LECTURA 2 Señales y Sistemas Instructor: Humberto de J. Ochoa Domínguez

1. LECTURA 2 Señales y Sistemas Instructor: Humberto de J. Ochoa Domínguez Universidad Autónoma de Ciudad Juárez hochoa@uacj.mx

2. TRANS ………… QUEEEEE?

3. Existen muchas transformaciones las cuales se utilizan para obtener información que no esta disponible en el tiempo. La transformación mas popular es la de Fourier. TRANS ………… QUEEEEE? Magnitud de la transformada de Fourier de la suma de las tres funciones anteriores

4. TRANS ………… QUEEEEE? PERO CUIDADO, SI ENCUENTRAS UNA SENAL ASI, ALEJALA DE FOURIER INMEDIATAMENTE Y CUENTASELO A QUIEN MAS SEPA DE TRANSFORMACIONES.

5. Funciones periódicas Para n= 0,1,2….. T es el periodo Para señales seno o coseno Esto es O sea que la amplitud se repite cada 360º

6. Funciones pares e impares Función impar Función par Ejemplo Ejemplo

7. De acuerdo con lo anterior una señal par y una impar pueden ser expresadas de la siguiente forma. Funciones pares e impares Por lo tanto, cualquier señal, sea par, impar o incluso que no pertenezca a ninguno de estos dos grupos, puede ser expresada en forma de suma de una señal par y una impar. Entonces

8. Producto punto y ortogonalidad Producto punto Ortogonalidad

9. Producto punto y ortogonalidad Asumimos: Sabemos que: Entonces: De igual forma

10. Producto punto y ortogonalidad Luego tenemos También

11. Quiere decir que yo puedo definir Producto punto y ortogonalidad También La T. F. es compleja, o sea es de la forma de a+jb Lo que da como resultado la transformada de Fourier. Este producto interno descompone la señal f(t) en senos y cosenos. Dicho de otra forma, la ortogo- nalidad de la transformada permite detectar el contenido frecuencial de la Senal f(t).

12. El operador J en la transformada de Fourier Pero como la parte REAL y la parte IMAGINARIA de la señal pueden tomar cualquier valor esto nos sirve para conocer el ángulo de fase o arranque de la señal

13. En general Se dice que el conjunto de funcionespara n = 1,2,3,…. es un conjunto de funcionesortogonal en el ontervalo (0, L) . O sea: La normacuadradaescuandolas dos funciones son iguales Entonces:

14. En general Se dice que el conjunto de funcionespara n = 1,2,3,…. es un conjunto de funcionesortogonal en el ontervalo (0, L) . O sea: La normacuadradaescuandolas dos funciones son iguales Entonces:

15. Cómo se visualiza el productopunto y la ortogonalidad Productopunto

16. Visualización fasorial de la transformada de Fourier de f(t) Imaginaria (+) Real (+) F(ω) ωrads/sec Real (-) Imaginaria (-)

17. Series de Fourier Las series de Fourier se aplican a señales periódicas. Fueros descubiertas por el matemático francés Joseph Fourier en 1807. Con el uso de las series de Fourier, “una señal periódica que satisface ciertas condiciones, puede ser expandida a una suma infinita de funciones seno y coseno.”

18. Series de Fourier Tiempo Continuo Considere una señal periódica real de tiempo x(t), con periodo T De el teorema de Fourier, bajo ciertas circunstancias, la forma trigonométrica con coeficientes reales de la serie de Fourier, está dada por: Frecuencia angular 0=2/T

20. Obtención de los coeficientes En estas integrales n0 es un parámetro, los coeficientes an y bnestán en función de n0, es decir an= an(n0) y bn= bn(n0).

21. Obtención de los coeficientes Debido a la periodicidad, es más conveniente utilizar los límites de integración de t=0 a t=T. note que el coeficiente a0/2 da el valor promedio de x(t) en el intervalo de un periodo, es decir:

22. Armónicos En la fórmula de expansión de la serie de Fourier, n=1 define el armónico fundamental, n=2 da el segundo armónico, etc. Una señal senoidal de frecuencia angular n0, se llama el armónico n. Para muchos coeficientes reales any bn decaen muy rápido a cero a medida que n incrementa, por esto, las señales pueden ser aproximadas por la serie truncada de Fourier Donde N es el número de armónicos incluidos en la aproximación.

23. f(t) 1 t . . . -T/2 0T/2 -1 Cálculo de los coeficientes de la Serie Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T: Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es

24. Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientesan:

25. Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientea0:

26. Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientes bn:

27. Cálculo de los coeficientes de la Serie Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0=p, es decir, T=2:

28. Componentes de la Serie de Fourier 1.5 1 0.5 0 Componentes -0.5 Suma fundamental -1 tercer armónico quinto armónico septimo armónico -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 t Cálculo de los coeficientes de la Serie

29. Espectro de Amplitud de f(t) 0.7 0.6 0.5 0.4 Cn  0.3 0.2 0.1 Frecuencia negativa ? Frecuencia 0 -30 -20 -10 0 10 20 30 n Espectros de Frecuencia Discreta El espectro de amplitud se muestra a continuación Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n=número de armónico = múltiplo de w0).

30. 1.5 p=1, T=2 1 f(t) 0.5 0 t -20 -10 0 10 20 1.5 p=1, T=5 1 f(t) 0.5 0 -20 -10 0 10 20 1.5 p=1, T=10 1 f(t) 0.5 0 -20 -10 0 10 20 t 1.5 p=1, T=20 1 f(t) 0.5 0 -20 -10 0 10 20 t De la Serie a la Transformada de Fourier Si el periodo del tren de pulsos aumenta: t

31. 1.5 p=1, T= 1 f(t) 0.5 0 -20 -10 0 10 20 t De la Serie a la Transformada de Fourier En el límite cuando T, la función deja de ser periódica: ¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?

32. 0.6 p=1, T=2 cn 0.4 0.2 0 w=nw0 -0.2 0.3 p=1, T=5 0.2 0.1 0 -0.1 -50 0 50 0.15 p=1, T=10 0.1 0.05 0 -0.05 0.06 p=1, T=20 0.04 0.02 0 -0.02 -50 0 50 De la Serie a la Transformada de Fourier -50 0 50 -50 0 50

33. De la Serie a la Transformada de Fourier Si hace T muy grande (T): El espectro se vuelve ¡continuo!

34. De la Serie a la Transformada de Fourier El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w. Así, la serie Al cambiar la variable discreta nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

35. De la Serie a la Transformada de Fourier Como La serie queda O bien, cuando T, nw0w y w0dw y la sumatoria se convierte en

36. Identidad de Fourier Transformada De Fourier De la Serie a la Transformada de Fourier Es decir, Donde Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(ω) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa

37. De la Serie a la Transformada de Fourier Notación: A la función F(ω) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F(ω) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F–1 ,es decir

38. f(t) 1 -p/2 0p/2 t De la Serie a la Transformada de Fourier Ejemplo. Calcular F(ω) para el pulso rectangular f(t) siguiente Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es

39. De la Serie a la Transformada de Fourier Integrando Usando la fórmula de Euler Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn cuando T , pero multiplicado por T.

40. F(ω) F(ω) con p=1 1 0.5 0 ω -50 0 50 De la Serie a la Transformada de Fourier En forma gráfica

41. u(t) 1 t 0 De la Serie a la Transformada de Fourier Tarea. Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario u(t): Graficar U(w)=F [u(t)] ¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)? ¿Cuál es la frecuencia predominante?