Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Zespół Szkół Budowlanych im. K. Wielkiego w Szczecinie, Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych im. F. Ratajczaka w Kościanie • ID grupy: 97_26_mf_g1 , 97_45_mf_g1 • Kompetencja: Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Procesy wykładnicze • Semestr/rok szkolny: III/2010/2011 – II-gi projekt MGP

3. Planprezentacji Funkcja wykładnicza Funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej Prawa działań na potęgach i logarytmach Równania wykładnicze Nierówności wykładnicze Procesy wykładnicze

4. Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci: gdzie Dla każdego   funkcja wykładnicza jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych. Liczbę nazywamy podstawą funkcji wykładniczej. Dlaczego a ≠ 1? Kładąc a = 1 otrzymalibyśmy funkcję stałą f(x) = 1 (1 podniesione do dowolnej potęgi daje 1). Skoro ustaliliśmy dziedzinę funkcji (jest nią zbiór liczb rzeczywistych), pora na zbiór wartości. Otóż zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich R+. Dlaczego? Dlatego że a > 0, a każda liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.

5. Wykresem funkcji wykładniczej jest tzw. krzywa wykładnicza. Przykład 1.W jednym układzie współrzędnych narysujemy wykresy funkcji

6. Przykład 2.W jednym układzie współrzędnych narysowaliśmy wykresy funkcji:

7. Własności: Oprócz własności wspomnianych na wstępie z analizowanych przez nas przykładów możemy dostrzec: • wykresy funkcji i są symetryczne względem • OY, rzeczywiście: • funkcja nie posiada miejsc zerowych • dla funkcja jest rosnąca • dla funkcja jest malejąca

8. Wśród nieskończenie dużej ilości funkcji wykładniczych o różnych podstawach istnieje jedna bardzo ciekawa funkcja o podstawie e (liczba Nepera; e=2,718281828...), jest to funkcja  nazywana funkcją eksponencjalną. Cóż ona ma takiego ciekawego, a no to, że pochodna tej funkcji jest nią samą (f'(x)=f(x)), a także styczna do funkcji w punkcie (0;1) jest nachylona do osi OX pod kątem 45o. 

9. Funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej. Dla tych, którzy nie pamiętają co to jest logarytm przypominamy: Otóż logarytmem przy podstawie a>0 (a ≠ 1) z liczby dodatniej x nazywamy liczbę y, taką że . Fakt ten zapisujemy: . To, że funkcje są odwrotne oznacza , że wykres funkcji logarytmicznej i wykładniczej  są symetryczne do siebie względem prostej co widać na następującym wykresie: 

10. Oznaczenia przyjęte na świecie: Symbol jest symbolem logarytmu naturalnego i oznacza logarytm o podstawie . Na przykład: bo bo Symbol jest symbolem logarytmu dziesiętnego i oznacza logarytm o podstawie 10 . Na przykład: bo bo

11. Wykresem funkcji logarytmicznej jest krzywa zwana krzywą logarytmiczną. Najważniejsze własności funkcji logarytmicznej które zbadaliśmy podczas analizy wykresu to: 1.Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. 2.Zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych. 3.Wykres funkcji logarytmicznej przechodzi przez punkt (1,0) – miejsce zerowe. 4.Jeśli a>1 to funkcja logarytmiczna jest rosnąca, natomiast jeżeli 0<a<1 to funkcja jest malejąca. 5.Prosta o równaniu x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji

12. Przykład. Podczas zajęć zrobiliśmy kilka przykładów na określanie dziedziny funkcji która zawiera logarytm, dla przykładu podajemy jedno z nich: Określimy dziedzinę funkcji: Pierwszy warunek jaki musi zachodzić to: Drugim warunkiem jest: Zestawiając oba warunki otrzymujemy dziedzinę: Słuchaczom proponujemy rozwiązać przykład:

13. Prawa działa na potęgach i logarytmach Przy założeniu: a > 0, a ≠ 1,  b > 0, b ≠ 1, x > 0, y > 0: Jeżeli m, n ∈ R i a, b ∈ R+ albo  m, n ∈ Z i a, b ∈ R i a ≠ 0 i b ≠ 0, to: 

14. Korzystając z własności działań na potęgach i logarytmach rozwiązaliśmy kilka ciekawych zadań, oto niektóre z nich: Przykład. Wykaż, że Rozwiązanie: Przykład. Uzasadnij, że spełniona jest nierówność gdy . Z warunków zadania obliczamy a,b,c:

15. Przykład. Oblicz wiedząc, że Rozwiązanie: Przykład. Uprość ułamek i podaj odpowiedź, w której występują jedynie potęgi liczb pierwszych.

