1 / 36

Operations Research

Operations Research. Hoorcollege week 4 Deel 2 Inleiding wachtrijsystemen De klassificatie van Kendall Het M/M/1-model R.B.J. Pijlgroms Instituut Informatica en Elektrotechniek Hogeschool van Amsterdam. Wachtrijsystemen. K enmerken van Wachtrijen. verdeling van aankomsttijd

senta
Download Presentation

Operations Research

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Operations Research Hoorcollege week 4Deel 2 Inleiding wachtrijsystemen De klassificatie van Kendall Het M/M/1-model R.B.J. PijlgromsInstituut Informatica en ElektrotechniekHogeschool van Amsterdam

  2. Wachtrijsystemen

  3. Kenmerken van Wachtrijen • verdeling van aankomsttijd • ook: interarrivaltime • verdeling van bedieningstijd • ook: servicetime • aantal servers of loketten #servers aankomsten bedieningen

  4. Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) • Verdeling van aankomst- resp. bedieningstijden • Notatie: • M : de tussenaankomsttijd is negatief exponentiëel verdeeld • D : de tussenaankomsttijd is constant • G : de tussenaankomsttijd is willekeurig verdeeld

  5. Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) • maximaal aantal toegestane klanten in het systeem • of ook: systeem-capaciteit • omvang van de gehele populatie van mogelijke klanten • protocol van bediening van de wachtrij

  6. Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) • Systeem-capaciteit: • oneindig: ‘iedereen’ kan zich als klant melden • eindig: bijv. de wachtruimte is beperkt! (vergelijk de printbuffer of het geheugen, beperkte ruimte in kapsalon.)

  7. Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) • De populatie (dit is ietsanders dan de systeem-capaciteit) • veelal oneindig (‘iedereen’ kan zich als klant melden) • soms eindig (vergelijk bijv. kapotte machines die zich ‘melden’)

  8. Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG) • Protocol: volgorde waarin de wachtrij wordt bediend • FIFO - First In First Out • FCFS - First Come First Served • LIFO - Last In First Out • LCFS - Last Come First Served • SJN - Shortest Job Next • SIRO - Service In Random Order • SPT - Shortest Processing Time first • PR - according to PRriority

  9. De Kendall-notatie • de genoemde kenmerken worden afgekort volgens Kendall, bijv.: • M/M/1/¥/¥/FIFO • negatief exponentieel verdeelde aankomsttijd • negatief exponentieel verdeelde bedieningstijd • één server • systeem-capaciteit (= oneindige wachtruimte + 1 = ¥) • oneindige populatie • First In First Out bedieningsvolgorde

  10. De Kendall-notatie(vervolg) • dit wordt afgekort tot M/M/1 • voortaan meestal korte notatie • dus capaciteit en populatie worden dan oneindig verondersteld en volgorde is FIFO. Zoniet, dan de lange notatie. • Enkelevoorbeelden • M/M/4 M/D/3/8 • M/G/1 M/M/4/4 • D/M/2/4 M/M/2/5/5

  11. A/B/s/N/Kmet: A = verdeling aankomsttussentijd B = verdeling bedieningstijd s= aantal servers N = capaciteit van het systeem K = omvang van de ‘doelgroep’ afkortingen verdelingen (d.w.z. A, B): M = exponentieel D = constant/deterministisch G = algemeen (Ek= Erlang) Notatie van Kendall

  12. Parameters wachtrijsysteem Resumerend gedrag wachtrij-systeem afhankelijk van • aankomstproces (l en verdeling tussentijd) • bedieningsproces (m en verdeling bedientijd) • aantal loketten • capaciteit van het systeem • omvang van de doelgroep • bedienings-protocol

  13. Kendall notatie oefeningen • kapsalon met 3 knipstoelen en 5 wachtstoelen • 6 machines die onderhouden worden en 1 monteur met Poisson-verdeelde bedieningsintensiteit • vliegtuigen die landen op 1 landingsbaan • Wachtrij in kantine met exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden en constante bedieningstijden

  14. Interessante afgeleide systeem-variabelen • r= bezettingsgraad (server utilization, percentage van de tijd dat een server bezig is waarbij s =aantal parallelle servers) • Pn= kans op n klanten in het systeem • Nq= gemiddeld aantal klanten in het systeem (bediening en wachtrij) • Nw= gemiddeld aantal klanten in de wachtrij • Tq= gemiddelde tijd dat een klant in het systeem aanwezig is (bediening en wachtrij) • Tw= gemiddelde tijd dat een klant in de wachtrij aanwezig is

  15. Overgangs- en stationair gedrag • overgangsgedrag (vanaf t = 0) prestatie indicatoren als gemiddelde wachttijdTw en gem. aantal klanten in de wachtrij Nw afhankelijk van de tijd d.w.z. Tw(t), Nw(t) • stationair gedrag ( t=>¥) prestatie-indicatoren als gemiddelde wachttijd niet meer afhankelijk van de tijd (d.w.z. de waarschijnlijkheid dat systeem zich in gegeven toestand bevindt is niet tijdsafhankelijk)

