Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K. A é invertível se e só se det A 0. TEOREMA O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da sua diagonal principal. TEOREMA Se A e B são duas matrizes n×n sobre o corpo K, então det (AB) = det A  det B

34. Matrizes DETERMINANTE DEFINIÇÃO Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K. Chama-se menor de A associado ao elemento aij ao elemento de K det A(i|j). A(i|j) é o determinante da matriz que se obtem de A retirando a linha i e a coluna j DEFINIÇÃO Seja A uma matriz n×n sobre o corpo K. Chama-se complemento algébrico do elemento aij da matriz A ao elemento de K (1)i+jdet A(i|j). Representa-se por Aij.

35. Matrizes DETERMINANTE TEOREMA DE LAPLACE O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos complementos algébricos. COROLÁRIO A soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos complementos algébricos dos elementos de uma fila paralela, pela mesma ordem, é nula.

36. Matrizes MATRIZ INVERSA DEFINIÇÃO Chama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada A à matriz que se obtem transpondo A e substituindo em seguida cada elemento pelo seu complemento algébrico.

37. Matrizes TEOREMA Se det A 0, então MATRIZ INVERSA

38. Matrizes MATRIZ INVERSA DEFINIÇÃO Uma matriz quadrada A com coeficientes num corpo K diz-se regular (ou não singular) se det A 0. TEOREMA Uma matriz quadrada com coeficientes num corpo é invertível se e só se é regular.

39. Matrizes MATRIZ INVERSA DEFINIÇÃO Uma matriz quadrada real invertível A diz-se ortogonal se a inversa coincide com a transposta. DEFINIÇÃO Uma matriz quadrada complexa invertível A diz-se unitária se a inversa coincide com a transposta da conjugada.

40. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ

41. Matrizes Seja uma matriz m×n sobre o corpo K. Linhas da matriz A Li vector cujas coordenadas são na base canónica de Kn. CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ As linhas da matriz A podem ser identificadas com vectores do espaço vectorial Kn.

42. Matrizes P1 P2 P3 P4 Se em L1,...,Lm algumas das linhas forem linearmente dependentes, então todas o são. Se em L1,...,Lm alguma linha é nula (isto é, totalmente formada por zeros), então as linhas são linearmente dependentes. L1,...,Li,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo sucede com L1,...,Li,...,Lm,  escalar não nulo. L1,...,Li,...Lj,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo sucede com L1,...,Li+Lj,...,Lj,...,Lm. CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ A dependência linear das linhas de uma matriz goza das seguintes PROPRIEDADES

43. Matrizes P5 P6 As linhas L1,...,Lm são linearmente dependentes se e só se o mesmo acontece com as que se obtêm somando a uma delas uma combinação linear das restantes. (consequência de P3 e P4) As linhas L1,...,Lm são linearmente dependentes se e só se alguma delas é combinação linear das restantes. CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ

44. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ Analogamente para colunas.

45. Matrizes O1 O2 O3 Troca entre si de duas linhas. Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero. Substituição de uma linha pela que dela se obtem adicionando-lhe o produto de outra por um escalar. CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ OPERAÇÕES ELEMENTARES sobre as linhas de uma matriz

46. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ Analogamente para colunas.

47. Matrizes O1 O2 O3 Troca (entre si) de duas filas paralelas (linhas ou colunas). Multiplicação de uma fila por um escalar diferente de zero. Substituição de uma fila pela que dela se obtem adicionando-lhe o produto de outra fila paralela por um escalar. CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ TEOREMA A dependência ou independência linear das linhas (ou colunas) de uma matriz não é alterada por nenhuma das seguintes operações (chamadas operações elementares):

48. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ É possível, efectuando apenas operações elementares, transformar qualquer matriz numa matriz diagonal em que os primeiros elementos da diagonal principal são iguais a 1 (podendo eventualmente serem todos) e os restantes (que podem eventualmente não existir) são iguais a 0. É o que se chama condensar uma matriz.

49. Matrizes CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ

50. Matrizes Condensando uma matriz obtemos uma matriz do tipo com r elementos iguais a 1 na diagonal principal que se pode representar por onde Ir representa a matriz identidade de ordem r e os zeros significam que os restantes elementos da matriz são todos nulos. CONDENSAÇÃO DE UMA MATRIZ