operations research l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Operations Research PowerPoint Presentation
Download Presentation
Operations Research

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 200

Operations Research - PowerPoint PPT Presentation


  • 171 Views
  • Uploaded on

Operations Research. Vorlesung/Übung im SS 2008 Professor Dr. Egbert Kahle Veranstaltungsbeginn ab 7.4. : 16.15 Uhr Klausur: wird noch bekannt gegeben. Inhalt 1. Einführung (Begriff und Inhalt von OR) 2. Lineare Programmierung -Simplex Algorithmus 3. Sonderfälle 4. Postoptimale Rechnungen

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Operations Research' - khan


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
operations research

Operations Research

Vorlesung/Übung im SS 2008

Professor Dr. Egbert Kahle

Veranstaltungsbeginn ab 7.4. : 16.15 Uhr

Klausur: wird noch bekannt gegeben

slide2

Inhalt

1. Einführung (Begriff und Inhalt von OR)

2. Lineare Programmierung -Simplex Algorithmus

3. Sonderfälle

4. Postoptimale Rechnungen

5. Mehrzielprobleme

6. Dualität

7. Netzplantechnik

8. Tourenplanung

slide3

1. Einführung

Begriff und Inhalt von Operations Research

Der Begriff wurde im 2. Weltkrieg in den USA

für die Analyse von Wirkungen militärischer

Operationen geprägt und dann auf wirtschaft-

liche Probleme übertragen.

In UK oft als Operational Research und in

Deutschland auch als Unternehmensforschung,

Optimalplanung oder Optimierungsrechnung

bezeichnet.

slide4

Definition:

Anwendung mathematischer Methoden zur

Vorbereitung optimaler Entscheidungen

Voraussetzung:

Schaffung eines formalen Modells, das die

Einflußgrößen der Wirkungen sachgerecht

abbildet.

Ökonomisches Prinzip:

Gegebenes Ziel - minimaler Mitteleinsatz

Gegebener Mitteleinsatz - Maximale Zielerr.

slide5

Daraus folgen Anforderungen für die Formu-

lierung mathematischer Modelle

reale Entscheidungs- mathematisches

situation Entsch.modell

reale Entscheidung mathematische

Modellösung

slide6

Fehlerquellen

- Abbildungsfehler

- Modellorientiertheit ( Unterdrückung von

Problemeigenschaften oder -variablen, die

nicht ins Modell passen)

- Fehlerhafte Algorithmenanwendung

- Abweichungen bei der Rückinterpretation

Modellorientierung vs. Problemorientierung

slide7

Problemtypen von OR

- Kombinatorische Probleme

= Reihenfolgeprobleme

= Transportprobleme

= Optimierung von Produktionsprogrammen

- Lagerhaltungsprobleme

- Ersatzprobleme

- Wartezeitprobleme

- Konkurrenzprobleme

slide8

Verfahren des OR

- Statische Programmierung

= Lineare Programmierung

= Nicht-lineare Programmierung

= Ganzzahlige Programmierung

- Dynamische Programmierung

- Entscheidungsbaumverfahren

- Netzplantechnik

- Warteschlangentheorie

- Spieltheorie

- Simulation

slide9

2. Lineare Programmierung - Simplex Algo-

rithmus

Algorithmus

System von Rechenregeln, die

- eindeutig formuliert und tatsächlich aus=

führbar sind

- nach endlich vielen Schritten zum Ergebnis

führen

- für eine ganzen Klasse von Entscheidungs=

aufgaben geeignet sind

- nach Anwendung eine Lösung garantieren

oder die Unmöglichkeit der Lösung er=

weisen

slide10

2.1 Grundmodell des Simplex-Algorithmus

Charakteristika:

- Linearität von Zielfunktionen und Neben-

bedingungen

- Statische Betrachtung

- Deterministische Daten

- Stetige Größen, d.h. keine Ganzzahligkeits-

erfordernisse, auch nicht teilweise

slide11

2.2. Praktisches Beispiel

Die Studenten der Vorlesung Operations Re-

search (Sie) überlegen, wie sie einen möglichst

optimalen Lernerfolg innerhalb des Teils “Line-

are Optimierung” erhalten. Sie haben die Mög-

lichkeit, Ihr Wissen aus Vorlesungen oder aus

Büchern zu beziehen. Auf Grund der Erfahrun-

gen “leidgeprüfter” Vorgänger wissen Sie, daß

das Erfolgsverhältnis von Vorlesungsbesuch

und Literaturarbeit 7 : 5 beträgt. Angeboten

werden zu diesem Thema 6 Bücher in der

Bibliothek.

slide12

Sie planen für dieses Semester höchstens

42 Arbeitstage (à 2,5 Stunden) ein, wobei ein

Vorlesungstermin incl. Vor- und Nachbereitung

6 Tage und die Beschäftigung mit einem Buch

1 Tag in Anspruch nimmt. Wenn Sie davon aus-

gehen, daß Sie während eines Semesters höch-

stens 12 neue Freunde gewinnen können, so

können Sie während einer Vorlesung jeweils 2

kennenlernen, während die Beschäftigung mit

einem Fachbuch dazu führen kann, daß Sie 3

Freunde verlieren.

slide13

Für wichtige geschäftliche Anrufe planen Sie

maximal 12 Telefonate ein, wobei Sie schätzen,

daß Sie während einer Vorlesung 2 Anrufe ver-

passen (Handyverbot), beim Lesen eines Buches

zu Hause aber drei Anrufe entgegennehmen

können.

Was ist zu tun ?

slide14

Aufstellen des Problems in Ungleichungsform

6 xV + 1xB + xT = 42

2xV - 3xB + xF = 12

-2xV + 3xB + xH = 12

xB + xBS = 6

7 xV + 5 xB ---> Max!

-2 xv + 3xB ---> Max! (und analog für die Freunde

slide18

Ein weiteres Beispiel

Die kurzfristige Produktionsprogrammplanung

geht von gegebenen variablen Kosten kvj

für jedes Produkt j aus. Der Preis am Markt

pj ist gegeben ; bei diesem Preis kann eine

Absatzhöchstmenge x^j verkauft werden.

So weit keine Produktionsbeschränkungen

vorliegen, wird alles produziert, was einen

positiven Deckungsbeitrag dbj bringt.

dbj = pj - kvj > 0 !

slide19

Bei der Überprüfung der Bedingung, ob die

Produkte einen positiven Deckungsbeitrag

bringen, ist die marktliche Verbundenheit zu

beachten; Tasse und Untertasse, die als ein

Gedeck verkauft werden, sind in diesem Sinn

nur ein Produkt !

Für den Betrieb als Ganzes muß noch gelten,

daß er keinen Verlust macht (langfristig).

G = (pj - kvj) * xj - Kf >= 0 !

slide20

Bei Vorliegen einer Kapazitätsbeschränkung

wären die Produkte der Höhe des Deckungs-

beitrags nach zu ordnen und es würde zuerst

das Produkt mit dem höchsten, dann das mit

dem zweithöchsten Deckungsbeitrag usw.

gefertigt, bis die Kapazität erschöpft ist.

Eine solche Vorgehensweise würde aber

keine optimale Nutzung der knappen Kapazität

bewirken: Der Deckungsbeitrag pro Einheit

der knappen Kapazität, der relative Deckungs-

beitrag, muß als Auswahlkriterium gelten.

slide21

Wenn mit vij der Faktorverbrauch des Faktors

i für die Produktion des Produkts j bezeich-

net wird und von dem Faktor i nur die Menge

Vi zur Verfügung steht, muß gelten:

vij * xj <= Vi

D.h. man kann nicht mehr verbrauchen als da

ist. Der relative Deckungsbeitrag dbrel ist:

dbreli, j = (pj - kvj) : vij

slide22

Der relative Deckungsbeitrag wurde von

Schmalenbach (1930) als optimale Geltungszahl

bezeichnet.

Beispiel:

Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3

Preis 160 100 80

kvj 60 50 40

Absatz - 40 90 300

höchstmenge

Verbrauch 8 2 1

Bestand 480

slide23

Nach den Deckungsbeiträgen ergäbe sich

eine Produktion von 40 P1 und 80 P2, dann

wäre der Faktorbestand verbraucht. Die

Summe der Deckungsbeiträge ist 8000.

Nach den relativen Deckungsbeiträgen sieht

es so aus:

Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3

dbrel 12,5 25 40

Menge - 90 300

Verbrauch- 180 300

DB - 4500 12000

slide24

Der Deckungsbeitrag steigt auf 16500 an

Wenn nun ein zweiter Engpaßfaktor auftritt,

mit einem Bestand von 350 und Verbrauchs-

werten v21 = 5, v22= 2 und v23 = 4, dann ist

eine andere Reihenfolge optimal:

Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3

dbrel 20 25 10

Menge 34 90 -

Verbrauch 170 180 -

DB 3400 4500

DBgesamt = 7900

slide25

Allgemeiner Ansatz für LP

G =  (pj - kvj) * xj - Kf --> Max !

 vij * xj </= Vi

xj </= Xj

xj >/= 0

slide26

Ansatz für das Beispiel

(160 - 60) x1+(100- 50)x2 + (80 - 40) x3 -> Max!

