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1. Six Sigma를 하려면 꼭 알아야만 하는 통계 6

2. 목 차 1. 기본 통계량 : 평균과 편차 2. 정규분포 3. 통계적 의사결정 - 가설검정 4. 분포를 이용한 추정,검정 - 평균치 : z 분포/t 분포 - 산 포 : χ²분포/F 분포 5. 회귀분석 6. 실험계획법 기타-공정능력 지수 / 장기,단기 Sigma

3. Six Sigma와 통계Tool Improve Control Measure Analyze Define *통 계 Tools and Techniques • 벤치마킹 • 체크시트 • 관리도 • 데이터 차트 • Guage R&R • 히스토그램 • 척도 • Run Chart • 샘플링 • 시그마 계산 • 층별 • 산포 • 인과분석 • 상관 • 실험계획법 • Fault Tree • FMEA • 가설검증 • 파레토 • 프로세스 시뮬레이션 • 정량적 프로세스 분석 • 회귀 • 계층화 • Structure Tree • 가치분석 • Challenge Assumptions • CDAM • 비용 효과분석 • 기준선정 메트릭스 • Force Field Analysis • How-By Pursuits • 수평적 사고 • Mind Mapping • Random Word • Six Hat Thinking • Storyboards • Solution Mapping • FMEA • 프로세스 관리시스템 • Workplanning • 친화도 • 브레인스토밍 • 고객조사 • 전개도 • 간트차트 • 그래프 • 카노분석 • 회합스킬 • Mult-voting • 명목집단방법 • 팀 헌장 • 정성적 프로세스 분석 • Top Down Mapping • 고객의 소리 변환 • 품질기능전개

4. 통계적 사고의 정의 1. 모든 일은 상호 연결된 프로세스의 연속이며, 2. 모든 프로세스는 변화하며, 3. 산포를 이해하고 줄이는 것이 성공의 열쇠이다.

5. 확률과 통계 • 확률은 게임의 규칙을 알고 게임을 관전하는 것과 같음. • 통계는 게임의 규칙을 알기 위해 게임을 관전하는 것과 같음. • Six Sigma 경영에서는 프로세스를 관찰하고 (측정을 통해 게임을 관전함) 사실에 근거한 의사결정을 하며,프로세스를 관리하기위해 규칙을 적용함.

6. 1.기본 통계량 통계는 표본을 통해 모집단의 특성을 파악하는 것 모집단과 표본 모집단(Population) 표본(Sample) 정의 : 통계적 판단을 위해 모집단에서 선택된 작은 집단 정의 : 파악하고자 하는 대상 ex : 전 국민의 평균 수명 전 국민의 출신 지역 Sampling × 표 본 × × ▲ × ▲ ○ × ▲ ▲ ▲ ○ ○ × ○ × × × × ○ ○ ▲ × : 8개 × 2개에 ▲, ○가 각 1개씩 존재 ▲ : 4개 ○ : 4개 통계량 평균 : μ 산포 : σ 평균 : χ 산포 : s

7. 통계를 통해 모집단의 특성을 알고 앞으로 일어날 사건도 예측 왜 통계가 필요? ■ 표본을 통해 모집단의 대표 값이나 변동의 크기를 구하는 것 기술 통계(Descriptive Statistics) ex) GNP의 추정, 평균수명 ■ 표본을 통해 얻은 정보를 이용하여 불확실한 사실에 대해 추론하고 통계적 판단을 위한 Model을 설정하는 것, 미지의 특성에 대해 주어진 정보를 이용하여 결론을 내리고 미래에 일어날 특성치에 대한 예측을 하는 것 추측 통계(Inferential Statistics) ex) 회귀분석 Model

8. Input,프로세스 및 Output 척도 Input 척도 프로세스 척도 Output 척도 • 효과성 척도 • 결점율 • 결점수 • 총 반응 시간 • 대금 청구 정확도 • 이익 • 효율성 척도 • 비용 • activity 당 시간 • 재작업 양 • 대응 시간 • activity의 변동성