16. Równania wykładnicze Równaniem wykładniczym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi. Omówimy cztery metody rozwiązywania równań wykładniczych. 1. Sprowadzanie do wspólnej podstawy. Metoda ta polega na doprowadzeniu równanie do postaci,  w której po obu stronach znaku równości znajdą się potęgi o tej samej podstawie. Następnie wykorzystując różnowartościowość funkcji wykładniczej równość potęg zamienia się na równość wykładników tych potęg:i rozwiązuje się równanie: 

17. Przykład. Rozwiążemy równanie: Na początku dziedzina: Powyższe równanie kwadratowe spełnione jest przez liczby

18. 2. Metoda podstawiania. W równaniu gdzie jest dowolną funkcją różną od stałej stosuje się podstawienie przy założeniu . Przykład. Rozwiążemy równanie: Oczywiście wybieramy liczbę dodatnią więc

19. 3. Rozwiązywanie równań postaci: gdzie i jest dowolną funkcją różną od stałej. Rozwiązując takie równania korzysta się z równości: Przykład. Rozwiążemy równanie: Proponujemy słuchaczowi samodzielne rozwiązanie poniższych przykładów:

20. 4. Metoda graficzna. Rozwiąż graficznie równanie Odp. Rozwiązaniem równania jest para liczb: (2,3).

21. Nierówności wykładnicze Metody rozwiązywania nierówności wykładniczych są analogiczne jak metody rozwiązywania równań. Trzeba pamiętać tylko o: Dla funkcja wykładnicza jest malejąca, więc: Dla funkcja wykładnicza jest rosnąca, więc: Czyli opuszczając podstawy zmieniamy znak nierówności na przeciwny. Czyli opuszczając podstawy pozostawiamy znak nierówności bez zmian.

22. Przykład. Pokażemy to na dwóch przykładach. a) b) Znak nierówności nie został zmieniony ponieważ podstawa potęgi jest większa od 1. W przedostatnim kroku przechodząc z nierówności potęg na nierówność wykładników, zmieniliśmy znak nierówności na przeciwny, ponieważ podstawa potęgi .

23. Procesy wykładnicze W rozdziale tym przejdziemy do zjawisk w których opisie będzie występowała funkcja wykładnicza. Bardzo dokładnie zbadaliśmy proces stygnięcia i wyznaczyliśmy wszystkie stałe występujące w opisie doświadczenia. Słuchacz w naszym sprawozdaniu na pewno znajdzie coś ciekawego dla siebie i pozna metody analizy procesów wykładniczych. Pozostałe przykłady: ruch w ośrodku lepkim, pochłanianie światła w ośrodku, rozładowanie kondensatora przez opór podajemy w formie czystej teorii w celu nakierowania zaciekawionych tematem do dalszych doświadczeń 

24. 1. Badanie stygnięcia Stygnięciem rządzi prawo ostygania podane przez Newtona: Ilość energii traconej w jednostce czasu jest proporcjonalna do różnicy temperatur substancji i otoczenia oraz do powierzchni ciała. Współczynnik nazywamy współczynnikiem przejmowania ciepła. Po przekształceniach tego wzoru otrzymujemy zależność: Gdzie: ΔT- różnica temperatur próbki i otoczenia Tp – temperatura początkowa próbki To – temperatura otoczenia m- masa substancji c- ciepło właściwe próbki S- powierzchnia próbki Δt – przedział czasowy Którą możemy zapisać w postaci: Z tego równania wynika, że różnica temperatur między ciałem a otoczenie maleje wykładniczo.

25. Przekształcając równanie otrzymujemy zależność: Równanie to w układzie współrzędnych jest równaniem prostej o nachyleniu: Wykonamy badanie stygnięcia dwóch cieczy o tej samej objętości w takich samych warunkach doświadczalnych – na tyle na ile uda nam się odtworzyć takie warunki . Podgrzane próbki do temperatury ok. 100°C wstawiamy do dużego kartonu obłożonego styropianem. Karton jest zamknięty i przez niewielką szczelinę wychodzą tylko z niego przewody od czujników temperatury, podłączonych do konsoli CoachLabII, która z kolei podłączona jest pod komputer z oprogramowaniem coach6.

26. Badanie stygnięcia cieczy X. Przez 90 minut w wyżej opisanych warunkach badaliśmy zmiany temperatury dla cieczy X. Objętość cieczy X wynosiła 85ml. Masa cieczy X: m=97,5 g Wykres zależności zmian temperatury próbki od czasu przedstawiony jest poniżej. Wyraźnie widać jego wykładniczy charakter.

27. Kolejny wykres przedstawia jak zmieniała się różnica temperatur pomiędzy próbką a otoczeniem.

28. Badanie stygnięcia wody: Przez 50 minut w wyżej opisanych warunkach badaliśmy zmiany temperatury dla wody. Objętość wody wynosiła 85ml. Masa wody: m=85,7 g Wykres zmian temperatury dla wody wygląda następująco:

29. Natomiast wykres zmian różnicy temperatur pomiędzy wodą a otoczeniem dla wody wygląda następująco: Zestawienie wyników pomiarów.

32. Zestawienie wyników w postaci wykresów:

33. Dla pojedynczych wykresów wykonamy dopasowanie krzywej: Dla obu substancji widać wyraźnie że mamy dopasowanie funkcji wykładniczej.

