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Cap. 4. Deformação

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Cap. 4. Deformação. 1. Deslocamento 2. Gradiente de deformação 2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar 2.2 Significado físico da rotação pura 3. Tensor de deformação de Lagrange 4. Tensor das pequenas deformações 4.1 Caracter tensorial das deformações

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Presentation Transcript
slide1

Cap. 4. Deformação

1. Deslocamento

2. Gradiente de deformação

2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar

2.2 Significado físico da rotação pura

3. Tensor de deformação de Lagrange

4. Tensor das pequenas deformações

4.1 Caracter tensorial das deformações

4.2 Teoria geometricamente linear

4.3 Significado físico das pequenas deformações

4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)

4.3.2 Variação do ângulo

4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)

4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário

5. Deformação volúmica

6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas

7. Equações de compatibilidade

8. Forma matricial das equações introduzidas

9. Estados de deformação

10. Vector das deformações

slide2

Cada vizinhança dos pontos interiores do MC depois da aplicação

do carregamento muda:

a sua posição (translação e rotação)

o seu volume (parte volúmica do tensor da deformação)

a sua forma (parte desviatórica do tensor da deformação)

1. Deslocamento

Deformação é outra das repostas do MC ao carregamento

vector que liga a posição inicial com a posição final, de cada ponto do MC

não é preciso definir uma vizinhança para poder definir o vector de deslocamento

Deslocamento é “visível”, pode-se medir, pelo menos na superfície,

ao contrário de tensão, que é a nossa ficção

slide3

Os dois pontos têm as coordenadas no referencial 0xyz,

assim o vector que os liga tem as componentes:

analogamente

Não há deformação, comportamento do corpo rígido

2. Gradiente de deformação

Escolhe-se ponto P,

e Q na vizinhança

elementar de P

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expansão de Taylor

2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar

Para definir a deformação precisa-se apenas a variação de forma e de volume,

por isso tem que se eliminar de {Δs’} a translação e a rotação do corpo rígido

Posição

Forma e volume

p. desviatórica

Translação

p. volúmica

Rotação

Deformação

slide5

Translação pura

Rotação pura

Deformação pura

slide7

Desprezando a condição

As componentes do tensor de rotação têm significado físico da rotação

do corpo rígido, quando as componentes << 1

Recorda-se que a matriz [B] corresponde a rotação de base de um referencial.

Das relações em cima:

Rotação finita tem que usar

funções trigonométricas

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3. Tensor de deformação de Lagrange

Alternativamente, exprimindo a diferença entre os quadrados das normas

dos comprimentosnovos e originais, obtém-se directamente a deformação,

ou seja já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas

Tensor de deformação

de Lagrange

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Quando componentes do gradiente de deformação

Deformações principais, direcções principais, circunferência de Mohr, quádricas, ...

4. Tensor das pequenas deformações

JosephLagrange (1736-1813)

Termo de ordem maior,

ou seja desprezável

chama-se tensor das pequenas deformações

4.1 Caracter tensorial das deformações

Lei do quociente: derivando o vector (tensor da 1ª ordem)

obtém-se um tensor da 2ª ordem

são tensores simétricos, como se viu da definição

Pode-se usar toda a teoria desenvolvida para tensores simétricos:

A rotação [ω] é tensor da 2ª ordem, antissimétrico

slide10

quando

, usa-se então

Teoria dos pequenos deslocamentos

pequenas deformações

As componentes de deformação não têm unidade, às vezes usa-se μ=10-6

4.2 Teoria geometricamente linear

Teoria das pequenas deformações

A teoria das pequenas deformações não impede deslocamentos grandes

a limitação de grandeza é aplicada apenas para as derivadas

Exemplos: translação pura, rotação pura

Não se distingue a posição inicial e a final do MC, superfície do MC assume-se

igual antes a depois da aplicação da carga, as equações de equilíbrio escrevem-se

para a forma não-deformada.