9. 그래프/도표의 필요성 자료가 갖는 의미를 쉽게 이해하고 의미를 찾아냄 돗 수 분 포 (Frequency Distribution) Delivery Time* • 치우침, 대칭 등 Data이 • 구조를 이해 95, 120, 117, 99, 110, 107 125, 98, 85, 127, 105, 114 103, 112, 92, 101, 122, 120 도표화 × × × × × × × × × × × × Data 자체는 의미 없는 숫자 덩어리 × × 시간 80 90 100 110 120 130 • 의문이 명확해짐 • 왜 치우침이 발생할까? * 주문접수 후 고객에게 도착한 시간

10. 데이터 수집 방법 지표 마련 Step 1 지표에 대한 운용정의 마련 Step 2 측정계획 수립 Step 3 데이터 수집 Step 4 데이터 표현 데이터 평가

11. 데이터 표현 방법

12. 산포란 무엇인가? • 산포란 제품이나 서비스가 제공될 때 프로세스가 정확하게 동일한 결과를 가져오는 것은 아니라는 것을 의미함 •산포는 모든 프로세스에 존재함 •비즈니스 프로세스에서 산포를 측정하고 이해하는 것은 현재의 성과수준이 어느 정도 수준인지, 산포를 줄이는 한편 불량을 줄이기 위해 필요한 것이 무엇인지를 도출하는 데 도움을 줌 데이터 산포

13. 전 제 조 건 • 각 실험은 Yes, No 같은 2가지 결과만 갖음(P, 1-P) • 각 실험은 독립으로 서로 영향을 주지 않음(복원추출) 2.정규분포 이항분포는 모집단의 불량율(P)를 알고 있을 때 표본집단에서 나타난 불량율이 모집단과 얼마나 다른지를 알고 싶을 때 사용 모집단과 표본 모집단 정보 표본집단에서 나타날 수 있는 경우 4번 추출 BBBB WBBB BWBB BBWB BBBW WWBB BWBW BWWB WBBW WBWB BBWW WWWB WWBW WBWW BWWW WWWW 공 4개의 가능한 조합 흰 공 확율 : 3/4 검은 공 확률 : 1/4 추출된 흰 공의 개수 (W) ○ : 흰 공(W) ● : 검은 공(B) 0 1 2 3 4 경우의 수 1 4C0 4 4C1 6 4C2 4 4C3 4 4C4 각 경우의 확율 (1/4)⁴ (1/4)³ (3/4) (1/4)² (3/4)² (3/4)³ (1/4)¹ (3/4)⁴ 확율 0×(1/4)⁴ = 0.004 4×(1/4)³ ×(3/4) = 0.007 6×(1/4)² ×(3/9)² = 0.211 4×(3/4)³ ×(1/4)¹ = 0.422 1×(3/4)³ = 0.316

14. 0.422 0.316 P(X = 흰 공 개수) = 4Cχ(3/4) (1/4) 0.211 χ 4-χ 0.047 나타나는 검은 공 개수(X) 0.004 0 1 2 3 4 χ 4-χ 4×2/4×2/4 = 1 4Cχ(2/4) (2/4) 0.422 χ 4-χ 4×3/4×1/4 = 0.87 4Cχ(1/4) (3/4) 0.316 0.211 0.047 0.004 X 0 1 2 3 4 주어진 n, p에 따라 확률분포를 그리고 모집단의 χ, S를 구할 수 있음 이항분포(2) 이항분포 χ S 4×0.75 = 2.25 4×1/4×3/4 = 0.87 n = 4 p = 3/4 (흰 공 3개) 0.375 4×0.5 = 2 0.25 0.25 n = 4 p = 2/4 (흰 공 2개) 0.063 0.003 X 0 1 2 3 4 4×0.25 = 1 n = 4 p = 1/4 (흰 공 1개) χ = np S = np(1-8) χ n-χ 일반식 : nCχP (1-P)

15. 연속형 Data는 계급의 폭을 작게 하여 분포를 함수형태로 나타낼 수 있음 확률 밀도함수 계급의 폭이 10cm 계급의 폭이 3cm 계급의 폭이 아주 작음 키가 167.5cm부터 172.5cm까지의 학생은 전체의 28% P(167.5＜ χ＜172.5) = 0.28 28% 0.28 0.25 0.16 0.12 0.08 0.04 0.04 0.02 0.01 155 160 165 170 175 180 185 190 195 155 170 195 155 170 195

