Aplicaţii ale integralei definite

1. Aplicaţii ale integralei definite Cum ar fi viaţa mea fără matematică? Aria suprafeţelor plane

2. 1.Aria unei suprafeţe plane [a,b] Fie f: [0; ) o funcţie continuă. Reamintim cele două moduri de abordare a problemei ariei mărginită de curba y=f(x), axa Ox şi dreptele verticale x=a şi x=b(fig.1 a) Figura 1 Pentru a calcula aria A se împarte figura în benzi verticale(fig1 b) şi fiecare bandă se aproximează cu aria unui dreptunghi. În final se face suma ariilor dreptunghiului. Această operaţie ne dă o aproximare a ariei A, care este cu atât mai bună cu cât numărul dreptunghiurilor este mai mare.

3. = 2. Subgraficul unei funcţii continue si pozitive Dacă f:[a,b] R este o funcţie continuă, pozitivă, atunci mulţimea cuprinsă între graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x=a şi x=b se notează cuşi se numeşte subgraficul funcţiei f, figura 1.

4. R este o funcţie continuă si pozitivă, iar: = , are arie şi aria ( ) = 2.2. Aria subgraficului unei funcţii continue. Teoremă. Dacă f:[a,b] este subgraficul funcţiei f, atunci mulţimea Comentarii • Dacă f(x) 0, graficul funcţiei f este situat • deasupra axei Ox aria ( ) 0; 2) Dacă f(x) 0, graficul funcţiei f este situat sub axa Ox Aria ( ) = - .

5. dx= dx= 3. Aria subgraficelor. Probleme rezolvate Exemplu Să se calculeze aria figurii determinate de graficul funcţiei f:[-2,2]→R,f(x)=x², axa 0x şi dreptele x=-2, x=2 (Fig 3). Soluţie. Aria cerută este egală cu aria Observaţie Regiunea haşurată este simetricăîn raport cu axa 0y (funcţia este pară). Deci aria

6. a) 2 0 2 b) Aria 3 2 Cerinţă: Să se determine ariile subgraficelor funcţiilor: Figura 5 Rezolvare: Rezolvare: Figura 6 Aria

7. c) d) Rezolvare: Figura 7 Aria Rezolvare: Aria Figura 8

8. = 4. Aria suprafeţei plane cuprinsăîntre graficele a două funcţii continue Dacă f,g: [a,b] R sunt funcţii continue astfel încât: f(x) g(x), x [a,b] atunci mulţimea cuprinsă între graficele funcţiilor f şi g şi dreptele de ecuaţii x=a şi x=b notată cu = are arie si aria Figura 12 1.În general dacă f,g: → R sunt funcţii continue atunci aria suprafeţei plane cuprinsăîntre graficele funcţiilor f, g şi dreptele de ecuaţii x=a ,x=b este aria = . 2. Dacă , atunci aria

9. 4.1. Aria suprafeţei plane cuprinsăîntre graficele a două funcţii continue. Probleme rezolvate 1. Să se determine aria suprafeţei plane mărginite de graficele funcţiilor Soluţie: Reprezentările geometrice ale graficelor celor două funcţii sunt redate în figura 13. Aria 2. Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între axa Ox şi imaginea geometrică a graficului funcţiei Soluţie: Imaginea geometrică a graficului funcţiei f este redatăîn figura 16. Aria suprafeţei plane haşurate este:

10. 5. Aria unei suprafeţe plane. Probleme rezolvate Cerinţă: Să se determine aria suprafeţei plane pentru: a) Figura 9 Soluţie: Expresia f(x) se explicitează astfel: { 1-x, x [-1,1] x-1, x (1,2] Subgraficul este reprezentat în figura 9. În acest caz, aria

11. { [0,1] b) (1,2] Soluţie: Subgraficul este reprezentat în figura 10. Aria

12. Cerinţă: Să se determine aria cuprinsă între graficul lui , axa Ox şi dreptele x=1,x=2 (Fig.5). Soluţie. Observăm cădacă Deci aria

