Download
1 / 10
130 likes | 607 Views
Złoty podział odcinka. Co to jest złoty podział odcinka?.
E N D
Co to jest złoty podział odcinka? Złoty podział, podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi").
Gdzie wykorzystujemy złoty podział odcinka? Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.
Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika: czyli: Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego: Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste: Jedno z nich jest dodatnie: Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:
Związek złotej liczby z liczbami Fibonacciego. Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,… co daje kolejno: Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001. Definicja rekurencyjna powyższego ciągu ma postać:
Występowanie złotej liczby. Punkt przecięcia przekątnych w pięciokącie foremnym dzieli je według złotego podziału. Korzystając z twierdzenia Ptolemeusza*(opisuje czworokąt wpisany w krąg , jego sformułowanie oraz dowód można przypisać Klaudiuszowi Ptolemueszowi ,starożytnemu i wybitnemu astronomowi i matematykowi) można wykazać, że bok a pięciokąta foremnego stanowi złotą część jego przekątnej b : Bok dziesięciokąta foremnego ma długość równą długości dłuższego odcinka otrzymanego ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie. Złoty podział odcinka w pięciokącie foremnym
Przykład konstrukcji złotego podziału Kolejne kroki konstrukcji: Zbuduj kwadrat o dowolnie wybranym boku a . Znajdź środek jednego z boków kwadratu (na rysunku jest to środek dolnego boku). Weź odcinek łączący środek boku z końcem boku przeciwległego (na rysunku – odcinek c ) i odłóż go ze środka boku na prostej, w której zawiera się ten bok (czynność na rysunku zaznaczona łukiem okręgu). Część odłożonego odcinka, wystająca poza bok kwadratu, wyznacza szukaną długość b. Odcinek ten wystarczy odłożyć w boku wyjściowego kwadratu Długości początkowego odcinka i znalezionego pozostają w złotym stosunku, wyznaczają więc złoty podział.
*Twierdzenie Ptolemeusza (Teza): Teza: W dowolnym czworokącie ABCD wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków: Dla czworokątów, które nie dają się wpisać w okrąg, iloczyn długości przekątnych jest mniejszy od sumy iloczynów długości boków przeciwległych. Jest to tzw. nierówność Ptolemeusza:
*Twierdzenie Ptolemeusza (Dowód): Weźmy dowolny czworokąt ABCD wpisany w okrąg. Umieśćmy punkt K na przekątnej AC tak, że półprosta BK przecina przekątną AC tak, aby <ABD=<KBC. W wyniku tego otrzymaliśmy trójkąty ABD i KBC.