16. f(χ) = 1 Exp - (χ-Μ)² 2π 2σ² 정규 분포 정규 분포의 통계적 판단의 출발점 정규분포는 평균치에서 벗어난 정도에 따라 확률 값으로 주어짐 정규 분포의 특성 정규 분포란? 평균값 = 중앙값= 최고 값 • Gauss가 발견 • 계측 오차에 대한 분포 • 대부분의 자료에 적합 좌우대칭 면적 68% 평균 M, 표준편차 σ - ∞＜ χ＜ ∞ χ축에 닫지 않음 면적 95% N(M, σ²)으로 표시 -2σ -σ Μ +σ 2σ ☞ Data가 정규 분포에 따르지 않으면 고도의 Approach가 필요

17. 170 π 4 π 50% - 68% = 16% 50% - 68% = 16% 2 2 정규 분포의 활용 Data가 정규 분포에 따르면 표본집단의 평균치가 정규 분포상에 어디에 위치하는지에 따라 일어날 수 있는 확률을 구할 수 있음 A사직원의 신장은 χ = 170, σ = 10 이다. 180cm 이상은 몇 %일까? 은행에서 고객은 5분 이내 업무처리를 원한다. A은행의 업무처리는 χ = 4분 σ = 1분이다. 몇% 고객이 불편을 참고 있는가? 고객의 요구수준 알고 싶은 확율 고객 불만 영역 150 -2σ 160 -1σ 180 1σ 190 2σ 1 -3σ 2 -2σ 3 -1σ 5 1σ 6 2σ 7 3σ

18. 정규확률분포의 표준화 • 평균이 0 이고 표준편차가 1인 정규분포를 표준정규분포라고 부른다. • z value:X라고 지정하는 어떤 값과 모집단의 평균m 와의 거리를 모집단의 표준편차 s로 나눈 값을 말한다.

21. χ = np 이항 분포와 정규 분포 이항 분포는 정규 분포로 간주하여 계산할 수 있다. B(n, p) n : 반복수, p : 나타날 확율 σ = np(1-p) B(15, 0.4) 이항 분포에서 P(7≤χ≤10) = 15C7(0.4) (0.6) + ··· + 15C10(0.4) (0.6) = 0.381 0.2 7 8 10 5 정규 분포에서 P(6.5≤χ≤10.5) = P(6.5 - 6 ≤ Z ≤ 10.5 - 6) = P(0.263 ＜ Z＜ 2.368 = 0.387 0.1 1.9 1.9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 빗금부분의 확률은? ☞ np ＞15인 경우에는 거의 정규 분포에 가까움

22. 누적 확율 Minitab 사용 · · · · · · · · · · · · · · · Z 값 -2 -1 0 1 2 모집단에 대한 가정 모집단이 정규 분포에 따른다는 가정은 통계처리의 출발점 모집단에 대한 의심 해 답 1. 모집단이 정규분포에 따르는지 어떻게 아나? 2. 모집단이 정규분포가 아니면 무엇이 잘못되나? 3. 모집단이 정규 분포가 아니면 어떻게 해야 하나? • Normality Test(정규성 검증) • 예를 들어 구간 추정을 할 때 신뢰도 95%면 t0.025 s 로 • 하는데 모집단이 정규분포가 • 아니면 구간이 90%인지 80% • 인지 알 수 없게 됨 • 정규성을 해치는 이상 Data를 제거 • 자료를 변환하여 정규화 n Y = logχ ×

23. 모든 Data는 정규분포에 따르는지를 확인후 통계적의사결정에 사용 • 각 데이터에 대한 정규성 검정을 실시함. • Graph > Probability Plot • Variables: Data25 • OK. • 샘플이 많은 경우 (100개 이상) Anderson-Darling 검정실행 • Stat > Basic Statistics > Normality Test • Variables: Data1000 • OK. (p value가 =.05 보다 크다면 정규 분포를 따름)

24. 정규성 검정:p값>0.05 이상이면 정규분포 Data를 직선화된 정규분포 선상에 Plot하여 정규성을 검정

25. 정규분포에 따르지 않는 Data는 정규성을 같도록 변환 • 목적: • 정규성 검정 연습 • Minitab 연습 • File: Case6Sigma.mpj • c2 Cycle Time 에 대한 히스토그램 작성 • Y 변수(c2 Cycle Time)가 정규 분포를 하는지 검정

26. 사례연구 : 은행의 예금처리 시간 • 정규성과 변환 • cycle time은 대략적으로 정규 분포를 하는가? • Graph > Probability Plot Cycle time 은 정규분포를 따르지 않음.

