Funciones Logarítmicas

1. Funciones Logarítmicas Lucas Picos Millán.

2. Logaritmo de un número • El logaritmo en base b de un número a es el número c, si b elevado al exponente c da como resultado a. En símbolos: logba = c  bc =a b es la base del logaritmo y debe ser un número positivo y distinto de 1. a es el argumento del logaritmo y debe ser un número real positivo.

3. Cambio de base Logab=logcb/logca • El procedimiento cambio de base nos permite cambiar la base b de un logaritmo por otras mas conveniente. Si llamamos c a la base elegida, podemos aplicar directamente la siguiente formula : Así podemos obtener con la calculadora científica el logaritmo de un numero en cualquier base. La nueva base que elegiremos será 10 o e. Ejemplo: log2256= log256/log2=8 o bien Log2256= ln256/ln2=8

4. Logaritmos Logaritmos decimales: son aquellos de base 10. Generalmente, la base no se escribe. Por ejemplo: log x = log10x El número e: es un número irracional cuyo valor aproximado es: e = 2,71828 Logaritmos naturales: son los de base e. Se los escribe con ln, es decir que: Logaritmos con la calculadora: Para obtener logaritmos decimales (en base 10): pulsamos la tecla log Para obtener logaritmos naturales o neperianos (en base e): pulsamos la tecla ln Para obtener logaritmos en otra base, aplicamos cambio de base: (ver “Propiedades de los Logaritmos”)

5. La función logarítmica se simboliza de la manera: y=logaX (Se lee: «Logaritmo en base a de X») El dominio de la función Y=logaX es R+, pues coincide con el conjunto imagen de su inversa y=aX Función Logarítmica

6. Algunas características de los gráficos. • K > 0 a > 1 b > 0 crece • K > 0 a > 1 b < 0 decrece • K > 0 a < 1 b < 0 crece • K > 0 a < 1 b > 0 decrece • K < 0 a > 1 b > 0 decrece • K < 0 a > 1 b < 0 crece • K < 0 a < 1 b < 0 decrece • K < 0 a < 1 b > 0 crece • Desplazamiento horizontal: y = logb(x - a) • Dominio: (0, ∞); R+ • Imagen: R • Asíntota vertical: x = a

7. Ejemplo: Esta es una representación de la función: y=log2x • El conjunto imagen es R+ • Es creciente en todo su dominio • Tiene una asíntota vertical que es el eje y • No corta el eje de ordenadas • Corta el eje de abscisas en x=1

8. En este ejemplo podremos ver en qué afectan las diferentes bases en una función logarítmica. En el gráfico se encuentran dibujadas las funciones: Funciones logarítmicas de distintas bases f(x)= log2x G(x)= log3 x H(x)=log1/2x J(x)= log1/3x

9. Conclusiones: Características comunes: • Cortan al eje de abscisas en el punto (0 ; 1) • No cortan el eje de ordenadas, y el conjunto imagen es R+ • Tiene una asíntota vertical que es el eje x Diferencias: • Si la base es mayor que 1, la función es creciente • Si la base es menor que 1, la función es decreciente • Las curvas correspondientes a funciones de bases recíprocas son simétricas

10. Desplazamiento horizontal de la función logarítmica. En este caso se graficaron las funciones: f(x) = log2x Dominio: R+ Asíntota: Eje y g(x) = log2(x-2) Dominio: [2;+∞] Asíntota: x = 2 h (x) = log2(x+1) Dominio: R Asíntota: x = -1 • Si trasladamos el gráfico de f(x) = log2x • dos unidades hacia la derecha, obtenemos • el gráfico de la función g(x) = log2(x-2) • Si trasladamos el gráfico de f(x) = log2x • una unidad hacia la izquierda, obtenemos el gráfico de la función h(x) = log2(x+1) • El desplazamiento horizontal, en estos casos, modifica el dominio de la función y la asíntota.

11. Aplicaciones de la función logarítmica En todos los casos en que se aplican las funciones exponenciales, como los expuestos anteriormente, son necesarios lo logaritmos para averiguar los valores de las variables que aparecen como incógnitas en los exponentes

12. Intensidad sísmica. La escala de Ritcher, utilizada para medir la intensidad de los terremotos, es una escala logarítmica de base 10. La magnitud de un terremoto en esa escala está dada por la fórmula: Donde Mes el grado de la escala de Ritcher y p es la potencia, que indica cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto en comparación con una onda de referencia correspondiente a la situación normal. M = log p

13. PH y acidez de las soluciones La concentración de iones hidrógeno en una solución determina su grado de acidez. Como se trata de cantidades muy pequeñas, se inventó una escala logarítmica que facilita su manejo. La fórmula que relaciona el pH de una solución con la concentración de iones hidrógeno es la siguiente: pH = log (1/[H+]), donde [H+] representa los moles de iones hidrógeno por litro.