Chama-se teoria geometricamente linear

Igualmente teoria da I ordem

Teoria da II ordem

Estabilidade

As equações de equilíbrio (e distribuição dos esforços internos)

escrevem-se na forma deformada

slide11

4.3 Significado físico das pequenas deformações

4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão)

Extensão, ou seja

Componente normal

L infinitesimal

A definição corresponde à variação

do comprimento projectado

na direcção original

ângulo é pequeno

Extensão tem significado físico de variação relativa do comprimento

Positiva quando aumenta o comprimento

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Prova

Assume-se uma fibra alinhada com eixo coordenado x

de comprimento original Δx, ou seja

Queremos provar, que:

Para as pequenas deformações temos:

Voltando a relação anterior:

pequeno

slide13

Assume-se ângulo formado pelas duas fibras definidas pelos versores ,

4.3.2 Variação do ângulo

Não depende do referencial

Pode-se provar que

Exprime-se o produto interno dos versores depois da deformação

slide14

Ângulo originalmente recto

Exprime-se novamente o produto interno dos versores depois da deformação

Comparando

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4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)

Distorção

Componente tangencial, angular

Pode-se provar, que

Na figura é importante introduzir todas as variações nos sentidos positivos,

assim os dois ângulos são positivos e somam-se

A distorção é positiva, quando o ângulo diminui-se

Já foi provado, que

Introduzindo ,

slide16

Assim a componente tensorial corresponde à média dos dois ângulos

Roda o eixo azul do ângulo que fazem os braços depois da deformação (azuis)

pelo positivamente, até atingir o eixo do ângulo recto (vermelho)

Componente tensorial

Distorção “de engenharia”

tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto

A representação da deformação angular “pura” tem que ser de modo que cada um dos ângulos correspondesse a esta média, ou seja tem que se

retirar a rotação do corpo rígido

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inicial

4.3 Representação geométrica no quadrado elementar unitário

deformação

Ajustar os ângulos

rotação

B’

C’

C

A’

translação

Rectângulo

elementar

B

A

Retira-se a translação e a rotação, dimensões

unitárias elementares (infinitesimais)

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Paralelepípedo elementar: volume inicial:

Deformação volúmica:

Campo do deslocamento linear

Campo de deformações uniforme

Planos transformam-se para planos, rectas para rectas

5. Deformação volúmica

Referencial principal

Ângulos rectos transformam-se para ângulos rectos (distorções são nulas)

Volume depois da deformação:

Variação do volume:

Separação em parte volúmica e desviatórica, parte desviatórica tem o 1. invariante=0, ou seja a parte desviatórica não causa uma alteração de volume

As distorções não causam alterações de volume, apenas de forma

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Comprimento novo: L+ΔL

Sabemos: incógnitas:

Base de medição: L

Devido ao sistema de coordenadas introduzido:

6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas

As medições têm que corresponder a

1 ponto ou a distribuição das deformações

têm que ser uniforme

Podem-se medir apenas as extensões

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deslocamentos

deformações

deslocamentos

deformações

???

7. Equações de compatibilidade

Equações de integrabilidade

6 componentes da deformação versus 3 componentes do deslocamento

Verificação da possibilidade física

Meio contínuo é contínuo após deformação, ou seja, juntando cada paralelepípedo deformado não haverá espaços vazios

Mais duas equações pela

“permutação” positiva

Mais duas equações pela

“permutação” positiva

Em 2D

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, 1797 - 1886

slide21

8. Forma matricial das equações introduzidas

Componentes de tensão

e deformação na forma vectorial

introduzindo

Equações deformações - deslocamento

Equações de equilíbrio

Equações de compatibilidade

introduzindo

slide22

Vector das tensões

introduzindo

Equações de equilíbrio

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9. Estados de deformação

Homogéneo ou uniforme:

as componentes do tensor das deformações não variam com a posição

são constantes, por isso o campo dos deslocamentos é linear

deformação

volúmica pura

distorção pura

mas com a rotação

extensão pura

distorção pura

10. Vector das deformações

Componentes cartesianas não se usam muito

Componentes intrínsecas

Componente normal equivale a extensão

da fibra na direcção definida por {n}

Não dependem do referencial

Não se usa a componente tangencial, mas a variação

do ângulo entre as fibras originalmente rectas

definidas pelos versores ,