8 x1 + 2 x2 + x3 </= 480

5 x1 + 2 x2 + 4x3 </= 350

x1 </= 40

x2 </= 90

x3 </= 300

slide27

8 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 480

5 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x5 = 350

x1 +x6 = 40

x2 + x7 = 90

x3 + x8 = 300

100x1+ 50 x2 + 40 x3 ----> Max!

slide28

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y4 8 2 1 1 0 0 0 0 480

y5 5 2 4 0 1 0 0 0 350

y6 1 0 0 0 0 1 0 0 40

y7 0 1 0 0 0 0 1 0 90

y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z -100 -50 -40 0 0 0 0 0 0

(ggf. - KF)

slide29

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y4 0 2 1 1 0 - 8 0 0 160

y5 0 2 4 0 1 - 5 0 0 150

x1 1 0 0 0 0 1 0 0 40

y7 0 1 0 0 0 0 1 0 90

y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z 0 -50 -40 0 0 100 0 0 4000

slide30

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y4 0 0 -3 1 -1 -3 0 0 10

x2 0 1 2 0 1/2 -5/2 0 0 75

x1 1 0 0 0 0 1 0 0 40

y7 0 0 -2 0 -1/2 5/2 1 0 15

y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z 0 0 60 0 25 -25 0 0 7750

slide31

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28

x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90

x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34

y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6

y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900

slide32

Verschiedene Auswahlregeln für die Pivot-Spalte

SUA - Steepest Unit Ascent

Richtet sich nach dem Zielfunktionszuwachs pro

Einheit z. B. Deckungsbeitrag pro Stück

-Standardverfahren

GC - Greatest Change

Sucht den nächsten Eckpunkt mit der größten

Verschiebung der Zielfunktion

Vor allem sinnvoll bei mehreren nach SUA gleich-

wertigen Spalten oder kleinen SUA- Unterschieden

slide33

Anwendung von GC auf das zweite Beispiel

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y4 8 0 1 1 0 0 -2 0 300

y5 5 0 4 0 1 0 -2 0 170

y6 1 0 0 0 0 1 0 0 40

x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90

y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z -100 0 -40 0 0 0 50 0 4500

Neue Pivot-Spalte x1 mit DB 3400; bei x3 :1700

slide34

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28

x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34

y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6

x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90

y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900

Das Lösungstableau entspricht dem bei SUA,

jedoch sind die Zeilen anders angeordnet.

slide35

Weitergehende Schritte:

- Probe

nach jedem Schritt möglich, am Ende wichtig

- Interpretation der Ergebnisse

= Lösungswerte in der b - Spalte (RHS)

= Lösungswerte in der Z - Zeile (Schatten-

preise)

Wichtig: Der Unterschied in der Interpretation

von Schattenpreisen der Basisvariablen und

der Schlupfvariablen

slide36

Ein weiteres Beispiel (modifiziertes Bsp.

Paschka-Skript, Aufgabe 2)

Vier Produkte A,B,C und D werden zu folgenden

Preisen in folgenden Mengen verkauft:

A 200 zu 80; B 50 zu 120; C 100 zu 70; D 200 zu 30.

Die variablen Kosten sind kA = 60, kB = 20,

kC = 20 und kD = 25.

Der Rohstoffverbrauch beträgt bei Stoff 1 v1A =2,

v1B = 4, v1C = 6 und v1D = 1; es sind 1000 V1 da.

Bei Stoff 2 gilt : v2A = 3, v2B = 6, v2C = 1, v2D = 1

und 550 vorhanden. Fixkosten betragen 200.

slide37

xA xB xC xD y1 y2 y3 y4 y5 y6 * b

y1 2 4 6 1 1 0 0 0 0 0 1000

y2 3 6 1 1 0 1 0 0 0 0 550

y3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 200

y4 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 50

y5 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 100

y6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 200

Z -20 -100 -50 -5 0 0 0 0 0 0 -200

slide38

Auswahl:

SUA -- xB/y4

GC -- xC/y5 gleichwertig

Optimale Lösung nach drei Schritten:

xA = 50, xB = 50, xC = 100

Methodenwahl unerheblich.

slide39

2.4. Probleme mit unzulässiger Ausgangs-

lösung

Typischerweise handelt es sich hier um

Probleme, die gleichzeitig kleiner-gleich und

größer-gleich Bedingungen oder auch

Gleich-Bedingungen enthalten.

Beispiel: Es werden Stühle für 2 GE und

Hocker für 1 GE hergestellt. Ein Hocker benö-

tigt 4 h und ein Stuhl 2 h. 20 h sind verfügbar.

Zwei Hocker müssen mindestens gefertigt

werden.

slide40

Ansatz:

2 x1 + 4 x2 </= 20

x2 >/= 2

2 x1 + x2 ---> Max!

Der einfachste Weg ist die Multiplikation der

größer-gleich Bedingung mit -1; dann ist sie

eine kleiner-gleich-Bedingung.

slide41

x1 x2 x3 x4 b

y1 2 4 1 0 20

y2 0 -1 0 1 -2

Z -2 -1 0 0 0

Hier wird die Auswahlregel verändert. Zuerst

werden die negativen Elemente der b-Spalte

berücksichtigt und auf diese SUA oder GC

angewendet. In Betracht kommen nur Spalten

mit negativen Koeffizienten. (y2/x2)

slide42

1. Iteration

x1 x2 x3 x4 b

y1 2 0 1 4 12

x2 0 1 0 -1 2

Z -2 0 0 -1 2

Diese Lösung ist zulässig, aber nicht optimal.

SUA oder GC führt hier zu keinem Unterschied.

Pivot-Element: y1/x1

slide43

2. Iteration

x1 x2 x3 x4 b

x1 1 0 1/2 2 6

x2 0 1 0 -1 2

Z 0 0 1 3 14

Optimale Lösung. Es werden 6 Stühle und zwei

Hocker gefertigt. Eine Erhöhung der Kapazität

um eine Einheit erhöht den Umsatz um 1 GE.

Eine Verringerung der Mindestmenge Hocker

um 1 würde den Umsatz um 3 GE erhöhen.

slide44

Vorgehensweise bei mehreren größer-gleich

Bedingungen.

Bei Vorliegen mehrerer größer-gleich-Bedin-

gungen in einem Maximierungsproblem gibt

es zwei mögliche Vorgehensweisen:

Will man alle effizienten Punkte des Lösungs-

raums bestimmen, dann werden die größer-

gleich Bedingungen nach dem üblichen Aus-

wahlkriterium bestimmt, d.h. Min ( bj/vij).

Will man hingegen auf kürzestem Weg in den

Raum zulässiger Lösungen wird Max (bj/vij)

gewählt.

slide45

Beispiel (ohne Textvorgabe)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1 8 2 1 1 0 0 0 0 480

y2 1 0 0 0 1 0 0 0 40

y3 -1 0 0 0 0 1 0 0 -20

y4 -1 0 -1 0 0 0 1 0 -30

y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50

Z -100 -80 -50 0 0 0 0 0 0

slide46

Iteration

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1

y2

y3

y4

y5

Z

slide47

Für die 1. Iteration kommen jetzt in Frage:

y3 oder y4; als Spalten mit entsprechenden

negativen Koeffizienten liegen x1 und x3 vor.

x1 hat den größeren Zielzuwachs (SUA), aber

auch GC.

Die beiden Vorgehensweisen verglichen:

Min (bj(vij) führt zu Pivot-Element y3/x1

Max (bj/vij) zu y4/x1

slide48

Iteration 1a

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1 0 2 1 1 0 8 0 0 320

y2 0 0 0 0 1 1 0 0 20

x1 1 0 0 0 0 -1 0 0 20

y4 0 0 -1 0 0 -1 1 0 -10

y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50

Z 0 -80 -50 0 0 -100 0 0 2000

Lösung noch nicht zulässig. Weiter mit y4/x6

slide49

Iteration 2a

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1 0 2 -7 1 0 0 8 0 240

y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10

x1 1 0 1 0 0 0 1 0 30

x3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10

y5 0 1 1 0 0 0 -1 1 50

Z 0 -80 50 0 0 0 -100 0 3000

Zulässig, aber nicht optimal. Wie 1b.

