podstawy statystyki n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Podstawy statystyki PowerPoint Presentation
Download Presentation
Podstawy statystyki

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 62

Podstawy statystyki - PowerPoint PPT Presentation


  • 290 Views
  • Uploaded on

Podstawy statystyki. Dr Janusz Górczyński. Literatura. J. Jóźwiak, J.Podgórski, Statystyka od podstaw , PWE, Warszawa 1997 K. Zając, Zarys metod statystycznych , PWE, Warszawa, 1994 J. Górczyński, Podstawy statystyki , Wyd. II. WSZiM Sochaczew, 2000

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Podstawy statystyki' - southern


Download Now An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
podstawy statystyki

Podstawy statystyki

Dr Janusz Górczyński

literatura
Literatura
  • J. Jóźwiak, J.Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1997
  • K. Zając, Zarys metod statystycznych, PWE, Warszawa, 1994
  • J. Górczyński, Podstawy statystyki, Wyd. II. WSZiM Sochaczew, 2000
  • J. Górczyński, Wybrane wzory i tablice statystyczne, Wyd. II. WSZiM Sochaczew, 2000
czym zajmuje si statystyka
Czym zajmuje się statystyka?
  • Odpowiadając na to pytanie rozważmy taką sytuację: interesuje nas poznanie takiej cechy jak np. zużycie paliwa na 100 km przez samochody pewnej firmy (i modelu).
  • Szukając odpowiedzi na to pytanie można by ograniczyć się do spytania znajomego właściciela takiego pojazdu o to, ile jego pojazd zużywa paliwa.
czym zajmuje si statystyka 2
Czym zajmuje się statystyka ? (2)
  • Powiedzmy, że odpowiedź brzmi: 6,8 l/100 km.
  • Natychmiast pojawiają się wątpliwości co do sposobu traktowania tej odpowiedzi.
  • Czy to oznacza, że WSZYSTKIE samochody mają takie zużycie?
  • Czy to oznacza, że ŚREDNIE zużycie jest takie?
czym zajmuje si statystyka 3
Czym zajmuje się statystyka ? (3)
  • Czy nasz znajomy jest DOBRYM reprezentantem ogółu właścicieli tego modelu?
  • A może jeździ zbyt ostro?
  • A może zbyt delikatnie?
  • A może trzeba uzyskać odpowiedzi od większej liczby kierowców?
  • Jeżeli tak, to od ilu? I jak ich wybrać?
czym zajmuje si statystyka 4
Czym zajmuje się statystyka ? (4)
  • Powiedzmy, że uzyskaliśmy odpowiedzi od 9 użytkowników badanego modelu.
  • Niech to będą takie dane:6,2 6,7 6,5 6,9 7,2 7,2 7,1 7,3 7,2
  • Co TERAZ możemy powiedzieć o zużycia paliwa?
  • Najmniejsze zużycie to 6,2 l/100 km, a największe to 7,3 l/100 km.
czym zajmuje si statystyka 5
Czym zajmuje się statystyka ? (5)
  • A jak można teraz określić PRZECIĘTNE zużycie paliwa?
  • Jedna z możliwości to ŚREDNIA ARYTMETYCZNA, w tym przykładzie równa 6,92 l/100 km.
  • Pytanie kolejne: czy ta średnia odnosi się tylko do tych 9 pomiarów, czy też może być odniesiona do ogółu użytkowników badanego modelu?
czym zajmuje si statystyka 6
Czym zajmuje się statystyka ? (6)
  • Odpowiedzi na te i wiele innych pytań udziela STATYSTYKA, która zajmuje się badaniem zjawisk masowych.
  • Analiza zjawisk masowych pozwala na poznanie natury zjawiska (cechy) i praw nim rządzących.
  • Zastosowanie statystyki do naszego przykładu pozwoli na uogólnienie wniosków na wszystkich użytkowników badanego modelu samochodu.
badanie statystyczne
Badanie statystyczne
  • Celem badania statystycznego będzie najczęściej poznanie rozkładu danej cechy i oszacowanie charakterystyk tego rozkładu.
  • Jeżeli zmienna losowa X jest modelem probalistycznym dla pewnej cechy w populacji generalnej, to rozkład często-ści występowania tej cechy jest opisany rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej modelowej.
statystyka a rachunek prawdopodobie stwa
Statystyka a rachunek prawdopodobieństwa
  • Statystyka korzysta z rachunku prawdopodobieństwa – działu matematyki zajmującego się badaniem zdarzeń przypadkowych (losowych).
  • Tym samym będziemy korzystać z elementarnych pojęć rachunku prawdopodobieństwa.
elelementy prawdopodobie stwa 1
Elelementy prawdopodobieństwa (1)
  • Zdarzenie losowe – takie, którego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć.
  • Przykładowo: wynik rzutu monetą, suma oczek przy rzucie dwoma kostkami sześciennymi.
  • Zdarzenie elementarne – każda możliwa sytuacja w danym zagadnieniu (eksperymencie).
elelementy prawdopodobie stwa 2
Elelementy prawdopodobieństwa (2)
  • Przykładem zdarzenia elementarnego przy rzucie dwoma kostkami do gry jest para liczb odpowiadających liczbie oczek na każdej z kostek (1,1), (1,2)...(6,6).
  • Zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych oznaczamy symbolem .
  • Zbiór  może być skończony lub nie (może zawierać nieskończenie wiele zdarzeń elementarnych).
elementy prawdopodobie stwa 3
Elementy prawdopodobieństwa (3)
  • Zdarzenie losowe – jest to dowolny pod-zbiór zbioru zdarzeń elementarnych .
  • Rozpatrzmy rzut 3 monetami. Zdarzeniem losowym (powiedzmy) A może być wyrzucenie 2 reszek.
  • Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego – jest to szansa zajścia tego zdarzenia.
  • Prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału domkniętego <0; 1>
obliczanie prawdopodobie stw 1
Obliczanie prawdopodobieństw (1)
  • Przy obliczaniu prawdopodobieństwa zajścia dowolnego zdarzenia losowego A można korzystać z tzw. klasycznej definicji Laplace’a:

