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Expresiones Algebraicas - PowerPoint PPT Presentation


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Expresiones Algebraicas. Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. Ejemplos. Tipos de Expresiones Algebraicas.

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Presentation Transcript
expresiones algebraicas
Expresiones Algebraicas
  • Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.
  • Ejemplos
tipos de expresiones algebraicas
Tipos de Expresiones Algebraicas

Expresiones Algebraicas

Racionales Irracionales

Enteras Fraccionarias

expresi n algebraica racional
Expresión Algebraica Racional
  • Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación
  • Ejemplo
expresi n algebraica irracional
Expresión Algebraica Irracional
  • Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación
  • Ejemplo
expr algebraica racional entera
Expr.Algebraica Racional Entera
  • Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.
  • Ejemplo
expresi n algebraica racional fraccionaria
Expresión Algebraica Racional Fraccionaria
  • Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador.
  • Ejemplo
polinomios
Polinomios
  • Son las expresiones algebraicas más usadas.
  • Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma:

a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn

ejemplos de polinomios
Ejemplos de polinomios

A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

t rminos
Términos
  • Monomio : polinomio con un solo término.
  • Binomio : polinomio con dos términos.
  • Trinomio : polinomio con tres términos.
  • Cada monomio aixi se llama término.
  • El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an0.
  • A a0 se lo llama término independiente.
  • A an se lo llama término principal.
ejemplos
Ejemplos

El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x). No se le asigna grado.

ejercicio
Ejercicio
  • Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.
polinomios iguales
Polinomios iguales
  • Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son.
  • Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
suma de polinomios
Suma de Polinomios
  • Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.
  • Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

propiedades de la suma
Propiedades de la Suma
  • Asociativa
  • Conmutativa
  • Existencia de elemento neutro
  • Existencia de elemento opuesto
resta de polinomios
Resta de Polinomios
  • Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).

P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]

  • Ejemplo: Restar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

multiplicaci n de polinomios
Multiplicación de Polinomios
  • Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.
  • Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios

P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1

Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2

P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

propiedades del producto
Propiedades del Producto
  • Asociativa
  • Conmutativa
  • Existencia de elemento neutro.
algunos productos importantes
Algunos productos importantes
  • (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2
  • (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2-2ax + a2
  • (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
  • (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3
  • (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2
ejercicio19
Ejercicio
  • Escribir los desarrollos de
slide20

Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.

slide21
Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.
divisi n de polinomios
División de polinomios
  • Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.
  • Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.
divisi n entre n meros enteros
División entre números enteros
  • En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que

D = d . C + r 0 ≤ r < |d|

  • Si r=0 se dice que D es divisible por d.
divisi n entre n meros enteros24
División entre números enteros
  • Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras:
    • 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues

29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6

    • 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues

29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|

¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

divisi n de polinomios25
División de polinomios
  • Dados los polinomios

D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8

d(x) = 3x – 4

determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que

D(x) = d(x). C(x) + r(x)

de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)

ejemplo

0x3 - 9x2+ 15x

9x2- 12x

0x2+ 3x - 8

-3x + 4

0x - 4

Ejemplo

6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4

-6x3 + 8x2

2x2

- 3x

+ 1

6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

ejercicios
Ejercicios
  • D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x

d(x) = x2 – 3x

  • D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4

d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2

  • D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2

d(x) = x-2

divisi n de polinomios28
División de Polinomios
  • Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que

D(x) = d(x) . c(x)

ejercicios29
Ejercicios
  • Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro
  • P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1

Q(x) = x3 + x2 + x + 1

  • P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16

Q(x) = x5 - 32

divisi n de un polinomio por otro de la forma x a

Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9

2

-3

División de un polinomio por otro de la forma (x-a)

3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2

- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3

4x2 – 5x

- 4x2 + 8x

3x – 9

-3x + 6

-3

6

8

6

3

4

3

3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)

divisi n de un polinomio por otro de la forma x a31
División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
  • División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini

3 -2 -5 -9

2 6 8 6

3 4 3 -3

1º operación : 3.2 -2 = 4

2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3

3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3

Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3

ra ces de un polinomio
Raíces de un polinomio
  • Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
  • Ejercicio:

Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5

ra ces de un polinomio33
Raíces de un Polinomio
  • Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente.
  • Ejercicio: Calcular las raíces de

P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24

ejercicio calcular las ra ces de p x 2x 3 2x 2 16x 24

Ver x=2 también es raíz de

2x2 + 2x -12

2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)

Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
  • Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24.
  • Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)

2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)

ejercicio35
Ejercicio
  • Calcular las raíces de

P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8

P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)