SUA führt zu y2/x7; GC zu y5/x2.

slide50

Iteration 1b

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1 0 2 -7 1 0 0 8 0 240

y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10

y3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10

x1 1 0 1 0 0 0 -1 0 30

y5 0 1 1 0 0 0 0 1 50

Z 0 -80 50 0 0 0 -100 0 3000

Zulässig, aber nicht optimal; SUA führt zu y2/x7

GC zu y5/x2; hier wird GC verfolgt.

slide51

Iteration 2b

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1 0 0 -9 1 0 0 8 -2 140

y2 0 0 -1 0 1 0 1 0 10

y3 0 0 1 0 0 1 -1 0 10

x1 1 0 1 0 0 0 -1 0 30

x2 0 1 1 0 0 0 0 1 50

Z 0 0 130 0 0 0 -100 80 7000

Noch nicht optimal. Nächstes Pivot-Element

y2/x7

slide52

Iteration 3b

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y1 0 0 -1 1 -8 0 0 -2 60

x7 0 0 -1 0 1 0 1 0 10

y3 0 0 0 0 1 1 0 0 20

x1 1 0 0 0 1 0 0 0 40

x2 0 1 1 0 0 0 0 1 50

Z 0 0 30 0 100 0 0 80 8000

Optimale Lösung. Probe.

slide53

M - Methode

Das ist die zweite Lösungsmethode bei Vor-

liegen unzulässiger Ausgangslösungen,

beschrieben in Angermann, A., Entscheidungs-

modelle, Frankfurt 1963, S. 213 ff.

Da sie meines Erachtens komplizierter ist als

der vorherige Rechenweg, wird sie nur formal

beschrieben:

Es werden für jede größer-gleich und gleich-

Bedingung zusätzliche Hilfsvariable eingeführt

und diese in der Zielfunktion mit einem Koeffi-

zienten M versehen.

slide54

Zur Gewinnung einer zulässigen Ausgangs-

lösung wird dann das M-fache der Zeilen mit

entsprechenden Bedingungen von der Ziel-

funktion abgezogen.

Danach wird dann das üblicher Iterations-

verfahren durchgeführt.

slide55

Darstellung am Hocker-Beispiel:

x1 x2 x3 x4 h1 b

y1 2 4 1 0 0 20

y2 0 1 0 1 1 2

Z -2 -1 0 0 M 0

slide56

Umgewandelt

x1 x2 x3 x4 h1 b

y1 2 4 1 0 0 20

y2 0 1 0 1 1 2

Z -2 -1-M 0 -M -M -2M

Pivot-Element y2/x2

slide57

1. Iteration

x1 x2 x3 x4 h1 b

y1 2 0 1 -4 -4 12

x2 0 1 0 1 1 2

Z -2 0 0 1 1 2

Diese Lösung ist zulässig, aber nicht optimal.

Sie unterscheidet sich von der Lösung S. 7

unten durch die Vorzeichen in Spalten x4,h1.

slide58

Minimierungsaufgaben

Minimierungsaufgaben bei kleiner-gleich Bedin-

gungen sind trivial. (xi = 0 für alle i)

Bei Vorhandensein von größer-gleich (gleich

und kleiner-gleich dürfen auch da sein) Bedin-

gungen kann man am einfachsten die Ziel-

funktion mit - 1 multiplizieren.

Das hat nur Konsequenzen für die Interpretation.

slide59

Übungsaufgaben:

a)

2 x1 - 3 x2 ---> Max

x1 + x2 >/= 2

2x1 - x2 </=10

2x1 +5x2 </= 15

slide60

x1 x2 x3 x4 x5 b

-1 -1 1 0 0 -2 *

2 -1 0 1 0 10

2 5 0 0 1 15

-2 3 0 0 0 0

*

1 1 -1 0 0 2

0 -3 2 1 0 6 *

0 3 2 0 1 11

0 5 -2 0 0 4

*

slide61

b)

20 x1 + 25 x2 ---> Min!

2 x1 + 3 x2 = 50

5 x1 - x2 >/= 120

6 x1 + x2 </= 150

slide62

x1 x2 x3 x4 x5 x6 b

-2 -3 1 0 0 0 -50 *

2 3 0 1 0 0 50

-5 1 0 0 1 0 -120

6 1 0 0 0 1 150

20 25 0 0 0 0 0

*

1 3/2 -1/2 0 0 0 25 25:3/2 = 16 2/3

0 0 1 1 0 0 0 0:0 nicht betr.

0 17/2 -5/2 0 1 0 5 5: 17/2 = 10/17

0 -8 3 0 0 1 0 0:-8 nicht bes.

0 -5 10 0 0 0 -500

*

slide63

Allgemeine Merkregeln für den Umgang mit

verschiedenen Nebenbedingungen

1. Gleichheitsbedingungen müssen erfüllt

werden. Das wird technisch so gelöst, daß

eine Kleiner/gleich und eine Größer/gleich-

Bedingung angesetzt werden, die dann beide

erfüllt werden müssen.

2. Alle Zeilen mit negativen Werten auf der

rechten Seite müssen als Pivotzeilen heran-

gezogen werden, bevor auf die Zielfunktions-

zeile geachtet wird.(vgl. S.8)

slide64

3. Erst wenn die Bedingungen 1 und 2 erfüllt

sind, wird normal” weiter innerhalb des

Lösungsraumes optimiert.

Sobald auf der rechten Seite ein negativer Wert

vorliegt oder wieder auftaucht, befindet man

sich außerhalb des Lösungraums !!

slide65

3. Sonderfälle

Die Sonderfälle lassen sich wie folgt gliedern:

- Degeneration

= Duale Degeneration

= Primale Degeneration

== Überbestimmter Punkt

== Unbegrenzte Lösungen

- Redundanz

- Kein Lösungsraum

slide66

Duale Degeneration

Die Zielfunktion “liegt” auf einer Nebenbedin-

gung, d.h. gleiche Steigung beider .

Sie wird erkennbar am Auftauchen des Wertes

0 im Schattenpreis einer Nichtbasisvariablen.

Es ergeben sich zwei optimale Ecken, deren

Linearkombination beliebig viele Optimal-

lösungen ergeben.

slide67

Beispiel

x1 + x2 ---> Max!

x1 + x2 </= 5

- x1 + 3x2 </= 9

3 x1 - x2 </= 9

slide68

x1 + x2 ---> Max!

x1 + x2 + x3 = 5

-x1 + 3x2 + x4 = 9

3x1 - x2 + x5 = 9

slide69

x1 x2 x3 x4 x5 b**

y1 1 1 1 0 0 5

y2 -1 3 0 1 0 9

y3 3 -1 0 0 1 9

Z -1 -1 0 0 0 0

slide70

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1 0 4/3 1 0 -1/3 2

y2 0 8/3 0 1 1/3 12

x1 1 -1/3 0 0 1/3 3

Z 0 -4/3 0 0 1/3 3

slide71

x1 x2 x3 x4 x5 b

x2 0 1 3/4 0 -1/4 3/2

y2 0 0 -2 1 1 8

x1 1 0 1/4 0 1/4 7/2

Z 0 0 1 0 0 5

slide72

x1 x2 x3 x4 x5 b

x2 0 1 1/4 1/4 0 7/2

x5 0 0 -2 1 1 8

x1 1 0 3/4 -1/4 0 3/2

Z 0 0 1 0 0 5

slide73

Weiteres Beispiel (Übung):

12 x1 + 2 x2 ---> Max !

- 2 x1 + 3 x2 </= 12

6 x1 + x2 </= 42

x2 </= 6

2 x1 - 3 x2 </= 12

slide74

Lösung I

x1 x2 x3 x4 x5 x6 b

y1 0 0 1 0 0 1 24

x2 0 1 0 1/10 0 - 3/10 6/10

x6 0 0 0 -1/10 1 3/10 54/10

x1 1 0 0 3/20 0 1/20 69/10

Z 0 0 0 2 0 0 84

slide75

Lösung II

x1 x2 x3 x4 x5 x6 b

y1 0 0 1 1/3 -10/3 0 6

x2 0 1 0 0 1 0 6

x6 0 0 0 -1/3 10/3 1 18

x1 1 0 0 1/6 -1/6 0 6

Z 0 0 0 2 0 0 84

slide76

Primale Degeneration

Sie liegt vor, wenn ein Eckpunkt überbestimmt

ist, d.h. mehr als zwei Gerade durch einen

Eckpunkt laufen. Das bedeutet, daß bei der

Wahl zwischen den Beschränkungen mehrere

Möglichkeiten bestehen. Nach Durchführung

der Iteration wird dann der andere - ggf. die

anderen - Wert in der RHS zu 0.

slide77

Beispiel

4 x1 + x2 ---> Max!