gdzie k jest liczbą zdarzeń elementarnych tworzących zdarzenie A, a n liczbą wszyst-kich zdarzeń elementarnych w zbiorze .

obliczanie prawdopodobie stw 2
Obliczanie prawdopodobieństw (2)
  • Z podanego wzoru można oczywiście korzystać tylko wtedy, gdy zbiory zdarzeń elementarnych i zdarzeń tworzących zdarzenie losowe A są skończone (policzalne).
  • Z podanego wzoru wynika, że P(A) może być równe 0 (dla k=0).
  • Z podanego wzoru wynika, że P(A) może być równe 1 (dla k=n).
obliczanie prawdopodobie stw 3
Obliczanie prawdopodobieństw (3)
  • O zdarzeniu losowym A, którego P(A)=0 mówimy, że jest to zdarzenie niemożliwe.
  • O zdarzeniu losowym A, którego P(A)=1 mówimy, że jest to zdarzenie pewne.
  • Zdarzenie A’ nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A.
  • Suma zdarzeń A i A’ tworzy zdarzenie pewne.
obliczanie prawdopodobie stw 4
Obliczanie prawdopodobieństw (4)
  • Dla prawdopodobieństw zdarzeń A i A’ zachodzi relacja:
  • P(A)+P(A’)=1
  • a stąd P(A’)=1-P(A)
  • Relację powyższą wykorzystuje się przy obliczaniu prawdopodobieństwa zajścia A - jeżeli łatwiej jest obliczyć P(A’).
obliczanie prawdopodobie stw 5
Obliczanie prawdopodobieństw (5)
  • Przy obliczaniu prawdopodobieństw wykorzystuje się dwa klasyczne wzory:
  • P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) (1)
  • P(AB)=P(A)P(B/A) (2)
  • Jeżeli zdarzenia A i B się wykluczają, to wzór 1 przyjmuje postać:
  • P(AB)=P(A)+P(B) (3)
  • Jeżeli A i B są niezależne, to wzór 2 przyjmuje postać:
  • P(AB)=P(A)P(B) (4)
przyk ad 1
Przykład 1

Z talii 52 kart pobieramy losowo 1 kartę. Jakie jest p-stwo, że jest to as lub kier?