27. 정규성을 갖는 Data로 변환 • 목적: • 알맞은 변환 방법을 선택함. • 테이블 연습 • File: Case6Sigma.mpj • Box-Cox 변환을 이용하여 알맞은 변환 방법을 결정함 • Stat > Control Charts > Box-Cox Transformation • Single column: Cycle Time Subgroup size: = 1

28. 정규성 검정과 변환 • cycle time 은 대략적으로 정규분포를 하는가? • Graph > Probability Plot • Cycle time 은 정규분포를 하지 않음 • 어떤 변환을 이용해야 하는가? • Stat > Control Charts > Box Cox = 0 이므로 log 변환이 적합함

29. Box-Cox 변환Stat>Control Charts>Box-Cox

30. Calc > Calculator “store result in variable” Log10 Cycle Time “Expression”내부를 클릭하고, functions 메뉴에서 Log 10을 선택함. C2 Cycle Time 을 식에 대입하기 위해 두번 클릭하여 “number’가 보이도록 함. 그러면, 변환된 데이터가 Log 10 Cycle Time 컬럼에 나타남. MINITAB Calculator를 이용하여 데이터를 변환하기

31. 3.통계적 의사결정 • 가설검정은 “Group 1은 Group 2 와 비교할 때 유의하게 다른가”에 대한 답을 줌. Groups 1과 2 는 개선 전, 후 프로세스의 싸이클 타임 일수도 있고, 장소1과 장소2 에서 발생하는 결점 일수도 있음. • 가설검정은 연속형 데이터와 이산형 데이터에 적용 할 수 있고, 두개 이상의 그룹에도 적용됨. 검정 방법: • t-검정(t-Tests) • 분산분석(ANOVA tests) • 상관관계(Correlation) • 회귀(Regression) • 카이-제곱 검정(Chi-squared tests)

32. 가설검정의 가정 • 모집단으로 부터 충분히 많은 시료가 랜덤하게 추출되었음. • 통계적으로 서로 독립이다는 가정 • 데이터는 정규분포를 함.

33. 올바른 선택 Ha가 사실이나 Ho를 선택 Type Ⅱ error β Ho가 사실이나 Ha를 선택 Type Ⅰ error α 올바른 선택 검정은 표본집단이 모집단과 같은지 다른지를 판정하는 것 검정의 판단 논리 Ho(귀무가설) : 표본에서 얻은 정보를 볼 때 표본은 모집단과 일치한다는 주장 Ha(대립가설) : 표본에서 얻은 정보를 볼 때 모집단과 같다고 할 수 없다는 주장 Ho 선 택 Ha Ho Ha 사 실

34. x = x = m cs 통계적 의사결정 사례 six sigma 팀은 두 부서간 평균 급여에 대해 차이가 있는지를 비교하려 함. 팀은 먼저 두 부서의 모집단으로 부터 무작위로 샘플을 채취한 다음 부서별로 히스토그램을 그린 결과 아래와 같음.

35. 가설검정의 해석 우리가 하려는 가설검정은 “귀무가설이 잘못 되었음을 증명하라” 임. 이것을 위해 앞에서 언급한 p-value의 개념을 상기 시켜 주고자 함. P 에 대한 정의는 아래와 같음. 만일p< 0.05 이면, 차이가 있다는 것을 의미함. “p-value는 xcs와xm사이에서 관측된 차이는 샘플링 산포에 의해서만 발생할 확률이다” p-value에 대한 또 다른 정의는: “p-value는 두 샘플이 같은 모집단에서 추출될 확률이다.” 결론적으로 우리가 범할 오류가 5% 보다 작지 않다면 우리는 통계적으로 유의 하다고 주장할 수 없게 됨..