3 x1 - x2 </= 9

- x1 + 3 x2 </= 9

3 x1 - 3 x2 </= 9

slide78

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1 3 - 1 1 0 0 9

y2 - 1 3 0 1 0 9

y3 3 - 3 0 0 1 9

Z - 4 -1 0 0 0 0

slide79

Iteration 1a

x1 x2 x3 x4 x5 b

x1 1 -1/3 1/3 0 0 3

y2 0 8/3 1/3 1 0 12

y3 0 -2 -1 0 1 0

Z 0 -7/3 4/3 0 0 12

slide80

Iteration 2a

x1 x2 x3 x4 x5 b

x1 1 0 3/8 1/8 0 9/2

x2 0 1 1/8 3/8 0 9/2

y3 0 0 -3/4 3/4 1 9

Z 0 0 13/8 7/8 0 45/2

slide81

Iteration 1b

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1 0 2 1 0 -1 0

y2 0 2 0 1 1/3 12

x1 1 -1 0 0 1/3 3

Z 0 -5 0 0 4/3 12

slide82

Iteration 2 b

x1 x2 x3 x4 x5 b

x2 0 1 1/2 0 -1/2 0

y2 0 0 -1 1 4/3 12

x1 1 0 1/2 0 -1/6 3

Z 0 0 5/2 0 -7/6 12

slide83

Iteration 3b

x1 x2 x3 x4 x5 b

x2 0 1 1/8 3/8 0 9/2

x5 0 0 -3/4 3/4 1 9

x1 1 0 1/8 3/8 0 9/2

Z 0 0 13/8 7/8 0 45/2

slide84

Mögliche Folgen primaler Degeneration:

1. Dualwerte lassen sich nicht mehr inter-

pretieren.

2. Es kann zu einem “Cycling” kommen, d.h.,

der Tausch von Nichtbasisvariablen zu

Basisvariablen führt nicht mehr von dem

bestehenden Punkt weg.

Hier muß ein anderes Verfahren gewählt

werden, indem suboptimale Zwischenschritte

gewählt werden, d.h. eine andere Pivot-Spalte

bestimmt wird.

slide85

Unbegrenzte Lösungen

Die Lösungsmenge ist unendlich.

Man erkennt sie daran, daß in der Pivotspalte

bei positiver RHS nur negative Koeffizienten

vorhanden sind.

Das muß nicht im Ausgangstableau sichtbar

sein, sondern kann sich später ergeben.

slide86

Beispiel:

100 x1 + 50 x2 ---> Max!

- 30 x1 + 5 x2 </= 600

20 x1 - 100x2 </= 1000

x1 - x2 </= 100

slide87

Ansatz

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1

y2

y3

Z

slide88

1. Iteration

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1

y2

y3

Z

slide89

2. Iteration

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1

x

x

Z

slide90

Iteration 3

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1 0 0 1 -5/16 145/4 7825/2

x1 1 0 0 -1/80 5/4 225/2

x2 0 1 0 -1/80 1/4 25/2

Z 0 0 0 -15/8 275/2 11875

slide91

Kein Lösungsraum

Dieser Fall kann nur eintreten, wenn die

Nebenbedingungen widersprüchlich formu-

liert sind und wenn es sich dabei sowohl um

kleiner-gleich als auch größer-gleich oder

gleich-Bedingungen handelt.

Auch das ist im Ausgangstableau nicht immer

gleich zu erkennen.

slide92

Beispiel

x1 + x2 ---> Max !

- 2 x1 + 2 x2 >/= 8

3/2x1 + 3 x2 </= 30

2 x1 - 6 x2 >/= 6

slide93

Ausgangstableau

x1 x2 x3 x4 x5 b

y1 2 -2 1 0 0 -8

y2 3/2 3 0 1 0 30

y3 -2 6 0 0 1 -6

Z -1 -1 0 0 0 0

slide94

Iteration I

x1 x2 x3 x4 x5 b

x2 -1 1 -1/2 0 0 4

y2 9/2 0 3/2 1 0 18

y3 4 0 3 0 1 -30

Z -2 0 -1/2 0 0 4

slide95

Redundanz

Eine Nebenbedingung ist dann redundant,

wenn sie keinen Einfluß auf die Struktur der

aktuellen Lösung hat. Sie kann deshalb auch

bei gegebenem Lösungsraum vernachlässigt

werden.

Nur bei postoptimalen Rechnungen muß sie

beibehalten werden, da sie dann relevant

werden kann.

slide96

4. Postoptimale Rechnungen

Bei diesem Arbeitsschritt geht es darum, die

unter den Grundannahmen - Statik, Deter-

minismus, Linearität - erarbeitete Lösung

auf ihre Stabilität (Robustheit) und Reich-

weite zu überprüfen. Dazu dienen:

- Sensitivitätsanalyse (Sensibilitätsanalyse)

- Parametrische Optimierung

slide97

Bei der Sensitivitätsanalyse wird überprüft,

inwieweit sich einzelne Parameter ändern

dürfen, ohne daß sich an der Lösung etwas

qualitativ ändert. Eine qualitative Änderung

liegt danach dann vor, wenn die Struktur

von Basis- und Nicht-Basisvariablen sich

ändert, d.h eine bisherige Nicht-Basisvari-

able Basisvariable wird und vice versa.

slide98

Die parametrische Programmierung ist durch

eine schrittweise Variation einzelner Ausgangs-

daten gekennzeichnete, wobei die Schritt-

länge durch die Vorgabe der Parameter be-

stimmt wird. Es werden dann die Veränderungen

der Lösungen durch diese Vorgaben berechnet.

Es ergeben sich praktisch Streuungsbereiche

für die Eingangsdaten.

slide99

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 b

y4 0 0 -27/5 1 -8/5 0 6/5 0 28

x2 0 1 0 0 0 0 1 0 90

x1 1 0 4/5 0 1/5 0 -2/5 0 34

y6 0 0 -4/5 0 -1/5 1 2/5 0 6

y8 0 0 1 0 0 0 0 1 300

Z 0 0 40 0 20 0 10 0 7900

slide100

Ermittlung für das Produktionsbeispiel

Sensitivität der Zielfunktion:

Für Produkt 1 gilt:

In der Spalte x3 ist der Koeffizient 4/5,

in der Spalte x5 1/5 und in der Spalte x7 -2/5.

Die zugehörigen Werte in der Zielzeile werden

nun durch die jeweiligen Koeffizienten

dividiert und mit - 1 multiplziert; für die

Bestimmung der Untergrenze werden nur posi-

tive Koeffizienten verwendet und für die

Obergrenze nur negative. Es ergibt sich:

slide101

max( -40 : 4/5; -20 : 1/5) </= p </= min (- 10: -2/5)

d.h.

max (-50;-100) </= p </= min (25) (bei min gibt es

nur einen Wert)

Der Deckungsbeitrag von Produkt 1 kann um

50 nach unten (-50) und 25 nach oben schwanken

ohne daß sich die optimale Lösung ändert, d.h.

zwischen (100- 50 und 100 + 25), 50 und 125

schwanken.

slide102

Allgemein lautet die Formel

max(- c*jk :a*jk; ajk>0) </= p </= min(-c*jk :a*jk;a*jk<0)

Für Produkt 2 gibt es nur einen Wert fürdie linke

Seite der Formel, d.h. es ist

max (-10 : 1) </= p.

Das bedeutet, daß der Deckungsbeitrag von

Produkt 2 nach unten um 10 € sinken darf, bis

sich die optimale Lösung ändert; nach oben gibt

es keine Beschränkung.

slide103

Produkt 3 ist nicht im optimalen Produktions-

programm. Der Schattenpreis von 40 €

besagt, daß das Produkt erst produziert würde,

wenn der Deckungsbeitrag um 40 € auf 80 €

steigen würde. Es gibt keine untere Beschrän-

kung.

slide104

Für die Beschränkungen oder Restriktionen

gelten folgende Sensitivitätsüberlegungen:

Erste Beschränkung:

Es sind Leerkapazitäten von 28 Einheiten vor-

handen; wenn die Beschränkung von 480 um

28 Einheiten auf 452 sinkt, verändert sich die

Struktur der Lösung. Es gibt keine Beschrän-

kung nach oben, weil schon im Optimum

etwas über ist.

slide105

Zweite Beschränkung:

max ( - 34 : 1/5) </= p </= min (-28 : -8/5; -6: -1/5)

-170 </= p </= min (17,5; 30)

Die Restriktion kann um 170 nach unten und

17,5 nach oben schwanken, bevor sich die

Struktur der Lösung verändert.

Kapazität 2: 180 - 367,5

slide106

Dritte Beschränkung:

Auch hier bestehen Leerkapazitäten; erst wenn

die Absatzkapazität um mehr als 6, d.h. unter

34 sinkt, verändert sich die Lösung. Nach oben

gibt es keine Beschränkung.

Fünfte Beschränkung:

Es gilt im Prinzip das für die dritte Beschrän-

kung Gesagte; die Beschränkung kann auf 0

sinken, ohne daß sich etwas ändert; nach oben

gibt es ebenfalls keine Beschränkung.

slide107

Vierte Beschränkung:

max (-28: 6/5; -90 :1;-6:2/5) </= p </= min(-34:-2/5)

max ( - 23,3; -90; -15) </= p </= min (85)

-15 </= p </= 85

Die Absatzkapazität kann um 15 nach unten und

um 85 nach oben, d.h. von 75 bis 175 schwanken,

ohne daß sich die Lösung ändert.

slide108

Beispiel

Ausgangstableau

x1 x2 x3 x4 x5 x6 b

y1 0 1 1 0 0 0 5

y2 1 0 0 1 0 0 7

y3 1 1 0 0 1 0 10

y4 -1 -2 0 0 0 1 -4

Z -2 -1 0 0 0 0 0

slide109

Endtableau

x1 x2 x3 x4 x5 x6 b

y1 0 0 1 1 -1 0 2

y4 0 0 0 -1 2 1 9

x2 0 1 0 -1 1 0 3

x1 1 0 0 1 0 0 7

Z 0 0 0 1 1 0 17

slide110

Sensitivität der Zielfunktion:

Variable 1 : In der Zeile x1 sind nur zwei posi-

tive Werte; es gibt nur eine Untergrenze :

max (-1 : 1) = -1. Der Zielfunktionswert der

Variablen 1 darf um 1 nach unten schwanken,

bevor sich die Lösung ändert; nach oben gibt

es keine Beschränkung.