Korzystamy z wzoru na p-stwo sumy dwu zdarzeń. Niech A oznacza wylosowanie asa, a B wylosowanie kiera.

Zgodnie ze wzorem P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) mamy:

przyk ad 2
Przykład 2

Z urny o składzie 4 kule białe, 6 zielonych i 10 niebieskich losujemy 1 kulę. Jakie jest p-stwo, że jest to kula biała lub zielona?

Korzystamy z wzoru na p-stwo sumy dwóch zdarzeń. Niech A oznacza wylosowanie kuli białej, a B zielonej.

Zgodnie ze wzorem P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) mamy:

przyk ad 3
Przykład 3

Z urny o składzie 4 kule białe, 6 niebieskich i 10 zielonych losujemy dwie kule. Jakie jest p-stwo, że są to kule białe?

Korzystamy z wzoru na p-stwo iloczynu dwóch zdarzeń. Niech A oznacza wylosowanie pierwszej kuli białej, a B drugiej kuli białej.

Zgodnie ze wzorem P(AB)=P(A)P(B/A) mamy:

przyk ad 3 inaczej
Przykład 3 inaczej

Przykład 3 może być także rozwiązany z użyciem symbolu Newtona od określenia liczebności zbioru  i ilości zdarzeń elementarnych składających się na zdarzenie losowe.

zmiene losowe definicja
Zmiene losowe - definicja

Zmienną losową X nazywamy funkcję o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze zdarzeń elemen-tarnych 

Zmienne losowe oznaczać będziemy dużymi litera-mi alfabetu (np. X, Y, Z), a ich wartości odpowiednio małymi literami (np. x, y, z).

Ze względu na możliwy zbiór wartości rozróżniać będziemy dwa podstawowe typy zmiennych losowych: skokowe i ciągłe.

zmienna losowa skokowa
Zmienna losowa skokowa

Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje skończoną lub przeliczalną liczbę wartości z pewnego przedziału.

Zmienne tego typu nazywane są także zmiennymi dyskretnymi.

Przykładem zmiennej tego typu może być np. liczba błędów na stronie pewnej książki.

zmienne losowe ci g e
Zmienne losowe ciągłe

Zmienna losowa typu ciągłego przyjmuje nieskończenie wiele wartości z pewnego przedziału liczbowego.

Przykładem tego typu zmiennej może być np. zawartość tłuszczu w mleku krów, czy zawartość białka w pewnym produkcie.

rozk ad zmiennej losowej skokowej
Rozkład zmiennej losowej skokowej

Przyporządkowanie każdej wartości zmiennej losowej typu skokowego prawdopodobieństwa jej realizacji nazy-wamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (w skrócie f.r.p.). Funkcja ta może być podana w formie tabelki, wzoru lub wykresu.

Dla f.r.p. spełnione są warunki:

rozk ad zmiennej losowej ci g ej
Rozkład zmiennej losowej ciągłej

Funkcję f(x) spełniającą dwa warunki

nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa (f.g.p.) pewnej zmiennej losowej X (ciągłej).

funkcja dystrybuanty
Funkcja dystrybuanty

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) spełniającą warunek:

w asno ci dystrybuanty
Własności dystrybuanty

Funkcja dystrybuanty spełnia trzy warunki (lub inaczej ma następujące własności):

1.

