Introduction to Gravity and Gravimetry

1. Universidade Estadual PaulistaFaculdade de Ciências e Tecnologia Geofísica 4 – Campo da gravidade e gravimetria Prof. João Fernando C da Silva Departamento de Cartografia Presidente Prudente, SP

3. Campo da gravidade e gravimetria • Gravidade • Uma das 4 forças criadas junto com o Universo • Campo gravitacional da Terra (interação natural) • Região do espaço onde a força gravitacional F da Terra sobre um corpo de massa m não é desprezível • Campo da gravidade (g) • Região do espaço onde o efeito da força da gravidade F’ produz a acelaração da gravidade g • Gravimetria • Estudo da determinação da aceleração da gravidade

4. Campo da gravidade e gravimetria • Lei da gravitação universal • Atração gravitacional • Força gravitacional F (gravitational force) • Constante gravitacional G • Força centrífuga f • Força da gravidade F´(gravity force) • Vetor da gravidade g (gravity vector) • Vetor da aceleração da gravidade (gravityacceleration vector) • Campo da gravidade g (gravityfield) • Anomalia da gravidade (gravityanomaly) • Potencial da gravidade (gravitypotential) • Geoide e deflexão da vertical • Gravimetria

5. O que existe em comum entre-o posicionamento por satélite,-a navegação,-o nível da água nos oceanos,-a forma da Terra,- o movimento de rotação e translação,- as altitudes na SFT,- e a queda dos corpos em direção vertical? Todos esses fatos estão ligados ao fenômeno natural da atração gravitacional.

6. É a força da gravidade que molda o Universo, desde as pequenas partículas até a mais extensa galáxia.Ela é uma das mais importantes leis da Física elaborada por Sir Isaac Newton. Lei da gravitação universal: dois corpos (centros de massa) exercem entre si uma força de igual intensidade, mesma direção e sentidos contrários. A atração gravitacional molda o Universo, desde as pequenas partículas até a mais extensa galáxia. A força gravitacional (gravitational force) exprime a atração gravitacional, que é uma propriedade geral, natural e intrínseca das massas. Para a Terra (valores médios) G = 6,672 x 10-11 [m3/(kg∙s2)] GM = 3,986 x 1020 [cm3/s2] [IAG,1980] F = 982,022 [cm/s2] x m

7. Essa força é chamada de força gravitacional, e não deve ser confundida com a força de gravidade.

8. Além da atração gravitacional expressa pela força gravitacional F, que é centrípeta, Um corpo (massa) está sujeito também a uma força que tende a arremessá-lo para fora da Terra, provocada pela rotação terrestre, que é a força centrífuga f.

9. f é máx no eqf é zero nos polos f = m∙a = m∙(v/t)R=6.371km v.eqT = ~1667,08km/h = ~27,8km/min = ~463,1m/s

10. Um corpo P situado no campo gravitacional terrestre está sujeito ao efeito conjunto da força gravitacional F (centrípeta) e da força centrífuga f, que tende a movê-lo no sentido da rotação da Terra e perpendicularmente ao ERT. • F = F’ + f (soma vetorial, IDS, MDS), daí: • F’ = F + f = força da gravidade = g∙m • f = p∙ω2∙m • p: distância de P ao ERT • ω2 : veloc ang rot Terra = 0,00007292115 rad/s = ~15”/s • m: massa de P • f = 3,392 [cm/s2] x m (no equador)

11. A ação conjunta dessas duas forças resulta na força da gravidade F’, que tem intensidade e direção diferentes das da força gravitacional F (somente atração gravitacional). • A força F’ agindo sobre a massa mde um corpo acarreta a aceleração da gravidade g. • F’ = força da gravidade = g∙m = F + f; f = p∙ω2∙m • g∙m = F + p∙ω2∙m • g = (GM/r2) + p∙ω2 • Um corpo em queda livre é acelerado em função da constante gravitacional G, da massa M da Terra, da sua distância r ao centro da Terra e da sua posição p em relação ao ERT (latitude), mas independe da massa do próprio corpo.

13. g não é constante para toda a Terra; g médio  980,3 gal ; 1 gal = 1 cm / s2 g é menor no equador onde f é maior g é menor nos polos onde f é nula. F’ = força da gravidade = F – f; (escalar: módulo ou intensidade) As bases de lançamento de foguetes são tão mais próximas ao equador quanto possível. Relembrando: F = 982,022 [cm/s2] x m (valor médio) f = 3,392 [cm/s2] x m (no equador, apenas ~3% de F)

15. Os astronautas da missão Apollo 15 realizaram na superfície da Lua o experimento tão esperado: Um martelo e uma pena, apenas sob ação da gravidade da Lua, foram deixados cair de uma mesma altura e ao mesmo tempo – ambos tocaram a superfície do solo ao mesmo tempo.

18. Gravimetria • disciplina que determina a distribuição e as variações da força e aceleração de gravidade ponto a ponto no campo da gravidade.

