אלגוריתמים נבחרים בתורת הגרפים

1. אלגוריתמים נבחרים בתורת הגרפים עצים סדורים – מספרי קטלן

2. מספרי קטלן • 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, …

3. מספרי קטלן • המטרה:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם nקודקודים שווה למספר קטלן Cn. • בעצם מדברים על קונפיגורציות שונות של עצים בינאריים. • תזכורת: • עץ מצבי:עץ מכוון בעל התכונות הבאות: • לכל קשת בעץ משויכת אחת מאותיות א"בנתוןΣ = {0, 1, 2, ….., σ-1}. • לקשתות שונות היוצאות מאותו קודקוד משוייכות אותיות שונות. • מספר הקשתות המקסימלי היוצא מקודקוד הוא לכל היותר σ. (יכול להיות קטן מ- σ. למשל, לעלה אין בנים).

4. מספרי קטלן • המטרה:להוכיח כי מספר העצים הבינארייםהמצביים עם nקודקודים שווה למספר קטלן Cn. • השלבים: • נגדיר את המושג "סדרה סדורה היטב של סוגריים". נראה כי מספר הסדרות הסדורות היטב עם n סוגרים שמאליים ו n - סוגרים ימניים שווה למספר קטלן Cn. • נגדיר את המושגים "עץ סדור" ו"יער סדור". • נראה התאמה חח"ע בין קבוצת הסדרות הסדורות היטב עם n סוגרים שמאליים ו- n סוגרים ימניים לבין קבוצת היערות הסדורים עם n קודקודים. • נראה התאמה חח"ע בין קבוצת היערות הסדורים עם n קודקודים וקבוצת העצים המצביים עם n קודקודים.

5. מספרי קטלן • המטרה:להוכיח כי מספר העצים הבינארייםהמצביים עם nקודקודים שווה למספר קטלן Cn. • השלבים: • נגדיר את המושג "סדרה סדורה היטב של סוגריים". • "סדרה סדורה היטב של סוגריים":(הגדרה רקורסיבית) • הסדרה הריקה סדורה היטב. • אם A ו- B הן סדרות סדורות היטב של סוגריים אזי גם AB (שרשור הסדרות) היא סדרה סדורה היטב. • אם A סדורה היטב אזי גם (A) סדורה היטב. • לא קיימות סדרות סדורות היטב אחרות.

6. מספרי קטלן • המטרה:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם nקודקודים שווה למספר קטלן Cn. • השלבים: • נגדיר את המושג "סדרה סדורה היטב של סוגריים". נראה כי מספר הסדרות הסדורות היטב עם n סוגרים שמאליים ו n - סוגרים ימניים שווה למספר קטלן Cn. • משפט (לא נוכיח. נשתמש בו מיד):סדרת סוגריים היא סדרת סוגריים סדורה היטב אם ורק אם היא מכילה מספר זוגי של סוגרים, מחציתם שמאליים ומחציתם ימניים, ובתהליך קריאת הסדרה משמאל לימין מספר הסוגרים הימניים קטן או שווה ממספר הסוגרים השמאליים שנקראו.

7. מספרי קטלן • המטרה:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם nקודקודים שווה למספר קטלן Cn. • השלבים: • נגדיר את המושג "סדרה סדורה היטב של סוגריים". נראה כי מספר הסדרות הסדורות היטב עם n סוגריים שמאליים ו n - סוגרים ימניים שווה למספר קטלן Cn. • נראה כי קיימת התאמה חח"ע בין הסדרות שאינן סדורות היטב בעלות n סוגרים שמאליים וn - סוגרים ימניים וכל הסדרות עם n-1 סוגרים שמאליים ו-n+1 סוגרים ימניים.

8. מספרי קטלן • נראה כי קיימת התאמה חח"ע בין הסדרות שאינן סדורות היטב בעלות n סוגרים שמאליים וn - סוגרים ימניים וכל הסדרות עם n-1 סוגרים שמאליים ו-n+1 סוגרים ימניים. • ההתאמה: • כוון 1:תהי p1p2…p2n סדרת סוגריים עם בעלות n סוגרים שמאליים ו n - סוגרים ימניים שאינה סדורה היטב. על-פי המשפט לעיל, בתהליך קריאת הסדרה משמאל לימין מספר הסוגרים הימניים גדול ממספר הסוגרים השמאליים שנקראו. יהי j השלם הקטן ביותר שעבורו מספר הסוגרים הימניים גדול ממספר הסוגרים השמאליים בסדרה p1p2…pj. בסדרה זו מספר הסוגרים הימני גדול ב- 1 ממספר הסוגרים השמאליים. עבור כל i>j נהפוך את הסוגרים השמאליים לימניים ואת הימניים לשמאליים. בסדרה החדשה קיימים n-1 סוגריים שמאליים ו-n+1 סוגרים ימניים.