2. jest niemalejąca

3. jest co najmniej prawostronnie ciągła

W szczególności

parametry rozk adu zmiennych losowych
Parametryrozkładu zmiennych losowych

Momentem zwykłym rzędu kzmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną k-tej potęgi tej zmiennej:

parametry rozk adu zmiennych losowych1
Parametryrozkładu zmiennych losowych

Momentem centralnym rzędu k zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną funkcji

wybrane momenty
Wybrane momenty

Moment zwykły rzędu pierwszego nazywamy wartością oczekiwaną zmiennej losowej X (wartością średnią):

Moment centralny rzędu drugiego nazywamy wariancją zmiennej losowej X

Pierwiastek kwadratowy z wariancji nazywamy odchyleniem standardowym

zwi zki mi dzy momentami
Związki między momentami

Dla trzech pierwszych momentów zachodzą związki:

Ze związków tych korzystamy przy praktycznym wyznaczaniu momentów centralnych.

dodatkowe c harakterystyki pozycyjne
Dodatkowe charakterystyki pozycyjne

Medianą zmiennej losowej X nazywamy wartość Me spełniającą nierówności:

Dla zmiennej ciągłej spełniony jest warunek:

Mediana jest taką wartością zmiennej losowej X, która dzieli pole pod funkcją gęstości na dwie części o identycznej powierzchni.

dodatkowe charakterystyki pozycyjne
Dodatkowe charakterystyki pozycyjne

Kwantylemrzędu pzmiennej losowej X nazywamy wartość Kp spełniającą nierówności:

Z powyższej definicji wynika, że dla zmiennej ciągłej prawdziwa jest zależność:

dodatkowe charakterystyki pozycyjne1
Dodatkowe charakterystyki pozycyjne

Kwantyle rzędu p = 0.25, p = 0.50 oraz p = 0.75 nazywane są odpowiednio kwartylami i oznaczane symbolami

Q1- kwartyl pierwszy

Q2 - kwartyl drugi

Q3- kwartyl trzeci

Z definicji kwantylu wynika, że kwartyle dzielą zbiór wartości zmiennej losowej X na ćwiartki (po 25% zbioru elementów).

dodatkowe charakterystyki pozycyjne2
Dodatkowe charakterystyki pozycyjne

Dominantą Do (modą Mo) zmiennej losowej X nazywamy taką wartość x tej zmiennej, której odpo-wiada największe prawdopodobieństwo realizacji (w przypadku zmiennej losowej skokowej).

W przypadku zmiennej losowej ciągłej wartości x odpowiada maksimum lokalne funkcji gęstości.

obliczanie dodatkowych charakterystyk
Obliczanie dodatkowych charakterystyk

Funkcja rozkładu p-stwa pewnej zmiennej losowej X dana jest tabelką:

Obliczmy Me, k0,75 oraz Do (Mo) tej zmiennej losowej.

charakterystyki
Charakterystyki ....

Medianą tej zmiennej losowej jest dowolna liczba z zakresu od –1 do 0, co wynika z poniższych nierówności:

Kwantylem rzędu 0,75 jest liczba 1, co wynika z nierówności:

Dominanta nie istnieje, nie ma bowiem takiej wartości zmiennej, której odpowiada max. p-stwa.

asymetria rozk adu zmiennej losowej
Asymetria rozkładu zmiennej losowej

Zmienna losowa X ma rozkład symetryczny, jeżeli istnieje taka wartość a, że każdemu punktowi odpowiada punkt taki, że spełnione są warunki:

W przypadku ciągłej zmiennej losowej opisanej funkcją gęstości f(x) musi być spełniony warunek:

dla każdego x

asymetria rozk adu zmiennej losowej1
Asymetria rozkładu zmiennej losowej

Punkt a nosi nazwę środka symetrii, a prosta x = a jest osią symetrii.

asymetria rozk adu
Asymetria rozkładu

Asymetria prawostronna

(M oznacza średnią, a M0 dominantę)

asymetria rozk adu1
Asymetria rozkładu

Asymetria lewostronna

(M oznacza średnią, a M0 dominantę)

miary asymetrii
Miary asymetrii

Miarą asymetrii może być różnica między wartością średnią (M) a dominantą (Mo), która mierzy nie tylko stopień asymetrii, ale także jej kierunek. Jest to jednak miara mianowana, a więc zależna od jednostek cechy.