  16. Overgangsgedrag • geschiedenis aantal klanten in systeem = grafiek aantal klanten tegen tijd • Kan ook in tabel • Je moet het wachtrij-protocol kennen • FIFO (first in first out) • LIFO (last in first out) • SIRO (service in random order) • SPT (shortest processing time first) • PR (according to priority)

  17. Geschiedenis oefening Nq • aantal bezoeken afgelegd door verpleger (N) ? • voor alle N bezoeken de begintijd ? • voor alle bezoeken de door patient in systeem doorgebrachte tijd ? • voor alle bezoeken de door patient in rij doorgebrachte tijd ?

  18. Het M/M/1// - model

  19. Het M/M/1// - model • Negatief-exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden ( gemiddelde aankomstintensiteit = l [klanten/sec], gem. tussenaankomsttijd = l-1 [sec] ) (N.B.: l-1 =1/ l) • Negatief-exponentieel verdeelde bedieningstijden (gemiddelde bedieningsintensiteit = m [klanten/sec], gem. bedieningstijd Ts=m-1 [sec]) • aantal loketten s = 1 • Systeemcapaciteit is oneindig • Populatiegrootte is oneindig

  20. De Markov-keten en de evenwichtsvergelijkingen: M/M/1 … - Markov-keten.- Cirkels geven toestanden aan waarin het systeem kan verkeren.- Overganskansen i.h.a. niet constant.

  21. Het M/M/1-model • In het M/M/1-model is: • het aankomstproces een Poisson-proces met gemiddeld l aankomsten per tijdseenheid • de tijd tussen het afronden van twee bedieningen negatief exp. verdeeld met gemiddeld m bedieningen per tijdseenheid • het aantal servers=loketten gelijk aan 1 • Dus parameters ln en mn hangen niet van n af!!

  22. Het M/M/1-model(vervolg) • Dus ln = l voor alle n=0,1,2,... • En mn = m voor alle n=1,2,3, ... • Wel moet gelden : l<m • anders loopt het systeem “vol” • De grootheidwordt de bezettingsgraad van het systeem genoemd • De evenwichtsvergelijkingen worden :

  23. l l l l l l 0 n-1 1 n 2 n+1 3 n+2 … … m m m m m m Het M/M/1-model(vervolg) …

  24. Het M/M/1-model(vervolg) • Bovendien is de som van alle kansen 1

  25. Het M/M/1-model(vervolg) VOORBEELD • Er komen op een netwerkserver gemiddeld 10 berichten per minuut binnen. • De gemiddelde verwerkingstijd voor een bericht is 4 seconden. • wat is de kans op een ‘idle server’? • wat is de kans op 1, 2 resp. 3 berichten in het systeem? • wat is de kans op minstens 4 berichten in het systeem?

  26. Het M/M/1-model(vervolg) ANTWOORD • Eerst: l is natuurlijk 10 (berichten per minuut) • En: m is 15 !! (berichten per minuut) • Dus de bezettingsgraad r=10/15=2/3 • De kans op een ‘idle server’ = de kans op 0 berichten in het systeem: P0 dus.

  27. Het M/M/1-model(vervolg) We vonden:Pn = rn (1-r) De kans op 4 of meer :1-0.333-0.222-0.148-0.099=0.198

  28. Nogmaals de notaties voor afgeleide systeemvariabelen • We definieren een aantal stochasten: • Ns = het aantal klanten dat bediend wordt • Tq = de tijd die een klant in het systeem doorbrengt • (ook wel de doorlooptijd genoemd) • Tw = de tijd die een klant in de rij staat • Ts = de tijd die nodig is voor de bediening van een klant • Nq = het aantal klanten in het systeem • Nw = het aantal klanten in de wachtrij

  29. Little’sResult • We nemen voortaan aan dat alle genoemde stochasten niet afhangen van de tijd • Er geldt : Nq = Nw + Ns Tq = Tw + Ts • Bovendien geldt Little’s result: E(Nq) = l E(Tq) E(Nw) = l E(Tw) en E(Ns) = l E(Ts)

  30. Little’sResult (vervolg) • Zoals aldooris l het gemiddeld aantal aankomsten per tijdseenheid • Little heeft bewezen dat dit resultaat geldig is onafhankelijk van de aankomstverdeling!! • Het bewijs is abstract, het resultaat eenvoudig en aannemelijk.

  31. De verwachting van Nq(M/M/1-model) help!

  32. wiskunde trucs!!!

  33. De verwachting van Nq en Tq Uit het voorgaande volgt dus:(bedenk dat r=l/m < 1 ) En dan volgt met het Result van Little:

  34. De verwachting van Nw en Tw • De verwachte wachttijd is : • de verwachte totale tijd in het systeem minus de verwachte bedieningsduur

  35. The End

More Related