Pertemuan 3 2010 - PowerPoint PPT Presentation

slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Pertemuan 3 2010 PowerPoint Presentation
Download Presentation
Pertemuan 3 2010

play fullscreen
1 / 43
Pertemuan 3 2010
196 Views
Download Presentation
sirvat
Download Presentation

Pertemuan 3 2010

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Pertemuan 3 2010 bilqis

  2. Cara membuktikan Sub-bab 1.5 bilqis

  3. Terminologi: • Teorema: pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya • Ex : Bumi adalah bulat • Argumen: rangkaian pernyataan yang membentuk bukti • Aksioma: pernyataan yang digunakan dalam suatu bukti, yang kebenarannya bisa diasumsikan, diketahui, atau telah dibuktikan sebelumnya • Aturan penentuan kesimpulan (rule of inference): cara menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan sebelumnya • Lemma: teorema sederhana yang digunakan dalam membuktikan teorema lain bilqis

  4. Terminologi: • Corollary: proposisi yang merupakan akibat langsung dari teorema yang dibuktikan • Ex : jika 3 sisi pada segitiga mempunyai panjang yang sama, maka segitiga itu juga mempunyai sudur yang sama • Conjecture: pernyataan yang nilai kebenarannya belum diketahui bilqis

  5. Aturan penentuan kesimpulan: • Addition : (p) (p v q) • Simplification : (p  q) (p) • Conjunction : ((p)  (q)) (p  q) • Modus ponens : (p  (p  q)) (q) • Modus tollens : (q  (p  q )) (p) • Hypothetical syllogism : ((p  q)  (q  r )) (p  r) • Disjunctive syllogism : ((p v q)  (p))  (q) • Resolution : ((p v q)  (p v r)) (q v r) bilqis

  6. Contoh: • Addition : (p) (p v q) • Hari ini Jumat • Hari ini Jumat atau kita sedang belajar • Simplification: (p  q) (p) • Hari ini Jumat dan tadi pagi Ayah menelepon • Hari ini Jumat • Conjunction : ((p)  (q)) (p  q) • Hari ini Jumat • Tadi pagi Ayah menelepon • Hari ini Jumat dan tadi pagi Ayah menelepon P -------- P v q P ^ q -------- P P q -------- P ^ q bilqis

  7. Modus ponens:(p  (p  q)) (q) • Saya haus • Jika saya haus, maka saya minum air • Saya minum air • Modus tollens: (q  (p  q )) (p) • Jika saya haus, maka saya minum air • Saya tidak minum air • Saya tidak haus P P  q -------- q P  q ~ q -------- ~ P bilqis

  8. Hypothetical syllogism: ((p  q)  (q  r )) (p  r) Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi Jika saya akan pergi, maka saya harus mengambil uang Jika hari ini cerah, maka saya harus mengambil uang Disjunctive syllogism: ((p v q)  (p))  (q) Kemarin hari Selasa atau besok hari Senin Kemarin hari Kamis Besok hari Senin P  q Q  r -------- P  r P v q ~ p -------- q bilqis

  9. Resolution / Resolusi : ((p v q)  (p v r)) (q v r) q v r disebut resolvent P v q ~ p v r -------- Q v r bilqis

  10. Dari Bab 1  ekivalen • Kontrapositif  • P  q ekivalen dengan ~ q  ~ p • P  q ekivalen dengan ~ p v q bilqis

  11. Kesalahan menentukan kesimpulan (fallacies) • Fallacy of confirming the conclusion: • Jika hari ini cerah, maka saya akan pergi • Saya akan pergi • Hari ini cerah • Fallacy of denying the hypothesis: • Jika besok hari Sabtu, maka saya akan pulang • Besok hari Kamis • Saya tidak jadi pulang P  q q -------- P P  q ~ p -------- ~ q Kesimpulan salah, karena  tidak ada dalam aturan yang 8 bilqis

  12. Contoh: soal Rossen halaman 73 no. 3 • Construct an argument using rules of inference to show that the hypothesis • Randy works hard • If Randy works hard, then he is a dull boy • If Randy is a dull boy, then he will not get the job • imply the conclusion • Randy will not get the job bilqis

  13. Contoh: soal Rossen halaman 73 no. 3 • r: Randy works hard • d: Randy is a dull boy • j: Randy will not get the job • Randy works hard r (1) • If Randy works hard, then he is a dull boy r  d (1) • If Randy is a dull boy, then he will not get the job d  j (1) • Conclusion:Randy will not get the job • Argumen: r (1) • r  d (1) maka d harus (1) • d  j (1) • d (1) maka j harus (1) • pengambilan kesimpulan (konklusi) benar bilqis

  14. bilqis

  15. bilqis

  16. bilqis

  17. Aturan penentuan kesimpulan untuk quantified statements • Universal instantiation • Universal generalization • Existential instantiation • Existential generalization bilqis

  18. bilqis

  19. Contoh bilqis

  20. Universal instantiation • diketahui : x P(x) untuk domain D • buktikan : P(c) di mana c  D • contoh : x P(x); D = { mahasiswa di kelas ini } • semua mahasiswa di kelas ini belajar MD • c = Bayu  D • P(c) : Bayu belajar MD bilqis

  21. (ROI) for Quantifier • 1. Universal instantion • Domain • Misal : • X = wanita  sebagai domain • P(x) = x is wise • C  salah satu wanita •  Semua wanita adalah wise •  C adalah wise dengan syarat c E D • P(lisa)  lisa adalah wise dengan syarat lisa E D c bilqis