36. 가설검정 Y 이산형 연속형 t-Test ANOVA Chi Square 이산형 X Logistic Regression Regression 연속형

37. Ha 채택 Ha 기각 Ha 채택 Ha 기각 Ha 채택 1-α 1-α α α α 2 2 χ χ T α σ α σ α σ α χ - ＜μ ＜χ+ χ ＞ T + 이면(1- ) 100%의 t t t 2 2 2 2 n n n 신뢰도를 갖고 Ha를 채택 양쪽 검정 한쪽 검정 (1-α) 100% 신뢰

38. 활용 분포 중요한 통계적 의사결정 사항 모집단이 정규분포에 따르면서 모집단의평균,산포를 알고 표본집단과 모집단간의 평균의차가 있는 지를 알고 싶을 경우 Z 분포 모집단이 정규분포에 따르되 모집단의평균을 모르면서 표본집단과 모집단간의 평균의차가 있는 지를 알고 싶을 경우 t 분 포 표본의 분산이 정규분포에 따르는모분산과의 차이가 있는 지를 알고 싶을 경우 카이자승(χ²) 분포 정규분포에 따르는 두집단간의 산포의차가 있는 지를 알고 싶을 경우 F 분포

39. α σ Z · ² 2 n = d ² 1.64 · 4 = 0.8 α σ Z = d n 2 = 68 α σ Z · ² 2 n = d 통계적 판단을 위한 샘플의 크기 통계적 판단을 위한 샘플의 크기는 허용오차(d)와 신뢰수준에 따라 결정됨 Case Study 모집단이 N(μ, σ²)에 따를 때 μ추정 값의 100(1-α)%의 오차 한계는 철판 수축의 표준 편차는 4㎜로 알려져 있다 90% 신뢰수준을 갖고 추정오차가 0.8㎜ 이내로 되려면 몇 개를 Test하여야 하나? σ Z α 로 표시된다 n 2 Z0.05 = 1.64 100(1-α)%의 확신을 갖고 오차가 d 이내가 되려면 이를 만족시키는 n값은

40. 4.분포를 이용한 가설검정 및 추정 Z 분포의 이용 중심극한의 정리 모집단 평균의 추정 (정규분포의 성질) 모집단 평균 값 Data 수가 n개인 표본집단의 평균치가 X, 편차가 σ 라면 모집단의 평균치가 존재할 수 있는 범위는 99.7% 확율에서 n개 추출 평 균 : Μ 편 차 : σ N(Μ, σ²) X₁ X₂ X₃ Xn n개 추출 평균 : Μ 편차 : σ/ n N(Μ, σ/ n) n개 추출 면적 99.7% n개 추출 -3σ Μ +3σ • N(Μ, σ²)인 모집단에서 n개 취한 표본 집단들의 평균값은 Μ이고 평균값의 편차는 σ/ n이다 • 샘플개수 n이 증가할 수록 표본집단의 평균 X는 Μ에 수렴 σ σ 3× 3× X n n

41. 3.6 2.9 2.8 2.6 2.4 3.2 2.2 2.6 2.6 2.5 2.4 2.6 2.3 2.5 2.1 2.6 3.0 2.5 2.7 2.5 2.6 3.1 3.8 2.0 2.2 2.2 2.8 2.7 1.8 2.5 3.0 3.2 2.5 2.6 3.2 3.1 4.1 2.7 2.7 2.2 모집단 표 본 X의 신뢰구간은 ±2σ이나 σ가 미지의 양으로 표본집단의 편차 S값을 추정량으로 사용 N(Μ, σ²) Μ가 존재하는 범위(95%) 40개 χ = 2.217 S = 0.475 n = 40 χ = Σχi = 2.715 S = Σ(χi-χ)² = 0.475 Μ = 2.217이고 어떻게 표본을 골라도 95% 평균치가 검출되는 구간은 2.217 - 2× 0.475＜ Μ＜ 2.217 + 2× 0.475 2.067 ＜ Μ＜ 2.367 40 40 40 39 표본집단의 평균치, 편차에서 모집단의 평균치를 측정할 수 있음 사출 부품의 중량 모집단의 평균은?

