Álgebra Linear e Geometria Analítica

1. Álgebra Linear eGeometria Analítica 10ª aula

2. Vectores no plano Vectores no espaçoVectores em n

5. (u1+v1, u2+v2) (v1,v2) (u1,u2)

8. (ku1,ku2) ku (u1,u2) u

9. Produto interno • u = (u1, u2); v = (v1,v2) • u . v = u1v1 + u2 v2

10. Produto interno e norma • u = (u1, u2); v = (v1,v2) • u . v = u1v1 + u2 v2

11. Produto interno em n • u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un); • v = (v1, v2, v3, v4 . . . , vn); • u . v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 + u4 v4 + . . .+ un vn

12. Propriedades do produto interno • u . v = v . u • u . (v + w) = u . v + u . w •  ( u . v ) = ( u) . v = u . ( v) • u . u  0 • u . u = 0  u = 0

13. Produto interno e norma em n • u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);

14. EXEMPLOS • u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) • v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) • u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) = = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6

15. EXEMPLOS • u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) • v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) • u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) = = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6

16. EXEMPLOS • u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) • v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) • u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) = = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6

17. Propriedades da norma Desigualdade triangular Desigualdade Cauchy-Schwartz

18. A B

19. A ||B|| ||A|| ||A+B|| B Desigualdade triangular

20. A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A||

21. A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A|| Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:

22. A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A|| Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:

24. Ortogonalidade: • Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo

25. Ortogonalidade: • Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo • Exemplo: • u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1) • u . v = -4 -6 + 6 + 4 = 0

26. A B

27. A B tB

28. A B tB tB é a projecção do vector A sobre B

29. A C B tB

30. A = tB + C C B tB

31. A = tB + C C B tB A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B

32. A = tB + C C B tB A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B

33. A = tB + C C  B tB

34. A = tB + C C  B tB

35. A = tB + C C  B tB

36. Definição de projecção de um vector sobre outro: Sejam u e v vectores de n A projecção de u sobre v é o vector  v sendo

37. Definição de ângulo de dois vectores: Sejam u e v vectores não nulos de n O ângulo entre os vectores u e v é  tal que

38. Definição de ângulo de dois vectores: Sejam u e v vectores não nulos de n O ângulo entre os vectores u e v é  tal que

39. Limites do valor de cos

40. Exemplo:

41. Exemplo:

42. Exemplo:

43. Produto externo • Só se define produto externo em 3 ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2

44. Produto externo • Só se define produto externo em 3

45. Regra prática:

46. Regra prática:

47. Regra prática:

48. Regra prática:

49. Regra prática:

50. Propriedades do produto externo: • u  v = - (v  u) • u  (v + w) = u  v + u  w •  (u  v) = ( u)  v • u . (u  v) = 0 • v . (u  v) = 0 • ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 • u  v = 0  u e v linearmente dependentes