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流體模式電漿模擬 Fluid Plasma Simulation

2008 年雷射電漿暑期學校 台大應力所 100 國際會議廳 July 11,2008. 流體模式電漿模擬 Fluid Plasma Simulation. 呂凌霄 中央大學　太空科學所 Ling-Hsiao Lyu Institute of Space Science, National Central University Chung-Li, Taiwan, R. O. C. 大綱. 流體電漿模式簡介 為什麼 要做數值模擬？ 流體電漿數值模擬的優缺點 流體電漿 模擬的基本技巧與 應 檢驗 的 事項 模擬結果之診斷與分析 總結與討論

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流體模式電漿模擬 Fluid Plasma Simulation

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  1. 2008年雷射電漿暑期學校 台大應力所100國際會議廳 July 11,2008 流體模式電漿模擬Fluid Plasma Simulation 呂凌霄 中央大學　太空科學所 Ling-Hsiao Lyu Institute of Space Science, National Central University Chung-Li, Taiwan, R. O. C. 2008 Laser-Plasma Summer School

  2. 大綱 • 流體電漿模式簡介 • 為什麼要做數值模擬？ • 流體電漿數值模擬的優缺點 • 流體電漿模擬的基本技巧與應檢驗的事項 • 模擬結果之診斷與分析 • 總結與討論 • 流體電漿模擬結果範例介紹 2008 Laser-Plasma Summer School

  3. 流體電漿模式簡介 • 考慮電漿流體物理量隨時空的變化情形 • 流體物理量： • 個數密度 （ ）、質量密度 • 平均速度（ ） • Pressure tensor（） • Scalar pressure（ ） • Heat flux（） 2008 Laser-Plasma Summer School

  4. Governing Equations of the Fluid Variables • Continuity equation: • Time evolution of the mass density or number density or charge density • Momentum equation: • Time evolution of the average velocity • Energy equation: (equation of state) • Time evolution of the plasma pressure Fluid Plasma Simulation

  5. Force Terms in the Momentum Equation • Body Forces (Force per unit volume) • Pressure gradient force: • Lorentz force: • Gravitational force ( solar physics, galactic physics): • Coriolis force (solar physics) • How to determine the E-field and B-field? Fluid Plasma Simulation

  6. Governing Equations of the E, B Fields • Using the Maxwell’s equations to determine the evolution of E-, B-fields • It is true for both fluid and kinetic plasma simulations • For low frequency plasma phenomena (e.g., magnetohydrodynamic, MHD, plasma), the E-field is determined by the Ohm’s law (e.g., MHD Ohm’s law: ). Fluid Plasma Simulation

  7. Examples of Fluid Plasma Model • 遠大於正離子時空尺度之 磁流體模式 (magnetohydrodynamic plasma model) • 正離子時間尺度之電子－正離子雙流體模式 (electron-ion two-fluid plasma model) • 電子時間尺度之 相對論多流體模式 (relativistic multi-fluid plasma model) Fluid Plasma Simulation

  8. 遠大於正離子時空尺度之磁流體方程式 The MHD Ohm’s law has been used to eliminate the electric field in the above equations. Fluid Plasma Simulation

  9. 正離子時間尺度之電子－正離子雙流體方程式 Fluid Plasma Simulation

  10. 相對論多流體方程式 Go to p.17 Go to p.22 Fluid Plasma Simulation

  11. 為什麼要做數值模擬？ • 檢驗理論模式 • 理論模式通常是為了解釋一種觀測現象而設計出來的。 • 理論模式，通常可以簡化為一組聯立的微分方程式（system ODEs or PDEs）。 • 根據這些方程式，寫個程式，進行電腦數值模擬，看看是否可以重新建構觀測到的現象。藉以檢驗理論模式是否正確。 • 彌補實驗或觀測上之不足 • 實驗或觀測受到時空條件的限制，往往無法取得足夠精細的時空資訊。 • 藉由高時空解析度的模擬結果，可幫助我們了解非線性過程中的因果關係與主要的物理機制。 2008 Laser-Plasma Summer School

  12. 流體電漿數值模擬的優缺點 • Advantage of fluid plasma simulation: • Simulation: relatively simple and fast • 流體電漿模式所用的變數，數量比較少，自由度也比較少，因此模擬計算起來，相對於電漿粒子模擬，快很多！ • 流體電漿中的波動變化相對比較簡單，因此分析流體電漿模擬結果，要比分析電漿粒子模擬結果，容易許多。也比較容易與現成的理論相比較。 Fluid Plasma Simulation

  13. 流體電漿數值模擬的優缺點 • Limitation of fluid plasma simulation: • The fluid model fails when the kinetic effect becomes important or when the equation of state we assumed is incorrect. Fluid Plasma Simulation

  14. f(v) f(v) v v Vwave 流體電漿數值模擬適用範圍 f(v) 適合用流體數值模擬來研究的問題 v 0 Vwave 不太適合用 流體數值模擬碼 處理的物理問題 Fluid Plasma Simulation