42. X S X - Μ Z = σ/ n t 분 포의 이용 모집단의 편차를 아는 경우 모집단의 편차를 모르는 경우 (정규분포의 성질) 표본의 평균 값 모집단 모집단 n개 n개 N(Μ, σ²) X₁ X₂ Xn N(Μ, σ²) σ : DRI n개 N(Μ, σ²/ n) S는 알 수 있음 n개 추출 t 분 포 정 의 표본 X의 표준 정규 분포에서 σ를 표본으로 추정치 S로 대체하면 X - Μ t는 자유 n-1의 t 분포에 따른다 n이 크면 정규 분포로 수렴 표본 X의 표준 정규 분포는 t = S/ n

43. α α α α 2 2 2 2 α Z 2 α α α S α S χ - ＜χ＜χ+ Z Z t t 2 2 2 2 n n α Z 2 α t분포표에서 자유도가 14일 때 = t0.05 = 1.7 t 2 Z 분포/ t 분포의 차이 모집단의 정보에 따라 적용하는 분포가 틀려짐 Z 분포 t 분포 (모평균, 편차가 기지) (모평균을 모를 때) 자유도 n-1인 t분포 신뢰구간 1-α rd α α α 0 0 Z t t 2 2 2 σ σ χ - ＜χ＜χ+ n n 사 례 ABS의 강도의 편차는 8로 알려져 있는데 모집단의 평균은 잘 모른다 100개를 Sampling하여 Test해보니 평균치가 42.7이었다 모평균의 90% 신뢰구간은? 새로운 ABS를 개발하여 충격강도를 15회 측정하여 보니 평균이 39.3, 표준편차가 2.6이었다 새로운 ABS의 충격강도 Μ에 대해 90%신뢰구간은? = Z0.05 = 1.64 n = 15 : 자유도 14 Μ의 구간은 42.7± 1.64× 8/ 100 Μ의 구간은 39.3± 1.761× 2.6/ 15 = 42.7 ± 1.31 = 39.3 + 1.18

44. 2.5% 15 Z0.025 = -1.96 검정 통계량 : Zα＜ χ - Μ σ/ n -1.96 ＜ χ - 15 3/ 70 평균치의 검정(1) 모집단의 편차(σ)를 알고 있으면 Z값을 이용하여 검정 평균치 검정(Z 검정) Case AL사 C/S팀은 A/S 접수 후 처리가 평균 15시간, 편차 3시간 내에 처리하고 있다 C/S팀에서는 새로운 업무 절차를 만들어 처리 70건의 A/S 요청에 적용해 본 결과 시간을 단축하였다고 한다(편차는 같음) 이런 주장을 97.5% 신뢰 수준에서 받아들이려면 처리 시간은 얼마가 되어야 하나? Ho = Μ ≥ 15 Ha = Μ＜ 15 χ＜ 14.3 결론 : Test 평균이 14.3 시간 보다는 작아야 95%수준에서 단축되었다고 말할 수 있다

45. t = 194.8 - 200 = -1.25 13.14/ 10 t0.01 = -2.82 표본의 t값 = -1.25 평균치의 검정(2) 모집단의 편차를 모를 때는 t값을 이용하여 검정 평균치 검정(t 검정) Case 검정 통계량 : t = χ - Μ S / n 자동차 부품의 평탄도는 200㎛ 까지 허용된다 10개를 임의로 택해 Test하여 175, 190, 215, 198, 184 207, 210, 193, 196, 180 10개의 Data를 얻었다 이 부품 모집단의 평균치를 Μ, 편차를 σ로 할 때 가설은 Ho : Μ ＞200 Ha : Μ＜ 200이며 유의 수준 0.01에서 검정하면 표본집단 통계량 : χ = 194 S = 13.14 자유도 9, α = 0.01일 때 t값은 표에서 -2.82＜ -1.25 결론 : 주어진 표본의 Data로는 200 이하로 개선되었다 할 수 없다