Variable 2: Hier gibt es eine Unter- und eine

Obergrenze: Sie kann um 1 nach unten und

oben schwanken, d.h. zwischen 0 und 2, bis

sich etwas ändert.

slide111

Für die Beschränkungen gilt:

Die erste Beschränkung hat noch eine Rest-

kapazität von 2; wenn die Ausgangsbeschrän-

kung von 5 um diesen Wert unterschritten

wird, d.h. 3 unterschreitet, verändert sich die

Lösung. Nach oben gibt es keine Beschränkung.

Die zweite Beschränkung ist ausgeschöpft; es ist

max ( -2:1; -7:1) </= p </= min (-9: -1; -3:-1)

-2 </= p </= 3

Die Beschränkung 2 kann um 2 nach unten und

um 3 nach oben, d.h von 5 bis 10 schwanken.

slide112

6. Dualität

Hier erfolgt eine Veränderung der Gliederung,

weil die parametrische Programmierung nur

auf dem Hintergrund der Dualität erläutert

werden kann.

Der Grundgedanke des Dualitätstheorems:

Zu jedem (primalen) linearen Planungsproblem

gibt es ein duales Problem; dabei wird die

Koeffizientenmatrix gestürzt und die Zielfunktion

des primalen Problems wird zu der RHS des

dualen und die RHS des primalen zur Zielfunktion

der dualen mit Gegentendenz (Min statt Max !)

slide113

Wenn das primale Problem eine optimale

Lösung hat, besitzt auch das duale Problem

eine. Es gilt :

Z max = f min.

Wenn das primale Problem keine endliche

optimale Lösung hat, besitzt die duale Lösung

keine zulässige Lösung.

slide114

Beispiel:

Primalproblem Dualproblem

2x1 + 4 x2 </= 20 2 y1 + y3 >/= -2

x2 >/= 2 4 y1 - y2 - 4y3 >/= -1

- x1 + 4 x2 >/= 12

-2x1 - x2 ---> Max! 20 y1 - 2y2 -12 y3 --->Min!

Das Primalproblem hat eine unzulässige

Ausgangslösung;

die größer-gleich Bedingungen werden mit - 1

multipliziert. Das ergibt folgende Tableaus:

slide115

Primalproblem

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 2 4 1 0 0 20

y2 0 -1 0 1 0 -2

y3 1 -4 0 0 1 -12

Z 2 1 0 0 0 0

Diese Lösung wäre optimal, ist aber wegen der

negativen Werte in der b-Spalte unzulässig. Es

wird -12/-4 als Pivot-Element gewählt.

slide116

Dualproblem

y1 y2 y3 x1 x2 b

x1 -2 0 -1 1 0 2

x2 -4 1 4 0 1 1

ZD 20 -2 -12 0 0 0

Diese Lösung ist zulässig, aber nicht optimal.

Es wird weiter iteriert. Es wird für die SUA (-12)

das Pivot-Element 1/4 bestimmt.

slide117

Lösung Primalproblem

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 3 0 1 0 1 8

y2 -1/4 0 0 1 -1/4 1

x2 -1/4 1 0 0 -1/4 3

Z 9/4 0 0 0 1/4 -3

slide118

Lösung Dualproblem

y1 y2 y3 x1 x2 b

x1 -3 1/4 0 1 1/4 9/4

y3 -1 1/4 1 0 1/4 1/4

ZD 8 1 0 0 3 3

Auf dieser Dualitätsbeziehung beruht auch das

Vorgehen bei Vorliegen unzulässiger Ausgangs-

lösungen ohne Einführen weiterer Hilfsvari-

ablen (M-Methode).

slide119

Vor allem bei nichtquadratischen Problemen,

z.B. bei 2 Variablen und 4 Nebenbedingungen

kann die Anwendung der dualen Methode, d.h.

die Lösung des dualen Problems statt des

primalen, die Zahl der Rechenschritte deutlich

verkürzen.

slide120

Parametrische Optimierung

Hier gibt es mehrere Varianten: Man kann

skalarparametrisch oder vektorparametrisch

optimieren; im zweiten Fall können unterschied-

liche Veränderungen gleichzeitig vorgenommen

werden, was aber sehr aufwendig ist. Hier

werden nur skalarparametrische Optimierungen

betrachtet, bei denen eine oder mehrere Restrik-

tionen oder die Zielfunktionen mit dem gleichen

Parameter p modifiziert werden.

slide121

Bezugsbeispiel (Müller-Merbach, S. 106 ff.)

Ausgangstableau

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 1 2 1 0 0 170

y2 1 1 0 1 0 150

y3 0 3 0 0 1 180

Z -300 -500 0 0 0 -36000

slide122

Endtableau

x1 x2 y1 y2 y3 b

x2 0 1 1 -1 0 20

x1 1 0 -1 2 0 130

y3 0 0 -3 3 1 120

Z 0 0 200 100 0 13000

Hier soll nun die Beschränkung y2 von 40 bis

150 variiert werden. Die Sensibilitätsanalyse

ergibt, daß bis zu einer Reduktion auf y2 = 110

die Lösung stabil ist. (max -130/2;-120/3) = 40

slide123

Es ergibt sich nun eine optimale Lösung von

x1 x2 y1 y2 y3 b

x2 0 1 1 -1 0 60

x1 1 0 -1 2 0 50

y3 0 0 -3 3 1 0

Z 0 0 200 100 0 9000

Eine weitere Reduktion von y2 ist nur möglich,

wenn y3 in die Lösung kommt. Dafür scheidet

x1 aus (x1 = 0). y2 sinkt auf 60.

slide124

Das modifizierte Tableau lautet

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 0 0 1 -1 -1/3 50

x1 1 0 0 1 -1/3 0

x2 0 1 0 0 1/3 60

Z 0 0 0 300 200/3 -6000

Eine weitere Reduktion von y2 auf 40 geht nur,

wenn x1 aus der Lösung ausscheidet und x2

reduziert wird.

slide125

Es ergibt sich:

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 -1 0 1 -2 0 90

x2 1 1 0 1 0 40

y3 -3 0 0 -3 1 60

Z 200 0 0 500 0 -16000

Man sieht im Vergleich der Lösungen, wie sich

in jedem Reduktionsschritt die Lösungs- und

Zielfunktionswerte, d.h. Primal- und Dualwerte

ändern.

slide126

5. Mehrzielprobleme

Grundprobleme

Probleme multipersonaler Entscheidungen

- Zieldifferenzen

= Koordination von Zielen

= Legitimation von Zielen

= Rationalität von Kollektivzielen

- Informationsdifferenzen

- Gleichzeitiges Auftreten von Ziel- und

Informationsdifferenzen

slide127

Triviale oder perfekte Lösung

Alle Ziele erreichen ihre Optimalausprägung

in der gleichen Ecke des Beschränkungs-

raums.

Eine solche Lösung ist nur selten zu finden.

Im allgemeinen werden Kompromisse nötig

sein.

Phase 1: Kompromißfindung für einstufige

Probleme

Phase 2: Kompromißfindung für LP-Probleme

slide128

Probleme der materiellen Zusammenführung

von mehreren Zielen

1. Die jeweils verfügbaren Alternativen be-

stimmen den Lösungsraum (nicht die

Wunschvorstellung des ET !)

Beispiel: Alternativen P,H,S 

P schlecht 1,- 0 100 100

H sehr mäßig 1,20 50 60 110

S mäßig 1,50 100 0 100

slide129

Im Beispiel tritt die Alternative K hinzu:

K sehr gut 2,-

Neue Bewertungsmatrix

P 0 100 100

H 30 80 110

S 40 50 90

K 100 0 100

slide130

2. Punktezuordnung zu Kriterien

Wenn die Kriterien gleichgewichtet sein sollen,

muß die Höchstpunktzahl gleich sein, nicht die

Summe der vergebenen Punkte.

Beispiel:

K1 K2 HPZ PunktSum

A1 sehr gut schlecht 100 25

A2 schlecht sehr gut 100 100

A3 sehr gut schlecht 100 25

A4 sehr gut schlecht 100 25

A5 sehr gut schlecht 100 25

slide131

3. Nichtlineare Präferenzen

Die Linearität der Nutzenzuordnung zur Aus-

prägung der Kriterien ist nicht immer gegeben.