Lepszą miarą asymetrii jest współczynnik asymetrii (skośność) zdefiniowany jako

gdzie DX jest odchyleniem standardowym.

miary asymetrii c d
Miary asymetrii (c.d)

Jeżeli  > 0, to asymetria rozkładu jest dodatnia (prawostronna).

Jeżeli  < 0, to asymetria rozkłau jest ujemna (lewostronna).

W rozkładzie symetrycznym = 0 (co wynika z faktu, że w rozkładach symetrycznych wszystkie momenty centralne rzędu nieparzystego są równe zero)

kurtoza
Kurtoza

Miarą kształtu rozkładu zmiennej losowej jest kurtoza definiowana jest jako różnica stosunku momentu centralnego rzędu czwartego do kwadratu momentu centralnego rzędu drugiego a liczbą 3:

Dodatnia wartość kurtozy wskazuje na wysmukły kształt rozkładu zmiennej losowej, ujemna z kolei na kształt spłaszczony. Kurtoza jest więc miarą koncentracji wartości zmiennej losowej wokół jej wartości średniej.

podstawowe rozk ady zmiennych losowych
Podstawowe rozkłady zmiennych losowych

1.Rozkład zero-jedynkowy.

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa dana jest tabelką:

xi 0 1

piqp

Oczywiście p + q = 1

Parametrami rozkładu tej zmiennej są:

podstawowe rozk ady zmiennych losowych1
Podstawowe rozkłady zmiennych losowych

2. Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)

Rozkład ten otrzymujemy w wyniku n-krotnego powtarzania eksperymentu, w którym realizuje się zmienna zero-jedynkowa. Zmienna losowa przyjmuje n + 1 wartości, a jej f.r.p. dana jest wzorem:

Parametry rozkładu są odpowiednio równe:

podstawowe rozk ady zmiennych losowych2
Podstawowe rozkłady zmiennych losowych

3. Rozkład Poissona

Zmienna losowa X przyjmująca wartości k = 0, 1, 2, ..., n ma rozkład Poissona, jeżeli jej f.r.p dana jest wzorem:

Parametrami rozkładu tej zmiennej są odpowiednio:

Rozkład Poissona może być wykorzystany jako przybliżenie rozkładu dwumianowego (Bernoulliego) w tych sytuacjach, gdy n jest duże, p małe i iloczyn np =  = const.

podstawowe rozk ady zmiennych losowych3
Podstawowe rozkłady zmiennych losowych

4. Rozkład normalny

Funkcja gęstości rozkładu normalnego dana jest wzorem

W rozkładzie normalnym przyjmuje się nastepujące oznaczenia parametrów:

Jeżeli pewna zmienna losowa będzie miała rozkład normalny z wartością średnią m i odchyleniem standardowym s, to zapiszemy to jako

Xm

Wykresem funkcji gęstości rozkładu normalnego jest tzw. krzywa Gaussa.

prawo 3 sigm
Prawo 3 sigm

Niech pewna zmienna losowa X ma rozkład normalny N(m; s).

Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną X wartości z przedziału <m-3s, m+3s> jest równe 0,997 .

Wynik ten można zinterpretować następująco: w przedziale <m-3s, m+3s> mieszczą się prawie wszystkie elementy danej populacji (normalnej).

Prawo to jest znane jako prawo 3 sigm.

standaryzacja rozk adu
Standaryzacja rozkładu

Rozkład normalny ze średnią m = 0 oraz odchyleniem standardowym s = 1 nazywamy standardowym rozkłademnormalnym i oznaczamy symbolem N(0; 1)

Podstawienie

pozwala na przekształcenie dowolnego rozkładu normalnego do standardowego rozkładu normalnego.

rozk ad n 0 1
Rozkład N(0; 1)

Standardowy rozkład normalny jest stablicowany, w tablicach statystycznych najczęściej podawana jest dystrybuanta tego rozkładu.

Zmienne losowe o standardowym rozkładzie normalnym są podstawą konstrukcji kilku kolejnych rozkładów o podstawowym znaczeniu w statystyce. Są to miedzy innymi rozkłady:

2- Pearsona

t - Studenta

F - Fishera-Snedecora