GRAPH

1. GRAPH • Graph digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antar obyek-obyek tersebut. • Representasi visual dinyatakan sebagai noktah, bulatan atau titik, sedangkan hubungan antara obyek dinyatakan dengan garis

2. Contoh 1 :

3. Contoh 2

4. Contoh 3

5. GRAPH • Graph adalah kumpulan dari simpul dan busur yang secara matematis dinyatakan sebagai : • G = (V, E) • Dimana • G = Graph • V = Simpul atau Vertex, atau Node, atau Titik • E = Busur atau Edge, atau arc

6. vertex v2 B V terdiri dari v1, v2, …, v5 E terdiri dari e1, e2, … , e7 Contoh graph : e1 e4 e3 v1 A C edge v3 e2 e5 e7 D E v4 e6 v5 Undirected graph

7. Sebuah graph mungkin hanya terdiri dari satu simpul • Sebuah graph belum tentu semua simpulnya terhubung dengan busur • Sebuah graph mungkin mempunyai simpul yang tak terhubung dengan simpul yang lain • Sebuah graph mungkin semua simpulnya saling berhubungan

8. Graf Sederhana Simple graphs do not have loops or multiple arcs between pairs of nodes. Most networks in D1 are Simple graphs.

9. A subgraph Dapat dibentuk dengan membuang garis atau titik dari grafik lain Subgraph Graph

10. A bipartite graphadalah grafik dimana ada 2 set node. Tidak ada busur dalam salah satu set node.

11. A complete bipartite graph adalah grafik bipartit di mana setiap node dalam satu set terhubung ke setiap node pada set lain

12. v2 v2 B B e9 e8 Graph Berarah dan Graph Tak Berarah : e1 e3 e3 e1 e4 e4 v3 v1 A C A C v1 v3 e10 e2 e2 e5 e7 e5 e7 D E D E v4 e6 v5 e6 v5 v4 Directed graph Undirected graph Dapat dilihat dari bentuk busur yang artinya urutan penyebutan pasangan 2 simpul.

13. Graph tak berarah (undirected graph atau non-directed graph) : • Urutan simpul dalam sebuah busur tidak dipentingkan. Mis busur e1 dapat disebut busur AB atau BA • Graph berarah (directed graph) : • Urutan simpul mempunyai arti. Mis busur AB adalah e1 sedangkan busur BA adalah e8.

14. Jenis-Jenis Graph 1. Graf TidakBerarah (Undirected Graph ) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah. Pada graf tak – berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak di perhatikan. Jadi (u,v) = (v,u) adalah sisi yang sama.

15. Graf Berarah (Directed Graph = Digraph) Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Sisi berarah disebut sebagai arch (busur). Pada graf berarah, (u,v) dan (v,u) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Untuk simpul (u,v), simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v disebut sebagai Simpul Terminal.

16. Contoh soal: Gambarlah sebuah graf sederhana yang dapat di bentuk dari 4 titik {a, b, c, d} dan 2 garis. Penyelesaian : Sebuah garis dalam graf sederhana selalu berhubungan dengan 2 titik. Oleh karena ada 4 titik, maka ada C(4,2) = 6 garis yang mungkin di buat. Yaitu garis – garis dengan titik ujung {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}.

17. Dari keenam garis yang mungkin tersebut, selanjutnya dipilih 2 garis diantaranya. Jadi ada C(6,2) = 15 buah graf yang mungkin di bentuk dari 4 buah titik dan 2 buah garis.

19. Graph Berbobot (Weighted Graph) • Jika setiap busur mempunyai nilai yang menyatakan hubungan antara 2 buah simpul, maka busur tersebut dinyatakan memiliki bobot. • Bobot sebuah busur dapat menyatakan panjang sebuah jalan dari 2 buah titik, jumlah rata-rata kendaraan perhari yang melalui sebuah jalan, dll.

20. v2 v2 B B 7 4 Graph Berbobot : 3 5 3 5 12 v3 v1 12 A C A C v1 v3 10 4 e2 6 8 6 8 D E D E v4 3 v5 3 v5 v4 Directed graph Undirected graph Panjang busur (atau bobot) mungkin tidak digambarkan secara panjang yang proposional dengan bobotnya. Misal bobot 5 digambarkan lebih panjang dari 7.

21. Istilah pada graph Incident Jika e merupakan busur dengan simpul-simpulnya adalah v dan w yang ditulis e=(v,w), maka v dan w disebut “terletak” pada e, dan e disebut incident dengan v dan w. Degree (derajat), indegree dan outdegree Degree sebuah simpul adalah jumlah busur yang incident dengan simpul tersebut.

22. Indegree sebuah simpul pada graph berarah adalah jumlah busur yang kepalanya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur yang “masuk” atau menuju simpul tersebut. Outdegree sebuah simpul pada graph berarah adalah jumlah busur yang ekornya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur yang “keluar” atau berasal dari simpul tersebut.