Beispiel:

Dezibel (db) ist eine Meßzahl, bei der 3 Ein-

heiten Differenz die Verdoppelung der Geräusch-

empfindung ausdrücken. Die Funktion muß

umgerechnet werden, z.B.

db 68 69 70 71 72 73 74 75 76

% 10 12 15 20 24 31 40 48 63

slide132

Wir kaufen ein Auto :

5 Alternativen, 6 Kriterien

K1 K2 K3 K4 K5 K6

max min min min max blau

A1 160 10 30000 70 gut grün

A2 170 11 32000 72 sehr gut blau

A3 150 9 25000 74 mäßig rot

A4 180 11 35000 68 gut gelb

A5 190 13 34000 76 sehr gut schwarz

slide133

Rangplatzverfahren für das Beispiel

K1 K2 K3 K4 K5 K6 

A1 4 2 2 2 3,5 3,5 17

A2 3 3,5 3 3 1,5 1 15

A3 5 1 1 4 5 3,5 19,5

A4 2 3,5 5 1 3,5 3,5 18,5

A5 1 5 4 5 1,5 3,5 20

slide134

Rangziffernverfahren (Punktebewertung)

Das Schlechteste erhält 0, das Beste 100 Pkt.

K1 K2 K3 K4 K5 K6

A1 25 75 50 89 50 0 289

A2 50 50 30 71 100 100 401

A3 0 100 100 43 0 0 243

A4 75 50 0 100 50 0 275

A5 100 0 10 0 100 0 210

slide135

Es gibt im wesentlichen zwei Erscheinungs-

formen von Mehrzielproblemen:

- Eine gegebene Entscheidungsmatrix mit

mehreren Alternativen mit gegebenen Ausprä-

gungen für mehrere Kriterien

- Ein lineares Entscheidungsproblem mit

mehreren Zielen, bei dem ein Raum konfliktärer

Ziele ermittelt wird

Beide Formen können von Unsicherheit, Dyna-

mik, Fuzziness und Rationaler Indeterminiert-

heit überlagert werden.

slide136

Mehrzielprogrammierung

Es folgen zwei Beispiele zur Mehrziel-

Programmierung

1. 2 Variable, 3 Nebenbedingungen, 2 Ziele

2. 6 Variable, 8 Nebenbedingungen, 7 Ziele

slide137

Beispiel 1

4x1 + x2 ---> Max

x2 ---> Max

2x1 + x2 </= 20

5/6 x1 + x2 </= 10

x1 + x2 >/= 5

( x2 >/= 6)

slide138

x1 x2 y1 y2 y3y4 b

y1 2 1 1 0 0 20

y2 5/6 1 0 1 0 10

y3 -1 -1 0 0 1 -5

y4 0 1 0 0 0 1 6

z1 -4 -1 0 0 0 0

z2 0 -1 0 0 0 0

z1+z2 -4 -2 0 0 0 0

slide139

Erster Zwischenschritt zur Erzeugung

einer zulässigen Lösung

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 0 -1 1 0 2 10

y2 0 1/6 0 1 5/6 35/6

x1 1 1 0 0 -1 5

z1 0 3 0 0 -4 20

z2 0 -1 0 0 0 0

z1+z2 0 2 0 0 -4 20

slide140

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 1 1/2 1/2 0 0 10

y2 0 7/12 -5/12 1 0 10/6

y3 0 -1/2 1/2 0 1 5

z1 0 1 2 0 0 40

z2 0 -1 0 0 0 0

z1+z2 0 0 2 0 0 40

slide141

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 1 0 6/7 -6/7 0 60/7

y2 0 1 -5/7 12/7 0 20/7

y3 0 0 1/7 6/7 1 45/7

z1 0 0 19/7 -12/70 260/7

z2 0 0 -5/7 12/7 0 20/7

z1+z2 0 0 2 0 0 40

slide142

x1 x2 y1 y2 y3 b

y1 7/6 0 1 -1 0 10

y2 5/6 1 0 1 0 10

y3 -1/6 0 0 1 1 5

z1 -19/6 0 0 1 0 10

z2 5/6 0 0 1 0 10

z1+z2 -14/6 0 0 2 0 20

slide143

Lösungen:

z1 max: x1=10 x2=0 z1=40 z1+z2=40

z 2 max: x1=0 x2=10 z1=10 z1+z2=20 z2=10

z1 und z2 max:2 Lösungen

a) x1=10 x2=0 z1=40 z2= 0 z1+z2=40

b) x1=60/7 x2= 20/7 z1=260/7 z2=20/7 z1+z2= 40

slide144

Kompromißfindung:

Idealziel: z1=40 z2=10 (beide max)

Einführung einer zusätzlichen NB:

x2 6 für z1 max

Lösung: x1=4,82 x2=6 z1=25,27

z1 ist 63,2% vom Idealziel (bei absoluter

Betrachtung, relativ = 50%)

z2 ist 60% vom Idealziel

slide145

Iterativ x2 anheben bei:

x1=4,58 x2 6,2 z1=24,51

ergeben sich Unterschiede der relativen

Zielerreichung unter 1%Abbruch der Rechnung

Statt des relativen Abstandes zum Idealziel

könnte man auch ein Gleichgewicht zwischen

beiden Variablen x1,x2 anstreben und über

Nebenbedingungen einführen. Das ist aber

nicht zielkonform.

slide146

Eine Unternehmung kann 6 verschiedene Produkte A, B, C, D, E und F produzieren. Von jeden Produkt können max. 200 Stück verkauft werden; die Preise und variablen Kosten gestalten sich wie folgt:

A B C D E F

p 80 100 120 140 160 180

kv 30 40 60 70 90 100

slide147

Es wird auf 3 Maschinen gefertigt, deren Kapazitätverbrauch und Kapazität wie folgt auszudrücken ist:

A B C D E F Kap

M1 5 4 6 10 7 20 2000

M2 2 6 5 7 15 10 2400

M3 10 5 12 14 5 8 3000

slide148

Bei der Produktion werden 2 Schadstoffe s1,s2 freigesetzt, sowie 3 knappe Ressourcen R1,R2,R3 verbraucht, deren Ausstoß bzw. Verbrauch minimiert werden soll. Diese Faktoren lauten wie folgt:

A B C D E F

S1 3 4 5 6 7 8

s2 4 2 6 3 8 1

R1 4 3 5 7 2 4

R2 8 4 6 2 7 5

R3 6 9 3 4 5 8

slide149

Die Firma strebt nach Max. von Umsatz und Gewinn sowie nach min. Umweltbelastung und -inanspruchnahme. Für die rechnerische Lösung werden die Umweltfaktoren willkürlich Emissionsobergrenzen auferlegt.

s12000 s2 1000 R12000 R23000 R33000

Dann wird das Problem rechnerisch für Gmax und Umax gelöst. Es ergeben sich 2 Lösungen

slide150

Gmax: xa=96 xb=200 xd=72 xc,e,f=0

Gmax=21840 U=37760

S1=1520 S2=1000 R1=1488 R2=1712 R3=2664

Umax: xb=200 Xd=90,72 xe=35,01 xc=7,96

xa,f=0

G=21278 Umax=39257,29

S1=1629,18 S2=1000

R1=1344,83 R2=1274,27 R3=2361,8

slide151

Für die Berechnung der Minimierungslösungen für S1, S2, R1, R2, R3 benötigt man Mindestwerte für Umsatz und Gewinn. Hier werden ausgehend von den jeweiligen Minima Abschläge von ca.25% Gewinn und 33%Umsatz gemacht.

U 25000 G 15000 Es ergeben sich folgende Lösungen:

S1min:xa=200 xb=90 xc,d,e,f=0

G=15400 U=25000 S1=960 S2=980 R1=1070

R2=1960 R3=2010

slide152

S2 min: xb=159 xf=68 xa,c,d,e=0

G=15000 U=28181 S1=1182 S2=386

R1=750 R2=977 R3=1977

R1min: xb=72 xe=101 xf=45 Xa,c,d=0

G=15000 U=31473 S1=1355 S2=598

R1=1406 R2=500 R3=1031

R2min: xc=31 xd=188 Xa,b,e,f=0

G=15000 U=29375 S1=1250 S2=625

R1=1406 R2=500 R3=1031

slide153

R3min: xc=104 xd=125 Xa,b,e,f=0

G=15000 U=30000 S1=1271 S2=1000

R1=1396 R2=875 R3=813

Jedes Optimum hat eine andere Lösungsmenge und -soweit nicht durch NB erzeugt- andere Werte für ihre Zielgrößen. Es ergibt sich folgende Ideallösung:

G=21840 U=39257

S1=960 S2=386 R1=598 R2=500 R3=813

slide154

Alle 7 Teiloptima sind effiziente Lösungen:

G U S1 S2 R1 R2 R3

Gmax 21840 37760 1520 1000 1488 1712 2664

Umax 21278 39257 1629 1000 1345 1274 2362

S1min15400 25000 960 980 1070 1960 2010

S2min15000 28181 1182 386 750 977 1977

R1min 15000 31473 1355 1000 598 1222 1514

R2min 15000 29375 1250 625 1406 500 1031

R3 min 15000 30000 1271 1000 1396 875 813

slide155

Lösungsansatz für einen Kompromiß, relative Erreichung des Idealziels in %:

G U S1 S2 R1 R2 R3 Summe

Gmax 100 89 16 0 0 17 0 223

Umax 92 100 0 0 16 47 16 271

S1min 6 0 100 3 47 0 35 191

S2min 0 22 67 100 83 67 37 376

R1min 0 45 41 0 100 51 62 299

R2min 0 31 57 61 9 100 88 346

R3 min 0 35 54 0 10 74 100 273

slide156

Im Durchschnitt am günstigsten liegen die Lösungen von S2 min mit einer durchschnittlichen Zielerreichung von 54% bis 55%. Die Ursache für die O-Werte für G, U, S2 und R1 liegt aber in der willkürlichen Setzung der Grenzwerte. Dabei sind besonders die Größen G und S2 Engpässe, in zwei Fällen sogar simultan. Hier könnte man die Opportunitätsgrößen abrufen, um den „trade-off“ zwischen den Werten zu bestimmen, oder man müßte Lösungen für einen Grenzwert G 0 und für S2 nahe unendlich ermitteln, um dann die relative Bedeutung der Lösungen festzulegen.

slide157

Im vorliegenden Beispiel sind die Werte für

S2 min recht gut, wenn man berücksichtigt,

daß der Gewinn, der hier mit 0 bewertet ist,

ja bereits mit der Mindestfestlegung auf 75%

des absoluten Maximums gut bedient ist.

Es wäre zu prüfen, ob es eine Lösung gibt,

die bei Festlegung von Nebenbedingungen

mit 60 - 65 % der Ausgangswerte eine

zulässige Lösung erzeugt.

slide158

Arbeitsschritte für das Mehrziel-

programmieren

- Erstellen aller "technischen" Nebenbe-

dingungen

- Erstellen aller Zielfunktionen

- Einsetzen der Zielfunktionen als zusätz-

liche Nebenbedingungen mit "offenen"

Restriktionen

-

- Durchrechnen für alle Einzeloptima

slide159

- Überprüfen der Lösungswerte im

Ausgangsproblem

- Abschätzung von Konfliktbereichen

= Wie weit liegen Lösungen auseinander

= Gibt es eine "ausgezeichnete" Lösung ?

= Ist die Punktesumme oder der kleinste

relative Abstand aller Ziele das

geeignete Maß an "Gerechtigkeit" ?

slide160

- Bewertung der Einzeloptima in Prozent-

punkte und Wahl der Punktesumme

(Problem der Gerechtigkeit)

- Minimierung des Abstandes der Ergebnisse

vom Idealziel für alle Zielfunktionen

(für zwei Zielfunktionen gut darstellbar, bei

drei und mehr sehr konfliktären Zielfunktionen

z.T. nicht ermittelbar; noch kein Algorithmus

verfügbar)

slide161

Ergänzung

Bei der Suche nach einem Kompromiß, z.B.

zwischen den sieben Zielvariablen gibt es

zwei Möglichkeiten:

- In Anlehnung an die Rangziffernmethode

die Summe der relativen Abstände zum

Ideal zu minimieren; das ist eine "Gesamt-

lösung" , aber kein individueller Kompromiß

- Bestimme den geometrischen Ort des

gleichen relativen Abstands vom Ideal; bei

2 Zielen ein Punkt, bei 3 Zielen eine Gerade,...

das ist der "echte" Kompromiß

slide162

Die Möglichkeiten der Kompromißfindung

bei mehreren Zielen :

- Addition der Zielfunktionen

(bringt verdeckte Gewichtung)

- Addition normierter Zielfunktionen

(Problem unterschiedlicher Vorzeichen der

Zielvariablen und der Summe der Zielvari-

ablen; führt häufig nur zu einer Ecke, kann

aber einen Kompromiß aufzeigen)

- Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen

aus den Zielfunktionen

(aufwendig, Höhe der Beschränkung willkürl.)

slide163

- Bewertung der Einzeloptima in Prozent-

punkte und Wahl der Punktesumme

(Problem der Gerechtigkeit)

- Minimierung des Abstandes der Ergebnisse

vom Idealziel für alle Zielfunktionen

(für zwei Zielfunktionen gut darstellbar, bei

drei und mehr sehr konfliktären Zielfunktionen

z.T. nicht ermittelbar; noch kein Algorithmus

verfügbar)

slide164

Bei der Frage nach der Rationalität eines Kom-

promisses steht zuerst die der Konfliktaus-

tragung an (-> Orga II) (Rationalität und Ethik).

Wenn man sich für die Austragungsform

“Kompromiß” entschieden hat, sind drei

Aspekte zu beachten:

- Effizienz

- Gerechtigkeit

- Solidarität

slide165

- Die Anforderung der Effizienz bedeutet, daß

kein Beteiligter “unnötig” schlechter gestellt

wird (Pareto- Optimalität)

- Die Anforderung der Gerechtigkeit verlangt,

daß die inhaltliche Lösung und das Verfahren

fair sind, d.h. von allen als fair empfunden

werden.(Lit.: Rawls,J., Eine Theorie der

Gerechtigkeit, Frankfurt/M. 1979)

- Solidarität verlangt von allen Beteiligten, daß

sie die Interessen der Unternehmung und der

anderen Beteiligten berücksichtigen

slide166

Für die Berücksichtigung dieser Anforderungen

kommen in den typischen Fällen verschiedene

Hilfs-Zielfunktionen zum Tragen:

- Maximierung der Gesamtzielerreichung, z.B.

die Summe der Punkte

- Minimierung der relativen Abweichung vom

Einzelideal für alle Ziele mit gleicher Abwei-

chungsverteilung

- Minimierung der absoluten Abweichungen vom

Einzelideal für alle Ziele

slide167

Probleme der Kompromißregeln:

- Legitimation unterschiedlicher Abweichungen

- Ausprägungsabhängige Präferenz

- Bedeutung der relativen Abweichung bei

unterschiedlich hohen Ausprägungen

- Verhältnis von Gerechtigkeit und Solidarität

- Kommunikation der Präferenzen und ihrer

Änderungen über den Lösungsraum

- Inkonsistenz von Präferenzen

slide168

Ein weiteres Beispiel:

Eine Firma stellt zwei Produkte her;

von Produkt 1 müssen mindestens 20 und

höchstens 180 , von Produkt 2 höchstens 250

hergestellt werden. Es bestehen zwei Produk-

tionsbeschränkungen; die Koeffizienten lauten

für Produkt 1 : 2 für B1 und -10 für B2 und

für Produkt 2 : 3 für B1 und 10 für B2.

Die Beschränkung B1 beträgt 900, B2 ist 1400.

Die Preise betragen 100,- DM pro Stück, die

variablen Kosten p1 = 30 und p2 = 200 DM/St.

Die Produkte verursachen Schadstoff von 4 kg

je Stück (P1) und 2 kg (P2).

slide170

Wie verändert sich der Ansatz , wenn Schad-

stoffminimierung als weiteres Ziel hinzutritt ?

Lösungswerte:

Gmax : x1 = 180, X2 =0, U 18000 G12600 S 720

Smin : x1= 20, x2 = 0, U = 2000 G = 1400 S 80

Umax: x1 = 180,x2 = 180, U= 36000 G = -5400

S = 1080

slide171

X1 x2 y1 y2 y3 y4 y5 b

y1 -1 0 1 0 0 0 0 -20

y2 1 0 0 1 0 0 0 180

y3 0 1 0 0 1 0 0 250

y4 2 3 0 0 0 1 0 900

y5 -10 10 0 0 0 0 1 1400

U -100 -100 0 0 0 0 0 0

G -70 100 0 0 0 0 0 0

S 4 2 0 0 0 0 0 0

slide173

Ein Netzwerk wird durch Knoten und Kanten

bestimmt

2

C

4

A

1

D

B

3

Gerichteter Graph der Aktivitäten A,B,C,D

slide174

Die Elemente eines Netzes können durch

Aktivitäten oder Ereignisse beschrieben

werden.

Im allgemeinen werden Aktivitäten durch

Kanten und Ereignisse durch Knoten

abgebildet, es gibt aber auch Verfahren,

in denen Aktivitäten durch Knoten abgebildet

werden.

Den Aktivitäten werden Zeiten (Zeit pro Akti-

vität), den Ereignissen Zeitpunkte zugeordnet.

slide175

Für die Aktivitäten im Beispiel gilt folgende

Beziehung:

A (muß) vor C (fertig sein)

B vor D

Regeln:

Ein Pfeil geht immer von einem Knoten mit

einer niedrigen Ordnungszahl zu einem

mit einer höheren.

