Fundamentals of GA Part 10

1. Fundamentals of GAPart 10 S. M. Vahidipour

2. Degree-Constrained MST • If we assume that there is a degree constraint on each vertex • dj: the degree of Vj

3. Heuristic Algorithm • 1. Finding a MST without a degree constraint • 2. Modifying the MST combined with a degree constraint • it is difficult to operate large scale problem • paper: • Narula and Ho, Degree-constrained MST,.., 1980 • Savelsberg, Local search for routing problem with time windowing, 1985. • Volgenant, A Lagrangean approach to the degree-constrained MST problem,…, 1989.

4. GA Implementation • a specific representation: Degree-based Permutation: It has two parts • The connectivity among vertices • The degree value of each vertex • A 2˟n matrix is needed to represent a chromosome for a n-vertex tree. • the vertex dimension: take the integers from 1 to n • the degree dimension: take the integer from 1 to b • Paper: A New Tree Encoding for the Degree-Constrained Spanning Tree ProblemZhou, et. al., Computational Intelligence and Security, 2007.

5. Degree-Based Permutation Encoding • گام اول:یک رأس (رأس ریشه) را در یک درخت برچسب دار به نام T انتخاب می کنیم. آن را به عنوان اولین رقم در بعد مربوط به رأس جایگشت، قرار می دهیم و درجه‏ی آن را به عنوان اولین رقم در بعد مربوط به درجه قرار می دهیم و این رأس را به عنوان رأس جاری در نظر می گیریم. • گام دوم: فرزندان رأس جاری را از چپ به رأست چک می کنیم. اگر فرزندی وجود داشت، آن را در بعد مربوط به رأس و درجه‏ی آن را در بعد مربوط به درجه قرار می دهیم و به گام 3 می رویم. اگر چنین رأسی وجود نداشت، رأس پدر را به عنوان رأس جاری در نظر می گیریم و به گام 2 می رویم. • گام سوم: اگر رأس فرزند، برگ نباشد آن را رأس جاری قرار می دهیم و به گام 2 می رویم و اگر برگ باشد آن را حذف کرده و به گام 4 می رویم. • گام چهارم: اگر همه‏ی رأس ها چک شده اند متوقف می شویم. وگرنه به گام 2 می رویم.

6. Degree-Based Permutation decoding

7. Degree-Based Permutation coding • any spanning tree can be encoded by the representation • any encoding represents a spanning tree • The relation between them may not be 1-to-1 • different encoding may present the same tree • small changes in the genotype make small changes in the phenotype: Locality

8. Initial population • the gene in this problem need to satisfy the following conditions: • For an n-vertex tree, the degree value for any vertex is at least 1 • total degree value for all vertices is 2(n-1)

9. X-over • Order X-over: it is operated only on the vertex dimension

10. Swap Mutation on Vertices

11. Insertion Mutation This operator can maintain a good heritage from generation to generation

12. Numerical Examples • Popsize=100, X-rate=0.4, M-rate(exchange=0.2 Insertion=0.6), Max-Gen=500 • five randomly generated instance. • The weights are generated randomly over [10,100] • The Lower bounds (LBs) are calculated using Prim’s by relaxing the degree constrained.

13. Results

14. Some Spanning Tree Coding • RPM (Randomized Primal Method) • Encoding Prüfer • Edge-Set (Direct Tree Encoding) • LNB (Link & Node Biased) • Determinant Encoding • NetKey (Network Random Key) • S/D Binary (Splicing/Decomposable) • Characteristic Vector • Predecessor Coding • CB-TCR (Cycle-Breaking Tree-Construction-Routine)

15. Edge Set • درخت پوشا مستقیما با مجموعه‏ی یال‏هایش نمایش داده می‏شود و هر یال نیز با دو رأسش در گراف مشخص می‏شود. • این کدینگ را می‏توان در ساختمان داده‏های گوناگونی مانند آرایه یک‏بعدی یا دوبعدی و یا Hash Table پیاده‏سازی کرد. • Paper:G. R. Raidl, B. A. Julstrom: Edge-Sets, An Effective Evolutionary Coding of Spanning Trees,…,2003