21. Anomalia da Gravidade . A gravidade da Terra verdadeira é conhecida (aproximada) por medidas de gravímetros. .. A gravidade produzida por um elipsoide que simula a Terra verdadeira é obtida por meio de modelos teóricos. A separação (distância) entre o geoide e o elipsoide é determinada por meio da anomalia da gravidade: gP – gravidade observada/corrigida γp – gravidade normal (calculada)

22. Anomalia da gravidade: Δg = gs – γ g = (GM/r2) + p∙ω2 Cada ponto do elipsoide-referência (massas homogêneas e mesma ω) pode ter a gravidade g calculada (g-teórica ou g-normal), denotada por γ. Com gravímetros, os mesmos pontos ou outros pontos podem ser observados (gs). Mesmos pontos: malha de pontos coincidentes (regular); Pontos não coincidentes: malha normal regular x malha observada irregular.

23. Fatores que influem em gs - Variação da altitude (r+h) -- A forma elipsóidicada Terra (rb< ra) • -- Densidades desiguais das rochas no interior da Terra (dd = massa / vol) gr = gs corrigido dos fatores H, elipsoide e densidade das rochas Estes são os três fatores principais que influem em gs e precisam ser compensados para reduzir a gravidade da SFT ao geoide: - Anomalia de Ar-Livre (free-air) - CF -- Anomalia de Bouguer - CB --- Anomalia Isostática - CI

24. A anomalia isostática CI é inicialmente desconsiderada Isostasia: estado de equilíbrio da litosfera sob os efeitos da gravidade. Aos excessos de massa (montanhas) e às deficiências (oceanos), especula-se que há regiões de compensação no geoide (massas internas de compensação). A modelagem física-matemática para abordar a isostasia depende de hipóteses sobre a distribuição das massas, sobretudo nas regiões montanhosas e oceânicas. Nas demais regiões terrestres, o efeito da isostasia pode ser ignorado. Nesta introdução, sem os aprofundamentos necessários, portanto, CI não será considerada.

25. Isostasia Cordilheiras do planeta - estuda-se a isostasia. Por que as altas montanhas não “afundam” já que possuem mais massa? Acredita-se que haja a compensação das massas, tal que as montanhas “estabilizam-se” no manto superior, “sustentadas por um sistema radicular” (raízes, analogia às árvores).

26. Duas correções principais aos valores da anomalia da gravidade: • Correção “ar-livre” (freeair) • Correção de Bouguer (elipsoide-referência e “geoide”)

27. Anomalia da gravidade reduzida A redução gravimétrica é a correção da gravidade obtida na SFT necessariamente de pelo menos duas anomalias: “ar livre” e Bouguer. Outras anomalias podem ser calculadas conforme o uso ou a aplicação, porém não serão aqui abordadas.

28. Anomalia “ar-livre” (free-air) - CF Consideramos que as massas topográficas estão abaixo do geoide: assume-se que tudo acima do geoide é “ar”. Podendo ser aproximado em: CF = – 0,3086·H H: obtido de um MDT, carta topográfica, levantamento em campo etc. Portanto, devemos conhecer a separação do geoide e da superfície física e calcular CF por:

29. Correção “ar-livre” – a primeira a ser feita. Considera que entre o ponto de observação e o NMM (“geoide”) não existe massa (como se o ponto – gravímetro– estivesse suspenso no ar... Requer uma altitude com precisão: dH = Hs – Ha... dg = -0,308[mGal/m]∙dH => ga= gs+ dg... dH > 0 => dg < 0 => ga > gs.... dH = 8.000 m (Himalaia) => dg = -2,464 mGal.... “g-normal” no equador (“g-n”)  978 Gal.... ǀDg / “g-n” ǀ 0,25% ou 2,5°/oo (partes por mil)

30. Correção de Bouguer – após a “ar-livre”Pierre Bouguer – matemático e geodesista francês (1698-1758) . Gravidade normal (γ0) para a superfície de um elipsoide • γ0 = 978,0327 (1 + 0,005279∙sen2 + ...) Gal .. Gradiente de Bouguer: –(g/H)B -0,1967(mGal/m) ... Anomalia de Bouguer: ΔgB= ga – (g/H)B·H – γ0 .... cB : correção de Bouguer– efeito topográfico (massas entre “geoide aproximado” e o elipsoide) na gravidade.

31. Gravidade corrigida (reduzida) g = gs + dg – cB – γ0 g no elipsoide (γ0) gs na SFT ga no geoide aproximado – primeiro geoide – “ar livre” g no geoide melhor aproximado

32. À variação da densidade segue a variação de g, que é de interesse na prospecção de recursos minerais. Variações significativas de g indicariam variações de densidade (materiais) A imagem ao lado mostra medidas da gravidade para a detecção do pré-sal na bacia de Santos.