23. Adjacent Pada graph tidah berarah, 2 buah simpul disebut adjacent bila ada busur yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Simpul v dan w disebut adjacent. Pada graph berarah, simpul v disebut adjacent dengan simpul w bila ada busur dari w ke v. e w v w e v

24. Successor dan Predecessor Pada graph berarah, bila simpul v adjacent dengan simpul w, maka simpul v adalah successor simpul w, dan simpul w adalah predecessor dari simpul v. • Path Sebuah path adalah serangkaian simpul-simpul yang berbeda, yang adjacent secara berturut-turut dari simpul satu ke simpul berikutnya. 1 1 1 2 1 2 2 2 4 4 4 4 3 3 3 3

25. Representasi Graph dalam bentuk matrix • Adjacency Matrix Graph tak berarah B C D E A Urut abjad 0 1 2 3 4 B 0 A 1 B A C 2 C 3 D D E 4 E Graph Degree simpul : 3

26. Representasi Graph dalam bentuk matrix • Adjacency Matrix Graph berarah B C D E A ke 0 1 2 3 4 B dari 0 A out 1 B A C 2 C 3 D D E 4 E Graph in

27. Representasi Graph dalam bentuk Linked List • Adjency List graph tak berarah • Digambarkan sebagai sebuah simpul yang memiliki 2 pointer. • Simpul vertex : Simpul edge : left right left right info info Menunjuk ke simpul edge pertama Menunjuk ke simpul edge berikutnya, bila masih ada. Menunjuk ke simpul vertex berikutnya, dalam untaian simpul yang ada. Menunjuk ke simpul vertex tujuan yang berhubungan dengan simpul vertex asal.

28. Define struct untuk sebuah simpul yang dapat digunakan sebagai vertex maupun edge. typedef struct tipeS { tipeS *Left; int INFO; tipeS *Right; }; tipeS *FIRST, *PVertex, *PEdge;

29. Contoh : untuk vertex A, memiliki 2 edge yang terhubung yaitu e1 dan e2. Urut abjad B e1 e2 e1 A e3 e4 A C B e2 e5 e7 C D E e6 D Graph E

30. Gambar di atas dapat disusun dengan lebih sederhana, sbb : B A D B C E B A C D E B A C E D A C D C B E D E Graph

31. Adjency List graph berarah B B A D C B A A C C E E D C D E E B

32. Graph berarah dan berbobot A B D E C 0 1 2 3 4 B 6 0 A 3 5 1 B A C 14 2 C 12 2 12 3 D D E 4 E 7 Perhatikan pemilihan nilai 0.

33. Graf Planar (Planar Graph) Graf yang dapat digambar pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling bertindihan disebut graf planar. Jika tidak, maka graf tersebut adalah graf tak-planar. Graf planar, sisi yang bertindihan dapat diatur menjadi tidak bertindihan

34. Graf Planar (Planar Graph) Contoh graf tak-planar

35. Lintasan dan Sirkuit Euler Contoh: Lintasan Euler pada graf (a): 3, 1, 2, 3, 4, 1. Lintasan Euler pada graf (b): 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3, 5. Sirkuit Euler pada graf (c): 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1. Graf (a) dan (b) adalah graf semi-Euler. Graf (c) adalah graf Euler.

36. Teorema: Graf berarah G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih banyak dari derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih banyak dari derajat-keluar. Teorema: Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar yang sama.

37. Jembatan Königsberg (1736) Bisakah orang melalui setiap jembatan tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat semula? Solusi: Tidak bisa. Derajat d(A) = 5, d(B) = 3, d(C) = 3, d(D) = 3  4 derajat ganjil. Tidak dapat dibuat sebuah sirkuit Euler.

38. Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali. Graf yang memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton. Graf yang memiliki sirkuit Hamilton disebut graf Hamilton.

39. Contoh: Graf (a) memiliki lintasan Hamilton: misal 3, 2, 1, 4. Graf (b) memiliki sirkuit Hamilton: 1, 2, 3, 4, 1. Graf (c) tidak memiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton.

40. Contoh: Temukan sirkuit Hamilton dari graf berikut ini.

41. Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali. Graf yang memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton. Graf yang memiliki sirkuit Hamilton disebut graf Hamilton.

42. Aplikasi Graph Persoalan pedagang keliling (Travelling salesman problem). Persoalan tukang pos Cina (Chinese postman problem). Pewarnaan graf (Graph coloring).

43. Travelling Salesman Problem (TSP) Diberikan sejumlah kota dan diketahui jarak antar kota. Tentukan sirkuit terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan. Merupakan persoalan menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum.

44. Contoh: Tentukan sirkuit Hamilton terpendek dari graf berikut ini Solusi: Terdapat 3 sirkuit Hamilton pada graf di atas

45. P1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a) Bobot = 12 + 8 + 15 + 10 = 45 P2 = (a, b, d, c, a) atau (a, c, d, b, a) Bobot = 12 + 9 + 15 + 5 = 41 P3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) Bobot = 5 + 8 + 9 + 10 = 32 Sirkuit Hamilton terpendek: P3

46. FUZZY INPUT OUTPUT SYSTEM CONTOH : Output bertambah besar jika input bertambah besar ATAU Jika input besar maka output besar IF input is BIG THEN output is BIG IF x is B THEN y is B