13. 6.Aria unei regiuni cuprinse între graficul lui f, axa Ox şi dreptele x=a, x=b Dacăeste continuă, atunci aria mulţimii A delimitată de graficul lui ,axa Ox şi dreptele x=a, x=b este egală cuaria (Fig.6)

14. { Exemplu.Săse calculeze aria mulţimii A determinate de graficul lui ,axa Ox şi dreptele x=0, x=2 (Fig.7) SoluţieAria cerută este egală cu aria ,unde Deci aria (A)=aria(A1)+(A2)=

15. Cum ptr. x [4,5], Soluţie:Ecuaţia f(x)=6 are soluţiile şi rezultă că aria căutată este: Soluţie: Dacă x , cosx deci În concluzie pentru x . Atunci aria căutată va fi: 3. Fie Să se calculeze aria mulţimii cuprinse între graficul funcţiei şi axa Ox. 7.Probleme rezolvate • Fie • a) Să se determine aria limitată de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele x=0 şi x= Soluţie: 2.Să se calculeze aria figurii delimitate de graficul funcţiei şi de dreapta y=6.

16. { 5. Să se calculeze aria figurii delimitate de graficul funcţiei şi dreptele şi Se observă că pentru deci aria este: Soluţie:Observăm că pentru Rezultă că aria căutată este 6.Fie si . Să se calculeze aria mulţimii cuprinse între graficele funcţiilor f şi g. 4.Se dă funcţia definită prin Să se calculeze aria suprafeţei mărginite de dreptele x=-2, x=2, axa Ox şi graficul funcţiei. Soluţie: Se impune explicitarea funcţiei: ecuaţia are soluţia Aria căutată este:

17. { 8.Fie definită prin: . Să se afle aria cuprinsă între graficul f, axa Ox şi dreptele Soluţie: Pentru şi, deci, sin Rezultă că aria cerută este Vom calcula o primitivă a funcţiei: 7. Să se determine aria mărginită de graficul funcţiei ,axa Ox şi dreptele Solutie:Cum ,aria căutată este: . Prin urmare:

18. 8. Probleme propuse 1. Se consideră funcţiile date prin şi • Să se calculeze aria suprafeţei plane determinate de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele şi 2. Se consideră funcţia , a)Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele şi . 3.Pentru se consideră funcţiile definite prin si a)Să se calculeze aria suprafeţei plane mărginită de graficul funcţiei axa Ox şi dreptele de ecuaţii si 4.Se consideră funcţia a)Să se determine numărul realastfel încât aria suprafeţei plane determinată de graficul funcţieif, axa Ox, dreptele de ecuaţii si să fie egală cu

19. 8.Se consideră funcţia definită prin 7.Se consideră funcţiile şi definite prin 6.Se consideră funcţiile • . • Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g, axa Ox şi dreptele de ecuaţii şi 5.Se consideră funcţiile defintie prin şi • Să se determine aria suprafeţei plane cuprinsă între graficul funcţiei F, axa Ox şi dreptele de ecuaţii şi şi • a)Să se determine aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei g, axa Ox şi dreptele de ecuaţii şi • Să se calculeze aria suprafeţei plane cuprinse între graficul funcţiei f, axa şi dreptele de ecuaţii şi

20. Bibliografie • Matematică- Manual pentru clasa a XII-a, Marius şi Georgeta Burtea, Editura Carminis • Matematică- clasa XII- Culegere de probleme, B.Enescu, L.Vlaicu, Editura Europontic • Matematică- Manual pentru clasa a XII-a, Mircea Ganga, Editura Mathpress • http://www.ideiindialog.ro/articol_167/umanismul_matematicii.html • www.math.msu.edu/~mshapiro/KidMath/KidMath.html

21. Realizatori 1.Adalinean Paula Iulia 2.Căpâlnă Tamara Eunicia 3.Crişan Roxana Veronica 4.Marian Andrada Bianca 5.Pălii Mirel Ionuţ 6.Ştef Camelia Mirela