  15. 流體電漿模擬 對時間積分時的基本技巧 • Explicit Scheme • 利用過去與現在的資訊，估算時間積分之值，以預測未來的結果。 • 運算比較快、程式比較好寫，但是誤差會不斷地累積。 • Implicit Scheme • 利用過去、現在、與未來的資訊，估算時間積分之值。其中，未來的資訊，可藉由聯立方程式求解，或利用疊代法求解。 • 運算費時、程式難寫，但是誤差不會累積。 2008 Laser-Plasma Summer School

  16. 傳統流體模擬架構 • The 2nd order Lax-Wendroff Scheme • 速度快、誤差不大、記憶體用量省。 • An explicit scheme，誤差會累積。 • 只適合模擬只含奇次空間微分項的時間微分方程式 • 參考文獻： Press, W. H., B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling, Numerical Recipes (in C or in FORTRAN and Pascal), Cambridge University Press, Cambridge, 1988. Richtmyer, R. D., and K. W. Morton, Difference Methods for Initial-Value Problems, 2nd edition, John Wiley & Sons, Inc., 1967. 2008 Laser-Plasma Summer School

  17. Traditional Simulation SchemeThe 2nd Order Lax-Wendroff Scheme 適用問題： • 如果一組基本方程式可以寫成以下通量守恆形式 （例如：磁流體（MHD）方程式） • 其他只含 奇次空間微分項 的時間微分方程式也適用 （例如：Korteweg-deVries (KdV) equation） Go to pp.8-10 2008 Laser-Plasma Summer School

  18. 常用符號的定義

  19. t Uin+1 tn+1 tn+1/2 tn xi-1 xi-1/2 xi xi+1/2 xi+1 x 通量守恆形式的時間微分方程式 • 方程式基本形式 可用二階 Lax-Wendroff scheme來進行數值模擬 • 第一步： • 第二步： 2008 Laser-Plasma Summer School

  20. 傳統流體數值模擬架構 • The implicit scheme for the diffusion term • 當方程式中出現偶次空間微分項時，切不可用 explicit schemes 來處理之，否則會出現，西洋棋盤－黑白格子狀分布的假波動結構。（Press et al., 1988） • 流體方程式中的耗散項或擴散項，多為對空間的二次微分項，宜用implicit scheme 來處理之。 2008 Laser-Plasma Summer School

  21. Traditional Simulation SchemeDiffusion equation: Implicit scheme • The diffusion equation • The implicit scheme where 2008 Laser-Plasma Summer School

  22. Non-traditional Simulation SchemeHigher Order Implicit Scheme • 高階implicit流體數值模擬架構 • 高階：誤差小、需要用到較多記憶體 • Implicit scheme：誤差不會累積、需要較多記憶體 • 過去的老電腦跑不動，適合在現在與未來高速的電腦上運算 • 範例：The 4th Order Predictor-Corrector Method • 參考文獻： Shampine, L. F., and M. K. Gordon, Computer Solution of Ordinary Differential Equation: the Initial Value Problem, W. H. Freeman and Company, San Francisco, 1975. 2008 Laser-Plasma Summer School

  23. Example of Higher Order Implicit SchemeThe 4th Order Predictor-Corrector Method • 空間微、積分： • 利用Fast Cubic Spline或其他高階差分法，求網格點上的空間微分、積分之值 • 初始三步驟： • 利用 the 4th order Runge-Kutta method ，求y1, y2, y3之值 • 預測步驟： • 利用 the 4th order Adams’ open formula，根據yn, yn-1, yn-2, yn-3 , 預測yn+1之值 • 校正（疊代）步驟： • 利用 the 4th order Adams’ close formula ，根據前一次預測所得的yn+1，以及原有之yn, yn-1, yn-2, 重新預測yn+1 之值 • 重複校正（疊代）數次，直到收斂，即可進行下一步的預測 Go to pp.8-10 2008 Laser-Plasma Summer School

  24. The 4th Order Predictor-Corrector Method（Shampine and Gordon, 1975） • 預測步驟：利用yn, yn-1, yn-2, yn-3 , 預測yn+1之值(the 4th order Adams’ open formula) • 校正（疊代）步驟：利用前一次預測所得的yn+1，以及原有之yn, yn-1, yn-2, 重新預測yn+1 之值 (the 4th order Adams’ close formula) • 重複校正（疊代）數次，直到收斂，即可進行下一步的預測 • 因為當n < 4 時，the 4th order Adams’ open formula不適用，故利用the 4th order Runge-Kutta method來求y1, y2, y3之值

  25. 流體數值模擬應注意與檢驗的事項 • Always use double precision in your simulation • Normalize your equations 可以幫助你選取模擬相關係數，如系統長度、時間間距、空間間距。 • 檢查系統總能量是否守恆？ • 檢查是否滿足Courant condition:∆t * Vmax < ∆x ？ • 進一步的檢查：確認一下 • 當系統長度增加一倍，模擬結果沒有重大改變？ • 當時間間距減半，模擬結果沒有重大改變？ • 當空間間距減半，模擬結果沒有重大改變？ 2008 Laser-Plasma Summer School

