BAB 12

1. BAB 12 PROBABILITAS

2. Pengertian Probabilitas Kata Probabilitas sering dipertukarkan dengan istilah lain seperti peluang dan kemungkinan. Secara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi.

3. Probabilitas dinyatakan dengan bilangan desimal atau pecahan Contoh : 0,50 ; 0,25 ; 0,70 Nilai probabilitas berkisar antara 0 dan 1

4. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1, semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

5. Pendekatan Perhitungan Probabilitas Bersifat Obyektif Bersifat Subyektif Pendekatan Klasik Pendekatan Frekuensi Relatif

6. Pendekatan Klasik Didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan (peluang) yang sama

7. a. (12.1) b. (12.2)

8. S A A

9. Contoh 12.1 : Kepala pabrik mengatakan bahwa dari 100 barang produksinya, ada 25 yang rusak. Kalau barang dibungkus rapi, kemudian seorang pembeli mengambil satu barang secara acak. Berapakah probabilitasnya bahwa barang tsb rusak? Penyelesaian : Dari soal, n = 100 dan x = 25. dengan demikian,

10. Contoh 12.2 : Seorang Direktur Bank mengatakan bahwa dari 1000 nasabahnya terdapat 150 orang yang tidak puas dengan pelayanan Bank. Pada suatu hari kita bertemu dengan salah seorang nasabah. Berapa probabilitasnya bahwa nasabah tsb tidak puas? Penyelesaian : Dari soal, diketahui bahwa n = 1000 dan x = 150. jika A adalah nasabah yang tidak puas, maka:

11. Konsep Frekuensi Relatif Pendekatan yang mutakhir ialah perhitungan yang didasarkan atas limit dari frekuensi relatif, besarnya nilai yang diambil oleh suatu variabel juga merupakan kejadian. (12.3) Probabilitas suatu kejadian merupakan limit dari frekuensi relatif kejadian tersebut.

13. Contoh 12.3 : Sebuah studi yang dilakukan terhadap 750lulusan Sekolah Administrasi Bisnis dari suatu Universitas (dalam hal ini studi dapat dikatakan sebagai eksperimen). Studi ini menunjukkan bahwa 300 dari 750 lulusan tidak bekerja sesuai dengan bidang studi utama yang diambil di Universitas tsb. Misalnya, seorang mahasiswa akuntansi bekerja sebagai manajer pemasaran. Berapa probabilitas bahwa seorang lulusan administrasi bisnis akan bekerja di bidang yang bukan merupakan studi utamanya? Penyelesaian : Berdasarkan rumus di atas, maka dapat dihitung probabilitas terjadinya suatu kejadian :

14. Contoh 12.4 Pada suatu penelitian terhadap 65 karyawan yang bekerja di perusahaan swasta, salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah besarnya gaji/upah bulanan, yang digambarkan sbb : Tabel 12.1 Apabila kita kebetulan bertemu dengan salah seorang karyawan tsb, berapakah besarnya probabilitas bahwa upahnya 65 ribu rupiah? 105 ribu rupiah?

15. Tabel 12.1 n = jumlah karyawan = 65

16. Contoh 12.5 Diketahui bahwa nilai ujian Statistik mahasiswa Universitas Tarumanegara (X) adalah sbb : Tabel 12.2 Kalau kita bertemu dengan salah seorang mahasiswa dari sekelompok mahasiswa tsb, berapakah probabilitasnya bahwa dia mendapat nilai 25 < X < 50 ; 50 < X < 75 dan X ≥ 75 ?

18. Contoh 12.6 Suatu eksperimen dilakukan dengan jalan melemparkan mata uang logam Rp 50 secara berulang-ulang. Mata uang tsb mempunyai dua sisi gambar, yaitu sisi yang satu berupa gambar burung (B) dan sisi sebelahnya bukan burung ( ) Jika: X1 = kejadian melihat B X2 = kejadian melihat n = banyaknya lemparan mata uang. Tabel 12.3

19. Untuk n = 10 P(X1) = 0,8  log 10 = 1 Untuk n = 100 P(X1) = 0,6  log 100 = 2 Untuk n = 1.000 P(X1) = 0,45  log 1.000 = 3 Untuk n = 10.000 P(X1) = 0,549  log 10.000 = 4 Untuk n = 100.000 P(X1) = 0,5249  log 100.000 = 5

20. Probabilitas Subyektif Probabilitas Subyektif didasarkan atas penilaian seseorang dalam menyatakan tingkat kepercayaan. Jika tidak ada pengamatan masa lalu sebagai dasar, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subyektif.

