関係 (relation)

1. Ver.２ y x 関係 (relation) このように “,” で区切って書くときには「かつ」(and)の意味になる。 • 集合Ａの要素aとＢの要素bとが、ある条件Ｒを満たすとき「Ｒの関係にある」といい、aRb と書く。 • Ｒの関係にある要素の対<a,b>の全体は 直積ＡＸＢの部分集合　　　　　　　　　　　と同一視できる。 • 例：二つの実数の関係 　　は，集合　　　　　　　　　　　のことである。 グー 別の例： パー チョキ

2. n項関係 • xと yが関係 Rを満たす、つまり のとき、良く と書く (infix notation)。これは二項関係。 • 集合ＡからＢへの関数f (写像) のグラフは、直積　　　の部分集合であり、一つの二項関係である。Ａの要素aの関数 f による像 f(a)は • Aと Aの間の関係を A上の関係ともいう。 • 前出の例題「ジャンケンの関係」 • 3項以上の関係もある。 • 例:a氏がb氏にcというメールを出した <a,b,c> • 例:夫aと妻bには子供cがいる<a,b,c>

3. 二項関係の性質 ∀x すべてのx • 二項関係　　　　　においては、次の性質が基本的 • 反射律 • 推移律 • 対称律 • 反対称律 • 関係Ｒが反射律を満たすとき、Ｒは反射的という。 • 例：Ｎ上の大小関係　は反射的、推移的、反対称的 平面上の二直線の平行関係は反射的、推移的、対称的

4. 同値関係 (equivalence relation) • 反射的、推移的、対称的な関係を同値関係という • 例：平面上の直線の間の「平行関係」二つの三角形が「合同である」「相似である」 • 例：自然数 m, 整数 x, yに対して • 例：関数 が与えられた時　　　　　に対して • 例：自然数の上の等号（＝）　 x とyは mを法として合同

5. 同値類 ＊直和分割：　集合A を、互いに交わらない（空でない）集合の和集合として表すことができる意味。 • 集合 A上の同値関係 Rとが与えられたとき • （x の属する同値類）xと R の関係にある y の集合 • x を代表元という • 集合 A の任意の同値関係 R に対して、R の定める同値類の全体の集合は A の直和分割＊。逆に A の任意の直和分割は A のある同値関係の定める同値類の全体の集合に一致する。

6. 商集合 • Aの Rによる分割，商集合 例： ３を法として合同な整数の集合 Z の商集合は • 集合Aから、AのRによる商集合　　への写像fを　　　　　により定義すると、この fは全射。Aから への標準的な(canonicalな)全射という.。

7. 関係の合成 • 集合 A上の関係の合成（積ともいう） • 合成の繰返しをベキ乗として定義する • （idA : A上の恒等関係）

8. 関係の閉包 • 推移的閉包 (reflexive closure) • 反射推移的閉包 (reflexive transitive closure) • 推移的閉包は推移的である。反射推移的閉包は反射的かつ推移的である。 • 性質：Rが推移的であれば、R+=Rである。

9. 関係と隣接行列 このa, b, c, dは注釈であり、行列の一部ではない a b c d 有向グラフ (directed graph) • 関係の合成は行列の積の０でない成分に対応 a b c d

10. S学部 C学科 W大学 G研究室 WEBページのリンクの関係 Googleのページランク 次回の予告 • 基本的な仕組は数学的グラフの行列による表現隣接行列（推移行列、遷移行列）固有値と固有ベクトル 行列の上と左のW, S, C, Gは注釈であり行列に含まれない

11. 隣接行列と閉包 • 隣接行列の定義 • 隣接行列の性質 • 行列Rnの(i,j)成分は、aiからajに至る長さnの相異なる道の数。（道のことを経路ともいう） • 行列R*の(i,j)成分が０でないとき、 aiからajに至る道がある。到達可能。（長さ０の道もあり） Rを否定している斜線

12. 二項関係と順序 () • 次の三つの性質を満たす二項関係 を半順序(partial order)という。半順序集合を posetという。 • 反射律 • 推移律 • 反対称律 • さらに次の性質も満たすとき全順序 (total order) という。全順序を線形順序 (linear order)ともいう。 • 単に順序という場合には半順序のことを指す。 論理記号 or

13. 順序集合 • N, Z, R：数の大小関係　 これは自明な順序。 • 複素数の集合C：ここには自明な順序がない。 • 文字 (a～z, A～Z)の集合：それほど自明でない。 • 単語（文字列）：自明でない。 • 学校の成績：いろいろな計算法があり自明でない。 • {red, green, blue} : 関係の定義が必要。 • 部分集合の間の順序：包含関係⊂は順序である。 • {{}, {red}, {green}, {blue}, {red,green}, {red,blue},{green,blue}, {red,green,blue}} • Cや学校の成績にも特定の要素間には順序あり。

14. 順序集合（部分集合、直積） • 集合 Aとその上の半順序  の組 <A,  >のこと。 • A の上の順序  が明示されていたり、自明な場合には、単に A と書く。 • 例：集合 Aに対して (2A, )は順序集合。 • 例：順序集合の直積を順序集合にする方法は複数通り考えられる • 直積順序： • 辞書式順序：lexicographic order

15. 順序集合（N, 関数） • Nの自明な順序ではない順序がある。 • 例：m|n （mは nの約数という二項関係）これは順序である。ただし全順序ではない［演習のヒント］反射的、推移的、反対称的。 • Bが順序集合のとき、関数 f,g  A B の間の順序を B上の順序を使って定義できる。

16. 狭義の順序 • 狭義の順序を、以下の二つの性質を満たす関係として定義する。 • 推移的： • 非反射的： • 演習：Rを狭義の順序とする。二項関係R*を次のように定義すると、R*は順序になる。 否定 not （詳しい説明は省略）

17. ハッセ (Hasse) の図式 • Aの各要素a, bに対して平面上の点Pa , Pbをとる。a<b の時、PbをPaよりもY座標を大きな位置に描く。 • b が a の直後の要素であるとき、PaとPbとを線分で結ぶ。この線分上にはPa , Pb以外の点は描かない。

18. 直前の要素、直後の要素 • 順序集合 (A, ) において xA が aA の直後の要素(successor) であるとは、次の性質を満たすこと。 • 同様に、直前の要素 (predecessor)を定義できる。 • 例：n ( N, n  0)の直前の要素は n1 • 例：a(Q)の直前の要素は存在しない。順序集合(A, )が稠密（ちゅうみつ）であるとは、任意のa, bAに対してa<bならば必ずa<c<bとなる c が存在することである。Qは稠密。

19. ハッセ (Hasse) の図式の例 全順序 比較不能 {red,green,blue} {red,green} {green,blue} {red,blue} {red} {green} {blue} {}

20. Jane(100) Smith(92) Mary(85) Tom(85) Pat(80) Bob(77) 擬順序 (quasi-order, preorder) 別の例： • 反射律と推移律を満たす関係（反対称律は満たさなくてよい）を擬順序という。 • 　　　　　　　　　　　で定義される関係 ~ は同値関係になる。商集合 A/~ の上の二項関係　　　　　　　　　は順序になる。

21. 最大と極大 • 順序集合 (A, ) と、その部分集合Bがある。Bの要素 b が次の性質を満たすとき、bをBの最大元という。 ∀x∈B(x  b )maximum • Bの要素 b が次の性質を満たすとき、bをBの極大元という。 ∀x∈B(b  x ⇒ x=b )maximal x y 極大元（２つある） z w u 最小元＝極小元 最大元が存在すれば、それが極大元。最大元は存在すれば一つ。極大元は複数個が存在することがある。