Złota liczba

1. Złota liczba Wykład inauguracyjnyKlub Gimnazjalisty

2. Złoty podział • Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). • Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. • Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

3. W starożytności • Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. • złoty podział uważali za proporcję doskonałą. • stosowali go w architekturze i sztuce.

4. Parthenon na Akropolu • fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie • plan świątyni jest złotym prostokątem

5. Apollo Belwederski • Twórcą rzeźby byłLeochares (IV wiek pne.) • Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji, • linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia, • linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.

6. Renesans • okres wielkiej fascynacji antykiem, • złota proporcja nazywana jest boskąproporcją (divina proportio), • powstaje traktat matematyczny „O boskiej proporcji” Luca Pacioli (1509r.), • ilustracje do traktatu wykonuje Leonarda da Vinci – mistrz proporcji i  perspektywy.

7. Rysunek Leonarda da Vinci Kanon proporcji

8. Złote cięcie w przyrodzie • Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

9. a + b a a b a b a + b Złoty podział odcinka • Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. • liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ(fi)).

10. złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: dokładna wartość: przybliżona wartość: kwadrat złotej liczby: odwrotność złotej liczby: dokładna wartość: przybliżona wartość: Wzory i zależności

11. Własności złotej liczby • Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. • Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. • Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. (Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego).

12. Leonardo Fibonacci • Podróżnik i kupiec z Pizzy • Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.), • Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego, • Autor słynnego zadania o królikach.

13. Zadanie Fibonacciego:Ile par królików może spłodzić jedna para w ciągu roku, jeśli • każda para rodzi nową parę w ciągu miesiąca, • para staje się płodna po miesiącu, • króliki nie zdychają?

14. W jaki ciąg układają się liczby par królików w kolejnych miesiącach?

15. Ciąg Fibonacciego • 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … • Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego, • pierwszy i drugi wyraz to 1,każdy następny to suma dwóch poprzednich, • postać rekurencyjna ciągu (fn – n-tywyraz ciągu):

16. Ciąg Fibonacciego a złota liczba • Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby:3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… • Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta:

17. Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. Liczby Fibonacciego w przyrodzie

18. Ananas 8 i 13

19. Słonecznik

20. Złoty prostokąt • W złotym prostokącie stosunek długości do szerokości jest złotą liczbą

21. a - b b b a Złoty prostokąt • Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem

22. Dwudziestościan foremny • Wierzchołki trzechwzajemnie do siebie prostopadłych złotych prostokątów wpisanych w dwudziestościan foremny znajdują się w 12 wierzchołkach tego wielościanu.

23. Dwunastościan foremny • Wierzchołki trzech wzajemnie do siebie prostopadłych złotych prostokątów wpisanych w dwunastościan foremny znajdują się w środkach ścian tego wielościanu.

24. Spirala • kolejne punkty wyznaczające złoty podział leżą na spirali równokątnej

25. Liczby Fibonacciego a złoty prostokąt 2 3 1 1 8 5

26. C 36º D 36º 36º A B Złoty trójkąt • trójkąt równoramienny, w którym stosunek ramienia do podstawy jest równy złotej liczbie to złoty trójkąt. • w złotym trójkącie kąt między ramionami ma 36°.

27. Pięciokąt foremny • wszystkie boki równe • wszystkie kąty równe, • wszystkie przekątne równe, • każda przekątna jest równoległa do jednego  boku.

28. D G H C E F K L A B

29. Pięciokąt foremny a złota liczba • punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział. • przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem. • złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył i udowodnił Hippasus (V wiek pne).

30. Dziesięciokąt foremny • W dziesięciokącie foremnym bok ma długość równą długości dłuższego z odcinków wyznaczonych przez złoty podział promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie. • Dziesięciokąt foremny można podzielić na 10 złotych trójkątów mających wspólny wierzchołek w środku okręgu opisanego na tym wielokącie.

31. Pentagram • pięciokąt foremny gwiaździsty • gwiazda pitagorejska • godło Bractwa Pitagorejczyków • symbol doskonałości według Pitagorejczyków.

32. Jak narysować pentagram? • przedłużyć w obie strony boki pięciokąta foremnego, • narysować łamaną złożoną ze wszystkich przekątnych pięciokąta foremnego.

33. Własności pentagramu • miara kąta w wierzchołku pentagramu jest równa 36º. • suma kątów przy wierzchołkach pentagramu wynosi 180°. • we wszystkich punktach skrzyżowania promieni gwiazdy pitagorejskiej jest złote cięcie. • złotemu podziałowi podlega cały promień gwiazdyoraz jego dłuższa część powstała w wyniku podziału.

34. Literatura • Śladami Pitagorasa – Szczepan Jeleński • Ścieżki matematyki – Nigel Langdon i Charles Snape • Przez rozrywkę do wiedzy – Stanisław Kowol • Księga liczb – John Conway i Richard Guy • Liczby i algorytmy – Krystyna Dałek