33. Energia potencial em um ponto P do campo gravitacional terrestre Um ponto P(r) possui energia potencial gravitacional (similar a Ep=mgh): m1 massa da Terra; m2 é a massa de P. g P EP = m2 g r ____ ____ r r m1 m2 m1 m2 EP=-G EP=-G r² r Campo gravitacional terrestre

34. Potencial gravitacional terrestre V Linha equipotencial V é independente da massa m2. V = EP/m2 m1 é a massa da Terra; r = R (raio da Terra) + h (altura e.r.a. uma superfície). g ____ m1 V=-G r

35. Geopotencial e Esferopotencial Seja W o geopotencial, i.e., o potencial de uma superfície (fechada, contínua) determinada por um modelo físico-matemático a partir de observações na SFT; Seja U o esferopotencial, i.e., o potencial calculado para um dado elipsoide (com o GM da Terra); Calcula-se o potencial perturbador T: T = W – U A diferença dos campos de gravidade produzido pelo geopotencial e pelo elipsoide pode ser interpretada como um parâmetro proporcional às diferenças de massa existente entre o geoide e o elipsoide.

36. Geoide O geopotencialW é determinado a partir de observações de g na SFT, cuja forma é irregular (variações de altitude, descontinuidades) e isto inviabiliza o cálculo de W de modo contínuo. Adota-se então a superfície do NMM em repouso e prolongada arbitrariamente sob os continentes (superfície fechada e contínua) e sobre ela determina-se W: esta superfície é o geoide. O potencial perturbador T = W – U será dado pela diferença entre o geopotencialW do geoide e o esferopotencialU do elipsoide.

37. Potencial perturbador T e ondulação geoidal N A partir de uma simplificação, a equação de BrunsT = N∙γ relaciona a ondulação geoidal (N) e a aceleração da gravidade no elipsoide γ. São conhecidos o formato do elipsoide e a massa a ele atribuída, daí a aceleração da gravidade no elipsoide γ é um valor modelado: γ = (GM/r2) + p∙ω2 Calcula-se o potencial perturbador T, e a ondulação geoidal (N=T/γ).

38. Método de Stokes – Cálculo de T A integral de Stokes é usada para calcular o potencial perturbador T: S(ψ) é a função de Stokes e dσ representa a área de elemento de superfície da Terra.

39. A integral de Stokes requer a integração por toda a superfície terrestre; Então é necessário calcular a anomalia da gravidade Δg por toda a superfície. Uma aproximação do mundo é realizada por uma grade regular, na qual estima-se Δg para cada célula (templatemethod).

40. Ondulação geoidal N e altitude ortométrica H Conhecido T em cada célula, calcula-se N para cada célula: N=T/γ ; com N obtém-se a altitude ortométrica do ponto P: H = h – N.

41. As regiões com topografia acentuada apresentam valores menores de anomalia da gravidade. As grandes depressões da crosta oceânica apresentam anomalia da gravidade positiva.

43. CORREÇÕES GRAVIMÉTRICAS

44. Gravímetros Instrumentos para determinar o valor da aceleração da gravidade em um ponto. Princípio de funcionamento F = m ∙ a = m ∙ (v/t) v = F∙t/m = (GMm/r2) ∙ (t/m) = (GM/r2) ∙ t Δv = (GM/r2)∙Δt g = ∫tΔv = ∫t(GM/r2) ∙dt

45. Gravímetros • A unidade de medida utilizada para a aceleração da gravidade é o Gal em homenagem a Galileu Galilei • 1 Gal = 1 cm/s², 1 mGal= 0,001 Gal, 1 µGal = 10-6 Gal • Gravímetrosabsolutos e gravímetrosrelativos

46. O tipo mais comum de gravímetro relativo utilizado em Geofísica é baseado na medição da deformação de uma mola que sustenta uma massa pequena. • Quanto maior a aceleração da gravidade, mais a mola vai se deformar. • Normalmente o sistema é termostatizado, para que a variação da temperatura não influencie a precisão das medições

47. Métodos (gravímetros) absolutos:pêndulos e queda-livre • Gravímetros com relógios de alta precisão e dispositivos laser para a marcação dos movimentos regulares descritos por uma massa fixa (dada) • Pêndulos • Medem o tempo de oscilação (T) de uma massa (dada) presa à extremidade de um haste (l) • Queda livre • Mede-se o tempo de ascensão (Ta) e queda livre (Tq) de uma massa (dada) que percorre verticalmente uma distância (dada)

48. Métodos (gravímetros) absolutos:pêndulos • Pêndulos: g = π2∙l/T2 • 1898-1904, Helmert e equipe, Potsdam, Alemanha; 5 pêndulos e 192 determinações: • gP= 981.274 ± 3 mgal • 1935-1938 (Teddington, Inglaterra): g=gP+13 mgal • 1936 (Washington, EUA): g = gP + 17 mgal • ( tabela )

49. Potsdam é a ref inicial p/ determ absoluta gHelmert e equipe os primeirosTodos os outros g deram abaixo

50. Gravímetro absoluto: queda-livre Mede-se o período T de ascensão e queda de uma massa (dada) no vácuo: dh = v·dt a = g = v/t h = v0·t + (g·t2)/2 g = 2(h-v0·t)/t2 (v0= 0 ) g = 2h/t2 F = m·a P = m·g g = v/t v = h/t g = h/t2g ± εg = (h ± εh) / (t ± εt)2