  22. Universal generalization • diketahui : P(c) • di mana c  D = Domain = { …., –5, –3, –1 } • buktikan : x P(x) • contoh: • P(c) = c integer negatif  c3 integer negatif • D = Domain = { …., –3, –2, –1 } • c = –n di mana n = 1, 2, 3, …. • c3 = (–n)*(–n)*(–n) = –n3 • x P(x) : jika x integer negatif, maka x3 integer negatif • terbukti bilqis

  23. 2. Universal generalization • Misal : • P(lisa)  lisa adalah wise • P(ili)  ili adalah wise bilqis

  24. Existential instantiation • diketahui : x P(x) • buktikan : P(c) • contoh : x P(x) = ada bilangan prima gasal • P(c) = 5 bilangan prima gasal bilqis

  25. 3. Existential Instantiation  min ada 1 wanita yang wise  lisa adalah wanita yang wise bilqis

  26. Existential generalization • diketahui : P(c) • buktikan : x P(x) • contoh : P(c) = 5 bilangan prima gasal • x P(x) = ada bilangan prima gasal bilqis

  27. 4. Existential Generalization bilqis

  28. Membuktikan teorema berbentuk p  q • Bukti langsung (direct proof) • Bukti tidak langsung (indirect proof) • Bukti hampa (vacuous proof) • Bukti mudah (trivial proof) bilqis

  29. Method of Profing Theorem • 1. Direct Proof • Untuk p q : • Asumsi P adalah benar • Buktikan bahwa q juga benar, misal dengan ROI • Ex : bilqis

  30. Bukti langsung (direct proof) Teorema: “Jika n integer gasal, maka n2integer gasal” Bukti: n = 2k + 1 integer gasal; k sembarang integer n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k) + 1 (n2integer gasal) n integer gasal  n2integer gasal (terbukti) bilqis

  31. 2. Indirect Proof • P  q equivalen dengan contrapositif ~q  ~p • Asumsikan ~q adalah benar • Maka buktikan ~p juga benar • Ex : bilqis

  32. Bukti tidak langsung (indirect proof) Teorema: “jika 3n + 2 gasal, maka n gasal” Ekivalen dengan “jika n genap, maka 3n + 2 genap” Bukti: n = 2k; k sembarang integer 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2 (3k) + 2 = 2 (3k +1) jika n genap, maka 3n + 2 genap jika 3n + 2 gasal, maka n gasal (terbukti) bilqis

  33. Voucous Proof : • Jika nilai var diket • Jika kita bisa membuktikan bahwa P salah, krn • Jika P salah maka tidak peduli Q benar atau salah, proposisi pasti benar bilqis

  34. Bukti hampa (vacuous proof): Implikasi p  q mempunyai nilai kebenaran TRUE apabila p bernilai FALSE Contoh: “jika n > 1 maka n2 > n, untuk n = 0” p : 0 > 1 (FALSE) q : 02 > 0 (FALSE) p  qTRUE maka “teorema” terbukti bilqis

  35. 4. Trivial Proof • Jika nilai var diket • Jika kita bisa membuktikan bahwa q benar, krn • Jika q benar, maka tidak peduli apakah P benar atau salah, proposisi pasti benar bilqis

  36. Bukti mudah (trivial proof) Implikasi p  q mempunyai nilai kebenaran TRUE apabila q bernilai TRUE Contoh: “jika a b maka an bn, untuk n = 0” p : a b q : a0 b0 (TRUE) maka “teorema” terbukti bilqis

  37. Bukti per kasus (proof by cases) Teorema: |xy| = |x| |y| untuk semua bilangan nyata Bukti: bilqis

  38. Bukti teorema berbentuk ekivalensi“p q” • Buktikan p  q • Buktikan q  p • Bukti teorema berbentuk • “p, q, r, s ekivalen” • Buktikan p  q • Buktikan q  r • Buktikan r  s • Buktikan s  p bilqis

  39. Cara-cara pembuktian lain: • Existence Proof • Constructive • Non Constructive • 2. Proof by Counter Examples bilqis

  40. Constructive Proof Teorema: “ada sebuah integer yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari pangkat-tiga dua integer positif, dalam dua cara berbeda” Bukti: dengan trial-and error didapatkan 1729 = 103 + 93 dan 1729 = 123 + 13 bilqis

  41. Non Constructive Proof Teorema: “Ada dua bilangan irasional x dan y yang menghasilkan xy rasional” Bukti: ( x = 2 dan y = 2 ) maka 2 = 2 rasional sehingga teorema terbukti 2 2 bilqis

  42. Proof by Counter Examples • Teorema: • “tiap integer positif merupakan jumlah dari kuadrat tiga integer” adalah pernyataan yang salah • Bukti: usahakan menemukan satu contoh yang meng-counter • pernyataan di atas • 02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 • 0 = 02 + 02 + 02 3 = 12 + 12 + 12 6 = 22 + 12 + 12 • 1 = 12 + 02 + 02 4 = 22 + 02 + 02 7 = ? • 2 = 12 + 12 + 02 5 = 22 + 12 + 02 • 7 tidak dapat dibentuk dari jumlah kuadrat tiga integer • (7 disebut counter example) • terbukti pernyataan di atas salah (false) bilqis

  43. PR (kerjakan 5 saja) • Bilqis : • 1.5  1, 5, 7, 9, 13, 23 bilqis