16. Link and Node Biased • :G(V , E) گراف کامل با n رأس و یک تابع هزینه‏ی C:V×V → R+. • یک رشته از اعداد صحیح در بازه‏ی [0-255] است که نشان‏دهنده‏ی Link biasها و Node biasها می‏باشد. • برای به دست آوردن درخت پوشای متناظر با این کدینگ، ابتدا با استفاده از رابطه زیر یک تابع هزینه‏ی جدید برای گراف به دست می‏آوریم. • Cmax:ماکزیمم هزینه‏ی اتصالات در گراف اولیه است • bi,j : Link bias مربوط به یال بین راس‏های i و j • bi:Node bias مربوط به نود i • p1 و p2 : پارامترهای کنترلی • با توجه به وزن‏های جدید یال‏های گراف، الگوریتم Prim را برای یافتن درخت پوشای کمینه اجرا می‏کنیم. درخت به دست آمده، متناظر با کرومزوم کدشده به وسیله‏ی LNB می‏باشد. • Paper: Sang-Moon Soak, A New Evolutionary Approach for the Optimal Communication Spanning Tree Problem,.., 2006.

17. CB-TCR (Cycle-Breaking Tree-Construction-Routine) • از جدیدترین کدینگ‏هایی که در عین سادگی، کارآیی بالایی دارد. • برای نمایش درخت پوشا از کرومزومی به طول 2(n-1) استفاده می‏شود که هر ژن آن عدد صحیحی بین 1 تا n است و یکی از رأس‏های گراف را نشان می‏دهد. • هر رأس باید حداقل یک بار در کدینگ ظاهر شود. • هر جفت ژن کنار هم در کرومزوم، یک یال را نشان می‏دهد. • Paper: Sang-Moon Soak, A New Evolutionary Approach for the Optimal Communication Spanning Tree Problem,.., 2006

18. CB-TCR-coding • از اولین ژن شروع کرده و یال‏ها را به ترتیب به زیردرخت اضافه می‏کنیم. • در صورت به وجود آمدن چرخه، یالی از چرخه که بیشترین هزینه را در گراف دارد، حذف می‏شود.

19. Encoding comparison • فضا: کرومزوم‏ها نباید مقدار زیادی از فضای حافظه را اشغال کنند. • زمان: پیچیدگی زمانی ارزیابی، ترکیب و جهش کرومزوم‏ها باید کم باشد. هنگامی که کرومزوم‏ها یک درخت پوشا را نشان می‏دهند، در ارزیابی یک جواب، ممکن است نیاز به رمزگشایی کرومزوم برای تعیین درخت متناظر با آن باشد. • Feasibility: همه‏ی کرومزوم‏ها خصوصا آنهایی که بعد از عمل ترکیب یا جهش تولید می‏شوند، باید جواب‏هایی را نشان دهند که ممکن و شدنی باشد. • Coverage: کدینگ باید قابلیت نمایش همه‏ی جواب‏های ممکن را داشته باشد. • Locality: یک کرومزوم جهش‏یافته معمولا باید جوابی را که شبیه به والدش باشد نشان دهد. در اینجا باید درختی را نشان دهد که دارای بیشترین یال‏های موجود در درخت پدر باشد. • Heritability: فرزند به وجود آمده از عمل ترکیب باید حاوی ترکیبی از زیرساخت‏های موجود در والدینش باشد. در اینجا فرزند باید درختی را نشان دهد که حاوی بیشترین یال‏های موجود در درخت‏های والد باشد. • Constraints: رمزگشایی کرومزوم‏ها و نیز عملگرهای ترکیب و جهش باید قابلیت این را داشته باشند که محدودیت‏های مشخص شده در مسأله را اعمال کنند. در اینجا می‏توان محدودیت درجه‏ی هر رأس در درخت را مثال زد

20. Encoding comparison