Zwei Pfeile können nicht den gleichen

Anfangs- und Endpunkt haben.

slide176

Modifikation des Beispiels:

A und B vor C

C

3

A

4

1

B

2

D

Die Numerierung der Knoten muß verändert

werden. Die Aktivität 2 - 3 wird als Schein-

aktivität bezeichnet.

slide177

Den Aktivitäten werden Zeiten zugeordnet.

A 7, B 9, C 6, D2.

Gesamtdauer des “Projekts A - D” bei der

ersten Fassung :

Max ( A + C, D + B ) = 13

Gesamtdauer bei der zweiten Fassung:

Max ( A + C, B + C, B + D) = 15

Der kritische Weg ist hier 1, 2, 3, 4.

slide178

Netzplantechnik - Beispiel

Aktivitäten Vorrang Dauer

A vor D 6

B vor E,F,J 5

C vor H und L 5

D vor I 3

E vor I 6

F vor K 4

H vor K 5

I vor M 4

J vor M 7

K 3

L vor N 6

M 4

N 4

slide179

D,3

A,6

I,4

E,6

B,5

J,7

M,4

F,4

K,3

C,5

H,5

N,4

L,6

slide180

D,3

1

A,6

I,4

4

E,6

B,5

J,7

0

2

M,4

7

F,4

K,3

8

C,5

5

H,5

3

N,4

L,6

6

slide181

Termine und kritischer Weg

Knoten FMS SEZ Puffer

0 0 0 0

1 6 8 2

2 5 5 0

3 5 9 4

4 11 11 0

5 10 16 6

6 11 15 4

7 15 15 0

8 19 19 0

Kritischer Weg : 0 - 2 - 4 - 7 - 8/ B,E,I,M. Dauer 19

slide182

Netzplanverkürzung - Kelley-Algorithmus

Verkürzungsmöglichkeiten

Aktivität Verkürzung Kosten

A von 6 auf 4 je 500

B von 5 auf 4 1000

H von 5 auf 3 je 200

I von 4 auf 3 3000

K von 3 auf 2 2000

M von 4 auf 3 4000

slide183

Verkürzungsschritte

Nur auf dem kritischen Weg (0 - 2 - 4- 7 - 8)

1. Schritt : B von 5 auf 4 1000

2. Schritt : I von 4 auf 3 + 3000

3. Schritt : M von 4 auf 3 + 4000

Mehr geht nicht; ein anderer Weg ist nicht

kritisch geworden.

Crash Time 16 bei 8000 Kosten.

slide184

Weiteres Beispiel als Word Programme

Semester-OR-Klausur 2003 und SemORnetzplan

slide185

4.4 Tourenplanung

Tourenplanung kann in verschiedenen Formen

geschehen: Als Linienplan, Fahrplan oder mit

der Planung einzelner Touren von einem oder

mehreren Zentrallägern.

Betrachtet wird der Fall mit einem Zentrallager

und vorgegebenen Liefermengen. Die Orte

sind durch ihre Koordinaten gegeben; die

geometrische Entfernung wird über den Satz

des Pythagoras ermittelt. Sie muß für reale

Strecken um einen Faktor 1,2 bis 1,4 korrigiert

werden.

slide186

Die Koordinaten seien zum Beispiel:

Punkt 1 : 60/60 Punkt 2 : 50/70 Punkt 3: 70/90

... ZL: 20/100

14 33 ... 57

28 ... 42

... 51

slide187

nach 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ZL

von

1 14 33 11 32 14 15 45 22 36 57

2 - 28 21 41 10 18 54 28 28 42

3 - - 20 5 40 32 18 25 62 51

4 - - - 21 21 14 34 15 43 52

5 - - - - 40 30 14 22 61 36

6 - - - - - 11 51 22 22 73

7 - - - - - - 40 11 30 65

8 - - - - - - - 30 70 36

9 - - - - - - - - 40 58

10 - - - - - - - - - 95

slide188

Weitere Randbedingungen

- Räumliche Barrieren

- Fahrzeit und Geschwindigkeit

- Ladezeiten

- Zeitfenster

- Teillieferungen (möglich oder unmöglich)

- Mehrere Lager

slide189

Beispiel

Standortkoordinaten

A: 30/30 B: 60/50 C: 40/80 D: 20/120

E: 70/140 F: 90/150 G: 120/145 H: 140/100

I: 130/70 K: 110/40 Z: 90/90

Transportmengen

A: 8t B: 6t C: 5t D: 7t E: 9t F: 4t G:6t

H: 8t I: 5t K: 7t

Kapazität: 4 LKW à 18t

slide190

Entfernungstabelle

nach B C D E F G H I K Z

von

A 36 51 91 117 134 146 130 108 81 85

B - 36 81 91 104 112 94 73 51 50

C - - 45 67 86 103 102 91 81 51

D - - - 54 76 103 122 121 120 76

E - - - - 22 50 81 92 108 54

F - - - - - 30 71 89 112 60

G - - - - - - 49 76 105 63

H - - - - - - - 32 67 51

I - - - - - - - - 36 45

K - - - - - - - - - 54

slide191

Tourenplanung

Savingsmethode

Ausgangspunkt sind lauter einzelne Pendel-

touren. Die Tour mit der höchsten Lademenge

wird mit der oder den Touren, die die größte

Ersparnis (Savings) bringen, aufgefüllt.

Die Savings ergeben sich aus

D(ZL/P1)+D(ZL/P2)- D(P1/P2)

Sie werden in einer Savingsmatrix

ausgewiesen.

slide192

Savingsmatrix

B C D E F G H I K

A 99 85 70 22 11 2 6 22 58

B - 65 45 13 6 1 7 22 53

C - - 82 38 25 11 0 5 24

D - - - 76 60 36 5 0 10

E - - - - 92 67 24 7 0

F - - - - - 93 40 16 2

G - - - - - - 65 32 12

H - - - - - - - 64 38

I - - - - - - - - 63

slide193

1. Z - E - Z; 9t; 108 km

2. Z - E - F - Z;13t; 54 + 22 + 60 = 136 km

(Ersparnis 228 -136 = 92 km)

3. Es passen mengenmäßig nur noch C oder I

Z - E - F - I - Z; 18t;54+22+89+45=210km

Z - C - E - F - Z;18t; 51+67+22+60 =200km. (!)

slide194

4. Z - A - Z; 8t;170 km

Z - A - B - Z; 14t;171 km; Ersparnis 99km;

Kapazität erschöpft

5. Z - H - Z; 8t; 102 km

Z - H - I - Z; 13t;128 km ; Ersparnis 64 km oder

zur besseren Mengenauslastung

Z - H - K - Z; 15 t; 172 km; Ersparnis 38 km

6. Z - D - G - Z; 13 t; 242 km; Ersparnis 36 km

Z - D - G - I - Z; 18 t; 300 km, wenn bei 5. die

zweite Alternative gewählt wurde, sonst

7. Z - K - Z; 7t 108 km

slide195

Gesamtstrecke

I II

Z-C-E-F-Z 200km 200km

Z-A-B-Z 171km 171km

Z-H-I-Z 128km Z-H-K-Z 172km

Z-D-G-Z 242km Z-D-G-I-Z 300km

Z-K-Z 108km

_______ _______

Summe 849km 843km

Summe Pendeltouren 1178km

slide196

Eine dritte Variante wäre

1. Z - C - E - F - Z 200km

2. Z - A - B - Z 171km

3. Z - H - G - Z 163km

4. Z - K - I - Z 135km

5. Z - D - Z 152km

_______

Summe 821 km

Das ist deutlich besser als I und II

slide197

Sweepmethode

Es werden im Uhrzeigersinn, bei 12 begin-

nend, Touren gebildet, bis die Kapazitäts-

grenze erreicht ist.

1. F-G-H;18t;190 km

2. I-K-B ; 18t;182 km

3. A-C;13t;187 km

4. D-E;16t;184 km

Summe 743 km

slide198

Jetzt wird bei G gestartet

1. G-H; 14t; 163 km

2. I-K-B; 18t; 182 km

3. A-C; 13t;187 km

4. D-E; 16t; 184 km

5. F;4t;120 km Summe 836 km

slide199

Jetzt wird bei H gestartet

1. H-I; 13t; 128 km

2. K-B;13t; 155 km

3. A-C; 13t; 187km

4. D-E; 16t; 184 km

5. F-G; 10 t; 153 km Summe 807 km

Als nächstes würde bei I gestartet. Das ergibt

aber den zweiten Plan. 743 km ist die nach

diesem Verfahren günstigste Lösung.

slide200

Verfahrensvergleich

Es gibt keine eindeutige Überlegenheit eines

Verfahrens. Umfangreiche Erfahrungen

haben ergeben, daß die Sweepmethode gut

geeignet ist, wenn das Lager zentral liegt

und das Verhältnis der Zahl der Touren zur

Zahl der anzufahrenden Stellen recht klein,

etwa <2 ist. Bei dem Depot in Randlage und

vielen Stellen pro Tour ist die Savings-

methode besser.