MAT102 Funksjoner

1. MAT102 Funksjoner 3 April

2. Plan for dagen • Introduksjon til funksjoner • Funksjonsdidaktikk • Lineære funksjoner

3. Hva er en funksjon?

4. Hva er en funksjon?

5. Hva er en funksjon? • Omtrent alle situasjoner i hverdagslivet kan beskrives ved hjelp av en funksjon. • F.eks pris vi må betale for appelsiner som koster 14,30 pr kg • Hvor mye penger vi har på sparekonto i banken i tiden etter at vi satte inn 1000 kr • Hvor lang tid vi bruker på å kjøre fra et sted til et annet • Arealet til gressplener • Hvor mye vi tjener pr måned, og hvor mye skatt vi må betale • Hvor mye hostesaft barnet vårt skal ha pr gang • Hvor mye hundemat hunden skal ha pr dag • Temperaturmåling på gitte tidspunkter

6. Hva er en funksjon? La oss tenke oss en liten tunnel som det går an å kjøre en bil gjennom. Hver gang en rød bil kjører inn i tunnelen er den blå når den kommer ut. Når en svart bil kjører inn er den blå når den kommer ut. Når en grønn bil kjører inn er den blå når den kommer ut. Når en blå bil kjører inn er den blå når den kommer ut. Hva er tunnelens funksjon?

7. Funksjonsboksen f

8. Hva er en funksjonen? La oss tenke oss at vi har en liten boks med et hull i toppen og et i bunnen. Når vi putter et tall inn i toppen kommer et annet tall ut i bunnen. Vi putter tallet 3 inn og får ut tallet 5. Vi putter tallet 1 inn og får ut tallet 3. Vi putter tallet 7 inn og får ut tallet 9. Vi putter tallet -3 inn og får ut tallet -1. Vi putter tallet -1 inn og får ut tallet 1

9. Funksjonsutrykk / funsjonsforskrift

10. Alfa lærebok En funksjon f består av • Definisjonsmengde • En mengde som inneholder verdimengden • En regels som til ethvert element x i definisjonsmengden tilordner ett og bare ett element i , nemlig elementet

11. mengder • Definisjonsmengden til en funksjon er mengden som består av de tallene eller verdiene hvor funksjonen er definert. • Verdimengden til en funksjon er de mulige funksjonsverdiene som funksjonen kan ha

12. Entydighet • Med entydighet mener vi at det for hver uavhengig variabel kun finnes en avhengig variabel. • Om , så er den avhengige variabelen og den uavhengige variabelen.

15. Kontinuerlig/ diskontinuerlig

16. Oppgave Beskriv en situasjon vi kan utrykke som en funksjon. Identifiser hva som er definisjonsmengde og hva som er verdimengden Er det en kontinuerlig eller diskontinuerlig?

17. Forstå funksjonsbegrepet • Hva må ligge av grunnleggende kunnskap for å utvikle og forstå funksjonsbegrepet?

18. Funksjonsdidaktikk

19. Matematisk begrep • Et matematikk begrep har ikke vokst fram isolert, men eksisterer i et nettverk av enkelte ideer. Vi kaller slike nettverk av ideer for begreps strukturer. • For å gjøre nøyaktig greie for hva et matematisk begrep inneholder, og hvordan man kan tilrettelegge undervisningen, må man først avdekke begrepets struktur. Det vil si: hvordan dette begrepet er knyttet til andre begreper, og hvordan det blir brukt på ulike måter i praktiske situasjoner.

20. Hva er det som gjør at funksjoner oppfattes som så utfordrende for så mange?

21. Janviers tabell

22. Fra formel til graf

23. Fra graf til situasjon

24. Fra tabell til graf

25. Fra situasjon til graf

26. Fra situasjon til graf

27. Koordinat-systemer

28. Motivasjon for å jobbe med koordinatsystemer • Hvordan kan vi beskrive en plass i klasserommet? • Hvordan kan vi forklare hvor en båt er på havet? • Hvordan beskrive posisjonen til en løper på et sjakkbrett • Hvordan er et regneark bygd opp? • Kanskje elevene kan komme på flere eksempler?

30. Det kartesiske koordinatsystemet

31. koordinatsystem • Vi kan bestemme posisjonen til et punkt på en graf i forhold til et koordinatsystem. • Et koordinatsystem har en vertikal akse som vi kaller y-aksen eller andre-aksen. Og den har en horisontal akse som vi kaller x-aksen eller førsteaksen. • Punktet der de møtes kalles origo.