21. Kejadian / peristiwa dan notasi Himpunan Eksperimen melempar mata uang logam Rp 50 sebanyak 2 kali Hasil eksperimen salah satu dari 4 kemungkinan 1 2 3 4 Hasil yang berbeda dari suatu eksperimen disebut titik sampel Himpunan dari seluruh kemungkinan hasil disebut ruang sampel

22. Tabel 12.4 Ruang sampel untuk eksperimen Pelemparan 2 dadu II I I = dadu pertama II = dadu kedua 23 = dadu pertama 2 dadu kedua 3

24. Ruang sampel suatu eksperimen mempunyai 2 syarat : • Dua hasil atau lebih tidak dapat terjadi secara bersamaan / • saling meniadakan (mutually exclusive event) • misalnya, melempar mata uang satu kali hasilnya atau • tidak bisa • 2. Harus terbagi habis (exhaustive). Artinya, ruang sampel harus • memuat seluruh kemungkinan hasil, tidak ada yang terlewat. • misalnya, jika melempar mata uang satu kali, maka ruang sampel (S) • adalah

26. Mata uang logam Rp 50 dilempar sebanyak 3 kali maka akan diperoleh ruang sampel 23 1 2 3 4 5 6 7 8 Kalau X = jumlah gambar burung ( B ) untuk 3 kali lemparan

28. Tabel 12.6 Tabel 12.5

29. Kalau kita melempar dadu sebanyak 2 kali (dapat juga 2 dadu dilempar sekali) dan kalau X adalah jumlah mata dadu tersebut, maka : X = 2 terjadi 1 kali (11 = 1 dan 1) X = 3 terjadi 2 kali (21, 12) X = 4 terjadi 3 kali (31, 22, 13) X = 5 terjadi 4 kali (41, 32, 23, 14) X = 6 terjadi 5 kali (51, 42, 33, 24, 15) X = 7 terjadi 6 kali (61, 52, 43, 34, 25, 16) X = 8 terjadi 5 kali (62, 53, 44, 35, 26) X = 9 terjadi 4 kali (63, 54, 45, 36) X = 10 terjadi 3 kali (64, 55, 46) X = 11 terjadi 2 kali (65, 56) X = 12 terjadi 1 kali (66)

30. Tabel 12.7

32. Dimana 1 dan 2 merupakan himpunan bagian Dimana 0 dan 1 merupakan himpunan bagian

33. Misalnya A = mendapatkan 1B (satu burung), berarti A terdiri dari 2 elemen yaitu Kejadian yang terdiri dari satu elemen dalam Ruang Sampel S, disebut kejadian elementer (elementary event)

34. Probabilitas memiliki batas mulai 0 sampai dengan 1 ( 0  P(Si)  1 ) • Jika P(Si) = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi. • Jika P(Si) = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi. • Jika 0  P(Si) 1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

35. A. HIMPUNAN 1.Pengertian Himpunan. • Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. • Setiap objek yang secara kolektif membentuk himpunan, disebut elemen atau unsur atau anggotahimpunan. B = {1,2,3,4,5}

36. 2.Penulisan Himpunan • Dalam Statistik, himpunan dikenal sebagai populasi. • Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung kurawal{}, dan dinyatakan dengan huruf besar: A, B,... • Anggota himpunan ditulis dengan lambang , bukan anggota himpunan dengan lambang .

37. Himpunan dapat ditulis dengan 2 cara : • Cara Pendaftaran  Diskrit Unsur himpunan ditulis satu persatu/didaftar Contoh : A={a,i,u,e,o} , B={1,2,3,4,5} • Cara Pencirian  Kontinyu Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat / ciri-ciri himpunan tsb. Contoh : A={ X : x huruf hidup } B={ X : 1  x  5 }

38. 3. Macam-macam Himpunan a.Himpunan Semesta • Himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan atau menjadi objek pembicaraan. • Dilambangkan S atau U. • Contoh : S=U={a,b,c,…..} S=U={ X : x bilangan asli}

39. b.Himpunan Kosong. • Himpunan yang tidak memiliki anggota. • Dilambangkan { } atau .

40. Contoh : c.Himpunan Bagian. • Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain. • Dilambangkan . • Dalam statistik himpunan bagian merupakan sampel. • Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap unsur A merupakan unsur B, atau A termuat dalam B, atau B memuat A. • Dilambangkan : A  B.

41. Diagram Venn Himpunan Bagian • 2 • 3 4 5

42. Komplemen Kejadian / event terdiri antara lain : 1. Kejadian komplementer 2. Interseksi (perpotongan) 3. union (gabungan) • Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan. • Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau

43. Peraga 12.4 Diagram Venn Komplemen S A A

44. Operasi Irisan (interseksi) • Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B. • Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.

45. Diagram Venn Operasi Irisan Peraga 12.5

46. Rp 100.000 0 Misalnya A adalah jumlah uang yang dapat digunakan (yang tersedia) bagi seorang ibu rumah tangga untuk berbelanja selama bulan Juli B = besarnya pengeluaran ibu rumah tangga tsb pd bulan Juli milik A dan juga milik B

47. Kalau misalnya penghasilan suami dari ibu rumah tangga tsb meningkat, sehingga B = besarnya pengeluaran ibu rumah tangga tsb pd bulan Juli 0 Rp 100.000 Rp 175.000 A

48. 0 5 10 A

49. Gabungan (Union) dua kejadian • Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B. • Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. • A  B ={X:x  A, x  B, atau x  AB }

50. Diagram Venn Operasi Gabungan Peraga 12.6