46. 기각역 기각역 Ho Ha Ho Ha 한쪽 검정 Μ≤Μo Μ ＞Μo Z ≥ Za Μ≤Μo Μ ＞Μo t ≥ ta Μ≥Μo Μ＜ Μo Z ≤ Za Μ≥Μo Μ＜ Μo t ≤ ta α α 양쪽 검정 Μ = Μo Μ ≠ Μo Μ = Μo Μ ≠ Μo │Z│≥ Z │t│≥ t 2 2 χ - Μ χ - Μo Z = t = S / n S / n 평균치 검정(3) 모편차(σ)를 알 때 모편차(σ)를 모를 때 통계량

47. 모집단 확률 표본 n개 N(Μ, σ²) X₁ X₂ X₃ Xn 산포의 크기 σ² Σ(χi - χ)² χ² = Σ(χi-χ)² = (n-1)S² P[χ²0.975＜ (n-1)S²＜ χ²0.025] = 0.95 σ² σ² σ² 카이자승(χ²) 분포 정 의 특성/활용방법 확율 자유도 n-1인 함수 특성 : 긴 꼬리 비대칭 항상 양수 α α χ² χ1² χα² 활용방법 : 표본의 산포(S²)를 알고 모집단의 산포(σ²)를 추정할 때 95%에서 모집단 σ²의 신뢰구간을 구하려면 (n-1)S²＜ σ²＜ (n-1)S² = 0.95 P χ²0.025 χ²0.975

48. n - 1 = 9, 1-α = 0.9 5% 5% χ² χ²-α = χ²0.95 = 3.325 χ²-α = χ²0.05 = 16.919 2 2 카이자승(χ²) 분포의 이용(1) Case 전지는 전압이 균일하게 유지되어야 함 생산시 검사에 통과한 전지 10개를 10시간 사용 후 전압차이를 Test해보니 평균차이가 0.7V, 편차가 0.4V 였다 (편차가 큰 문제임) 이러한 차이가 정규 분포에 따른다고 가정할 때 모집단의 편차는 90% 신뢰 수준으로 얼마라고 말할 수 있는가? (n-1)S²(n-1)S² ＜ σ²＜ χ²0.05 χ²0.95 9×(0.4)²9×(0.4)² ＜ σ²＜ 16.919 3.325 0.085＜ σ²＜ 0.433 0.29＜ σ²＜ 0.66

49. Ho : σ = σ² Ha : σ²＞σ² (n-1)s² χ² = 검정 통계량 : σ² (10-1)(0.2)² = = 5.76 (0.25)² 5% 기각역 χ²0.95 = 3.325 표본의 χ²=5.76 카이자승(χ²) 분포의 이용(2) 카이자승 분포를 이용하여 표본의 분산이 모분산과 같은지를 검정할 수 있음 해 답 Case 앞의 전지 예에서 전해질의 처방을 변경하여 전압차의 편차를 0.2로 줄였다고 한다 (n = 10) 95% 신뢰수준에서 산포가 개선되었다고 할 수 있는가 전지 전압차의 편차는 0.25 이하로 관리되어야 한다 자유도 9, 95%에서 χ²0.95 = 3.325 5.76 ＞3.325 (Ho를 기각 개선되었다고 할 수 있음)

50. Σ(χi-χ)² Σ(Yi-Y)² S1² = S2² = n1-1 n2-1 F 분포 개념 F 분포는 두 집단의 산포를 비교하는데 이용됨 모집단 X 모집단 Y 표본집단 표본집단 N(μ1, σ1²) X₁ X₂ X₃ Xn1 N(μ1, σ2²) Y₁ Y₂ Y₃ Yn2 F 분포 S1²/σ1² F = 은 자유도 (n1-1, n2-1)인 F분포에 따른다 신뢰도 α에서 Fα (n1-1, n2-1) 값은 F표로 주어짐 S2²/σ2² 두 집단간의 모분산 비교는 표본의 분산을 이용 X, Y 두 집단의 분산이 동일한가 하는 가설은 σ1² Ho : = 1 σ2² 두 집단의 분산 검정 S1² σ₁, σ₂는 모르므로 표본집단의 S₁, S₂를 이용하여 값이 Fα(n1-1, n2-1) 값보다 크면 Ho를 기각 S2²