34. Poniższa tabela zawiera przekształcone odpowiednio wyniki pomiarów przeprowadzonych dla wody i cieczy X.

35. w układzie współrzędnych mamy prostą o nachyleniu: a= Wyznaczamy a z wykresu: a=-0,0449 w układzie współrzędnych mamy prostą o nachyleniu: a= Wyznaczamy a z wykresu: a=-0,0258

36. Zarówno woda jak i ciecz X znajdowały się w tej samej zlewce zajmując w niej identyczną objętość. Powierzchnia „stygnięcia” była zatem identyczna. Oba doświadczenia były wykonywane w możliwie najbardziej podobnych warunkach jak na możliwości szkolne. Możemy zatem założyć że jest wartością stałą. Dwa ciała o identycznym kształcie i powierzchni w takich samych warunkach ostygają od temperatury T1 do temperatury T2 w różnych czasach t1 i t2. Przekształcając odpowiednio wzór: Otrzymamy: Odpowiednio podstawiając i porównując równania dla obu cieczy otrzymujemy zależność:

37. Obieramy przedział temperaturowy: T₁=80,3°C T₂=45,2°C t₁ = 48 min t₂= 26 min Podstawiamy za c₁=4190 Wyznaczamy c₂: Z naszych badań wynika że badana substancja była olejem niestety nie udało nam się go bliżej zidentyfikować.

38. 2. Ruch w ośrodku lepkim. Przy laminarnym ruchu cieczy na ciało poruszające się w cieczy działa siła oporu proporcjonalna do jego prędkości Korzystając teraz z drugiej zasady dynamiki Newtona: Możemy napisać: Jest to równanie różniczkowe funkcji wykładniczej. Prędkość będzie więc zależeć od czasu zgodnie ze wzorem:

39. 3. Pochłanianie światła w ośrodku. Względny spadek natężenia światła na jednostkę przebytej drogi x jest stały i wynosi gdzie dodatnia stała nosi nazwę współczynnika absorpcji, jego wartość liczbowa zależy od rodzaju ośrodka pochłaniającego światło oraz rodzaju procesu fizycznego warunkującego pochłanianie światła w danym ośrodku. Natężenie światła zmienia się więc wykładniczo w zależności od przebytej drogi To wykładnicze (eksponencjalne) prawo absorpcji nazywa się prawem Bouguera-Lamberta. Na rysunku pokazano zależność natężenia fali świetlnej od długości drogi przebytej w ośrodku. Odległość s, równą odwrotności współczynnika absorpcji, nazywa się długością osłabiania. 

40. 4. Rozładowanie kondensatora przez opór. Ładunek Q zgromadzony na okładkach kondensatora jest równy iloczynowi jego napięcia U i pojemności C oraz, że natężenie prądu przy rozładowaniu kondensatora równa się ubytkowi ładunku na jednostkę czasu możemy napisać: Z drugiej strony, natężenie prądu jest związane z prawem Ohma Stąd: Czyli mamy: gdzie to napięcie do którego naładowany był kondensator w chwili t=0. Rysunek obok przedstawia rozładowanie kondensatora. Tu najszybciej rozładowuje się kondensator o najmniejszej pojemności.

41. 5. Prawo Webera-Fechnera Prawo Webera-Fechnera – prawo wyrażające relację pomiędzy fizyczną miarą bodźca a reakcją (zmysłów, np. wzroku, słuchu, węchu czy poczucia temperatury (siła wrażenia). Jest to prawo fenomenologiczne, będące wynikiem wielu obserwacji praktycznych i znajdujące wiele zastosowań technicznych. Historycznie było sformułowane przez Webera w formie: Jeśli porównywane są wielkości bodźców, na naszą percepcję oddziałuje nie arytmetyczna różnica pomiędzy nimi, lecz stosunek porównywanych wielkości. Co zostało wyrażone 30 lat później przez Fechnera jako: gdzie: dw – różniczkowa zmiana siły (intensywności) wrażenia, dB – różniczkowa zmiana wielkości bodźca (B), k – doświadczalnie wyznaczany współczynnik proporcjonalności. Ostatecznie prawo wyraża wzór:

42. 6. Matematyczny przykład. Zaobserwowano, że liczba studentów pewnej szkoły w ciągu ostatnich dziesięciu lat powiększała się co roku o 5%. Zakładając, że proces ten nie ulegnie zmianie w następnych latach oraz, że obecnie w szkole uczy się 3000 osób napiszemy wzór wyrażający zależność liczby uczniów od czasu t, liczonego w latach. Liczba uczniów tej szkoły za rok będzie wynosiła: Za dwa lata wyniesie: Zatem poszukiwany wzór to: Mając ten wzór możemy bez problemu policzyć np. ile studentów będzie liczyć szkoła za 20lat. Pozostawiamy to słuchaczom.

43. Dziękujemy serdecznie za uwagę.

44. Bibliografia [1] Jan Gaj, Laboratorium fizyczne w domu, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne Warszawa 1982 [2] Henryk Szydłowski, Pracownia Fizyczna, Państwowe wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973 [3] A.Cewe,M.Krawczyk,M.Kruk,H.Nahorska,I.Pancer,R.Ropela, Matematyka w otaczającym nas świecie, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk 2009 [4] http://pl.wikipedia.org