  26. 善用資源、能省則省、錙銖必較 Do your best to save • Memory • 務必重複使用working Arrays • CPU time • 避免重複計算：指數、對數、三角函數。 • 重複計算部份，務必先建立Table。 • Real time • Watch out your I/O scheme • 千萬不要小筆、小筆資料，分批進行傳輸，這樣會非常慢 • 要一大筆資料，一口氣一起傳輸，才快 2008 Laser-Plasma Summer School

  27. 數值模擬結果之診斷與分析 • Display your simulation results • 利用 Matlab或IDL 等軟體，寫一個簡單繪圖檔（指令檔）自動處理大量數值模擬結果。 • 利用 Excel 等軟體，個別處理總結形式的圖片. • 要用心分析你的模擬結果，不要浪費了辛苦算出來的模擬結果！ • Carefully trace the time evolutions of all fluid variables. • 最好不要一邊模擬一邊做診斷繪圖。如果模擬一個Case所花費的時間，超過一天，最好把需要分析的資料存下來，用另外一台電腦慢慢的仔細分析。 • 要熟練各種數值方法，活學活用，才能做出最有效、最有創意的診斷分析。 2008 Laser-Plasma Summer School

  28. 總結與討論 • 我們的目標，希望能在 • 有限的電腦資源：RAM, HD, CPU, I/O速率 • 有限的研究時間 等條件下，利用一套精準有效的數值方法， 模擬電漿物理現象，了解非線性電漿物理過程 • 一套精準有效的數值方法，不只要穩，還要快、要準！（光是穩定，光是快，結果不正確也是枉然！） Fluid Plasma Simulation

  29. 總結與討論 • 選擇模擬碼，要對症下藥： • Choose a right simulation code for your problem • 要隨時保有：宏觀的視野與微觀的警惕。 • 知道自己的模擬碼，適用的底線在哪裡！ • 能省則省，錙銖必較： • Do your best to save memory, CPU time, and real time (Watch out your I/O scheme). • 好的診斷（good diagnostics ）可以幫助我們了解模擬現象背後的物理過程。 2008 Laser-Plasma Summer School

  30. 流體電漿模擬結果範例介紹 • Nonlinear evolutions of velocity-shear instabilities in the MHD plasma • Medium velocity shear Formation of vortex or undulant wavy structures • Strong velocity shear Formation of fast-mode Mach-cone-like solitary waves • Weak velocity shear Formation of slow-mode Mach-cone-like solitary waves in a limited range of parameters 2008 Laser-Plasma Summer School

  31. Velocity Shear in Space 2007 Fall AGU Meeting

  32. Nonlinear Evolution of Velocity-Shear Instability • Classical Results : • Vortexes (without tension force) • Undulant surface wave • (with presence of tension force) • New Results : • Nonlinear half-plane solitary waves • Nonlinear fast-mode solitary waves (Lai and Lyu, 2006 JGR) • Nonlinear slow-mode solitary waves (Lai and Lyu, 2008 JGR) 2007 Fall AGU Meeting

  33. Vortex Structures without magnetic tension force

  34. Jet FlowPairs of vortexes with opposite vorticities

  35. Simple Velocity Shear Vortexes with the same vorticity

  36. S-Shaped Surface Waves with magnetic tension force

  37. Fast-Mode Plane Waves

  38. The arrows indicate the plasma flow direction observed in the nonlinear wave rest frame Fast-Mode Plane Waves

  39. Another Example ofFast-Mode Plane Waves

  40. Fast-mode Mach-cone wave(Jet flow: MFy0 >1)

  41. Fast-mode Mach-cone wave(Velocity shear : MFy0 >1)

  42. Formation of Nonlinear Fast-Mode Plane Wave

  43. Theoretical Predictions and Simulation Results Flaring angle of the fast-mode nonlinear plane wave (Lai and Lyu, 2006 JGR)

  44. 好的模擬結果，幫助我們看到其他更精彩的結果！好的模擬結果，幫助我們看到其他更精彩的結果！ • 根據 fast-mode Mach-cone-like solitary waves 的成因，我們大膽的推斷，速度切也可以造成 slow-mode Mach-cone-like solitary waves in the MHD plasma. • 結果，我們真的找到了！雖然 slow-mode Mach-cone-like solitary waves 的 solution space 非常小，只能存在於 a limited range of parameters! 2008 Laser-Plasma Summer School

  45. Friedrichs Diagrams of Slow-Mode Group Velocity

  46. Slow-Mode Plane Waves

  47. The arrows indicate the plasma flow direction observed in the nonlinear wave rest frame Slow-Mode Plane Waves

  48. Formation of Nonlinear Slow-Mode Plane Wave

  49. Theoretical Predictions and Simulation Results Flaring angle of the nonlinear slow-mode plane wave

  50. 總結 • 好的模擬研究，務必做到：確實了解模擬結果！ • 最好能做到：下一次，不必進行模擬，也可以大致 預估 模擬的結果。就好像 貝多芬 失聰後，仍然有能力作曲。 Fluid Plasma Simulation

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