32. Punkt på koordinatsystem Koordinatene til et punkt er oppgitt som en x-koordinat og en y-koordinat. De oppgis i en parentes med x koordinaten først og deretter y koordinaten. Eksempler er: A=(2,2) B=(-1,-3) C=(1,-2) D=(-2,1) (x,y)

33. Hvordan plotte en graf

34. Lineære funksjoner

35. Polynomfunksjoner En polynomfunksjon er et utrykk som består av ett eller flere ledd, der hvert ledd består av en koeffisient og en potens av x. Eksponentene kan ikke være negative. Den høyeste potensen gir oss navnet på polynomet. Er den høyeste potensen 2 så har vi et andregradsfunksjon, er den 3 så har vi en tredjegradsfunksjon. Når x er det det høyeste leddet har vi det vi kaller en lineær funksjon. Eks:

36. Hva er en lineær funksjon? Følgende er eksempler på noe som ikke er en lineær funksjon: f(x) = x². Ser slik ut: Denne er ikke lineær. x = 2. Ser slik ut: Her er y ikke en funksjon av x.

37. Hva er en lineær funksjon? Funksjoner som faktisk er lineære, er f.eks. disse: f(x) = 2x + 3: g(x) = –1,5x + 0,5: h(x) = –3,2

38. Plotte en lineær funksjon Hvor mange punkter trenger vi egentlig for å plotte en lineær funksjon?

39. Funksjonsutrykk

40. Funksjonsutrykket til lineære funksjoner. Lineære funksjoner skrives på formen:

41. Hva bestemmer formen på grafen? • Vi kan vise formelt hvordan b bestemmer hvor grafen skjærer y-aksen: • Grafen skjærer y-aksen når x=0. Altså: Vi skal finne y-verdien når x=0. Vi setter inn: • f(0) = a·0 + b = 0 + b = b. Altså skjærer grafen y-aksen i b. • Merk: Hvis b=0, da går grafen gjennom origo. Mange elever har misoppfatningen at alle grafer går gjennom origo. Det er mulig at dette har sammenheng med at proporsjonalitet innføres før funksjonsbegrepet.

42. Hva bestemmer formen på grafen? • Men hva forteller a oss? • La oss ta utgangspunkt i et eksempel: • Et (ganske gammeldags) mobilabonnement har en fastpris på 99 kr i måneden, og minuttprisen er 0,30 kr. Hva kommer regningen på? • r(t) = 0,30t + 99, • der t er antall minutter. Grafen er som vist til høyre. • Merk hvordan grafen skjærer y-aksen i 99. Det betyr • at hvis vi ringer i 0 minutter, betaler vi 99 kr.

43. Hva bestemmer formen på grafen? • Men hvordan kan vi forstå 0,30 i forhold til grafen? • Jo, når vi ringer i ett minutt utover det vi allerede har ringt, da øker y med 0,30. Dette kan vi se fra grafen til funksjonen. Figuren under er totalt ute av skala, merk det! Men ellers illustrerer den hvordan vi kan se hva y øker med hvis t øker med 1. • I dette eksempelet kaller man derfor • 0,30 for stigningstallet til grafen. • Stigningstallet er altså hvor mye • y vokser hvis variabelen vokser • med 1.

44. Hva bestemmer formen på grafen? Her er et mer «vanlig» eksempel: y = 2x + 3 Grafen er vist til høyre. Den røde trekanten markerer hvordan stigningstallet er definert ved å gå én bort og se hvor mange hakk vi må gå opp. Her er stigningstallet 2.

45. Hva bestemmer formen på grafen? Merk: Hvis stigningstallet er negativt, da synker grafen. Til høyre ser vi grafen til y = –x – 2 (altså det samme som (–1)·x – 2). Her er stigningstallet –1. Merk også: Vi kan bare lese av stigningstallet hvis funksjonsuttrykket er satt opp på formen f(x) = ax + b.Grafen vi f.eks. ser her, kan jo like gjerne være skrevet som y + 3x + 5= 2x + 3. Da må vi skrive om uttrykket for å finne stigningstallet og konstantleddet.

46. Mer om stigningstall Noen ganger kan det være vanskelig å se hvor mye y øker hvis x øker med akkurat 1. I slike tilfeller må vi regne dette ut ved å se hvor mye y øker over et større intervall. I eksempelet vi ser her, ser vi at når x=6, da er y=50, og når x=16, da er y=100. Altså øker y med 50 hvis x øker med 10. Da følger det at stigningstallet er . Når vi måler slike økninger, kaller vi x-økningen for (leses «delta x»), og y-økningen for (leses «delta y»). Stigningstallet er altså gitt ved . Økningen i y er 50, altså Økningen i x er 10, altså

47. Ulike stigningstall

48. Grafer med like stigningstall

49. StigningstalL Om vi kjenner to punkter ( og (på en linje så kan vi finne stigningstallet ved

50. Finn stigningstallet Finn stigningstallet til linjen mellom punktparene: • (2,3) og (4,5) • (1.1) og (2,4) • (2.1) og (5,-1)