9. מספרי קטלן • נראה כי קיימת התאמה חח"ע בין הסדרות שאינן סדורות היטב בעלות n סוגריים שמאליים וn - סוגרים ימניים וכל הסדרות עם n-1 סוגריים שמאליים ו-n+1 סוגרים ימניים. • ההתאמה: • כוון 2:תהי p1p2…p2n סדרת סוגריים עם n-1 סוגריים שמאליים ו-n+1 סוגרים ימניים. יהי j האינדקס הקטן ביותר שעבורו מספר הסוגרים הימניים גדול ב- 1 ממספר הסוגרים השמאליים בסדרה p1p2…pj. עבור כל i>j נהפוך את הסוגרים השמאליים לימניים ואת הימניים לשמאליים. בסדרה החדשה n סוגרים שמאליים וn - סוגרים ימניים. ברור כי היא אינה סדורה היטב.

10. מספרי קטלן • המטרה:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם nקודקודים שווה למספר קטלן Cn. • השלבים: • מספר הסדרות עם n-1 סוגרים שמאליים וn+1 - סוגרים ימניים הוא . • היות וקיימת התאמה חח"ע בין מספר הסדרות עם n-1 סוגרים שמאליים וn+1 - סוגרים ימניים לבין הסדרות שאינן סדורות היטב בעלות n סוגריים שמאליים וn - סוגרים ימניים, מספרם שווה. לכן, מספר הסדרות הסדורות היטב שווה למספר קטלן Cn:

11. מספרי קטלן • המטרה:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם nקודקודים שווה למספר קטלן Cn. • השלבים: • נגדיר את המושגים "עץ סדור" ו"יער סדור" (סדרה של עצים סדורים). • עץ סדור:עץ מכוון שבו עבור כל קודקוד פנימי קיים סדר מוגדר בין בניו. • כל עץ מצבי הוא סדור; • לא כל עץ סדור הוא מצבי:בעץ סדור אין הגבלה על מספר הבנים. • יער סדור: סדרה של עצים סדורים. • נהוג לצייר יער סדור כאשר השורשים מוצגים באותה שורה אופקית.

12. מספרי קטלן • דוגמא ליער סדור המורכב משלושה עצים סדורים ששורשיהם הם A, B ו- C: A B C

13. מספרי קטלן • המטרה:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם nקודקודים שווה למספר קטלן Cn. • השלבים: • נראה התאמה חח"ע בין קבוצת הסדרות הסדורות היטב עם n סוגרים שמאליים ו-n סוגרים ימניים לבין קבוצת היערות הסדורים עם n קודקודים. • ההתאמה: • כיוון 1:כל עלה נסמן ב- (). כל צומת שבניו מסומנים ב- w1, w2, … , ws יסומן ב- (w1, w2, … , ws) על-פי סדר הבנים. נבצע תהליך זה עבור כל עץ ביער. נניח שהשורשים יסומנו בתהליך זה ע"י x1, x2, …, xr. הסדרה שתתאים ליער היא השרשור x1x2 …xr. • כיוון 2:קל לראות.

14. מספרי קטלן • דוגמא:התאמת סדרת סוגריים ליער סדור: 13 סוגרים ימניים ו- 13 סוגרים שמאליים; 13 צמתים ( (()()) () ) ( () () () ) ( (()()) ) ( (()()) () ) A ( () () () ) ( (()()) ) B C (()()) (()()) () () () () () () () ()

15. מספרי קטלן • המטרה:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם nקודקודים שווה למספר קטלן Cn. • השלבים: • נראה התאמה חח"ע בין קבוצת היערות הסדורים עם n קודקודים וקבוצת העצים הבינאריים המצביים עם n קודקודים. • נתון יער, נבנה עץ בינארי מצבי: • השורש השמאלי ביותר ביער הוא השורש של העץ הבינארי. • הבן השמאלי ביותר של קודקוד ביער הוא בנו השמאלי של קודקוד בעץ. • הבן הבא מימין ביער, או במקרה של שורש – השורש הבא מימין, הוא הבן הימני בעץ הבינארי.

16. A B C D I H E F G J K M L מספרי קטלן • התאמת עץ בינארי מצבי ליער סדור עם 13 קודקודים: • העץ הבינארי המצבי המתאים: A B D C F J E I G K L H M

17. מספרי קטלן • המטרה:להוכיח כי מספר העצים הבינאריים המצביים עם nקודקודים שווה למספר קטלן Cn. • השלבים: • הראינו כי מספר הסדרות הסדורות היטב עם n סוגרים שמאליים וn - סוגרים ימניים שווה למספר קטלן Cn. • הראינו התאמה חח"ע בין קבוצת הסדרות הסדורות היטב עם n סוגרים שמאליים ו- n סוגרים ימניים לבין קבוצת היערות הסדורים עם n קודקודים. • הראינו התאמה חח"ע בין קבוצת היערות הסדורים עם n קודקודים וקבוצת העצים הבינאריים המצביים עם n קודקודים. • השגנו את המטרה.

18. מספרי קטלן • תופעות נוספות שבהן מופיעים מספרי קטלן מוצגות בדף העבודה המצורף (לא להגשה).