Curso de Matemática Propedeútica

1. Curso de Matemática Propedeútica Año académico 2008 MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés 15-ene-2008

2. 1 1 1 = 6 2 2 2 = 6 3 3 3 = 6 4 4 4 = 6 5 5 5 = 6 6 6 6 = 6 7 7 7 = 6 8 8 8 = 6 9 9 9 = 6

3. (1 + 1 + 1) ! = 6 • 2 + 2 + 2 = 6 • 3 x 3 - 3 = 6 • √4 + √4 + √4 = 6 • 5 ≠5 + 5 = 6 • + 6 - 6 = 6 • -7 ÷ 7 + 7 = 6 • 3√8 + 3√8 + 3√8 = 6 • √9 x √9 - √9 = 6

4. Lógica matemática. La lógica matemática sirve de fundamento al razonamiento matemático, evitando ambigüedades y contradicciones mediante la determinación absolutamente precisa y rigurosa de lo que es un razonamiento matemático válido.

5. Proposición • Una proposición es una oración que es verdadera o falsa, pero no es verdadera y falsa a la vez. Simbólicamente: p: 2 + 2 = 4 q: El cinco es un número primo r: Estelí es la capital de Nicaragua s: √4 + 5 = 9

6. Proposición • Lo que no es una proposición. • Qué hora es? • Lee esto con atención. • x + 1 = 2 • x + y = z

7. Proposición • La negación de una proposición es otra proposición, llamada la negación de p. Simbólicamente: ¬p ~p Ejemplo: p: 12 + 33 = 39 ¬p: 12 + 33 ≠ 39

8. Proposición • Tabla de verdad para la negación de una proposición.

9. Proposiciones compuestas • Son dos o más proposiciones simples unidas por medio de operador lógico. : operador de la conjunción (léase “y”) : operador de disyunción incluyente (“o”) : operador condicional (“si…entonces…”) : operador bicondicional (“p si y sólo q ”) : operador de disyunción excluyente (“o”)

10. La Conjunción • Sean p y q proposiciones. La proposición p ^ q, es la proposición que es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y falsa en cualquier otro caso. fórmula 2n n= número de proposiciones.

11. La Disyunción inclusiva • Sean p y q proposiciones. La proposición p v q, es la proposición que solo es falsa cuando tanto p como q son falsas. fórmula 2n n= número de proposiciones.

12. La Disyunción excluyente • Sean p y q proposiciones. La proposición p q, es la proposición que solo es verdadera cuando tanto p como q son falsas. fórmula 2n n= número de proposiciones.

13. La Implicación • Sean p y q proposiciones. La proposición p q, es la proposición que solo es falsa cuando p es verdadero y q es falso. fórmula 2n n= número de proposiciones.

14. La Doble implicación • Sean p y q proposiciones. La proposición p q, es la proposición que solo es verdadera cuando tanto p como q tienen el mismo valor de verdad. fórmula 2n n= número de proposiciones.

15. Resumen

16. Verificación de Aprendizajes

17. Prueba • Escribir las correspondientes sentencias lógicas para las siguientes frases: • Una relación es una relación de equivalencia si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva. p: R es relación de equivalencia r: R es reflexiva s: R es simétrica t: R es transitiva p  r  s  t • Si la humedad es alta, lloverá esta tarde o esta noche. p: la humedad es alta q: lloverá esta tarde r: lloverá esta noche p  q  r

18. Prueba • El cáncer no se cura al menos se determine su causa y se encuentre un nuevo fármaco. p: el cáncer se cura q: se encuentra su causa r: se encuentra un nuevo fármaco p  q  r • Se requiere valor y preparación para escalar esta montaña. p: se requiere valor q: se requiere preparación r: escalar la montaña r  q  p

19. Prueba • Si es un hombre que hace una campaña dura, probablemente será elegido. p: hace campaña dura q: será elegido ( p  q )  ( p q )

20. Prueba

21. Prueba

22. Prueba DEMOSTRAR QUE ES UNA CONTRADICCIÓN

23. Prueba DEMOSTRAR QUE

24. Inferencia lógica • Doble negación: de una premisa p puede concluirse su doble negación y viceversa. • Simplificación: De una conjunción puede concluirse cualquiera de las proposiciones que la componen.

25. Inferencia lógica • Adición: De una proposición p, tomada como premisa, puede concluirse la disyunción de la misma con cualquier otra proposición. • Modus Ponendo Ponens(MPP): De una fórmula condicional y la afirmación de su antecedente como premisas, puede concluirse la afirmación del consecuente.

26. Inferencia lógica • Modus Tolendo Tollens(MTT): De una fórmula condicional y la negación de su consecuente como premisas, puede concluirse la negación del antecendente. • Modus Tolendo Ponens(MTP):De una disyunción y la negación de uno de sus miembros como premisas, puede concluirse la afirmación la afirmación del otro miembro.

27. Inferencia lógica • Distributiva: La conjunción de una proposición y una fórmula disyuntiva puede transformarse en la disyunción de dos conjunciones. • Distributiva: La disyunción de una proposición y una fórmula conjuntiva puede transformarse en la conjunción dos conjunciones disyunciones.

28. Inferencia lógica • D´Morgan: Una conjunción puede transformarse en una disyunción en la cual se niega las proposiciones integrantes y se niega la totalidad de la fórmula. • D´Morgan: Una disyunción puede transformarse en una conjunción en la cual se niega las proposiciones integrantes y se niega la totalidad de la fórmula.

29. Resolver

30. A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia: • 1) p v  q • 2) p v r • 3) q •  • r • 4 ) De 1 y 3 resulta p (MTP) • 5) De 2 y 4 resulta r (MTP)

31. A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia: • 1)  p v r v q • 2)  r • 3) q •  • p • 4 ) r v (p v q) expresando (1) por ley asociativa • De 4 y 2 resulta (p v q) (MTP) • De 5 y 3 resulta p (MTP)

32. A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia: • 1)  p • 2) q v p • 3) q •  • f • 4 ) De 2 y 1 resulta q (MTP) • De De 4 y 3 resulta f (ley negación)

33. A partir de las reglas de inferencia demostrar la validez del siguiente esquema de inferencia: • 1) ( p  q )  r • 2) r  s • 3) q  s •  •  p • 4 ) De 3 resulta  s (por Simplificación) • 5 ) De 2 y 4 resulta r (por MTT) • De 1 y 5 resulta  (p  q) (MTT) • De 6 resulta  p v  q Ley DeMorgan • De 7 resulta  p (Simplificación disyunción)

34. Ejemplos • Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas. Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario: ¬p ^ q : p ^ q : ¬(p ^ q): p v ¬ q: ¬p v ¬ q:

35. Ejemplos • Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas. Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario: ¬p ^ q : p ^ q : ¬(p ^ q): p v ¬ q: ¬p v ¬ q: p → q : p ↔ q :

36. Ejemplos • Sean: p: Pablo es extraño q: A Pablo le gustan leer libros de matemáticas. Exprese cada una de las proposiciones en el lenguaje ordinario: ¬p ^ q : Pablo no es extraño y le gusta leer libros de matemática. p ^ q : Pablo es extraño y le gusta leer libros de matemática. ¬(p ^ q): No es cierto que Pablo es estraño y le guste leer libros de p v ¬ q: Pablo es extraño o no le gusta leer libros de matemáticas. ¬p v ¬ q: Pablo no es extraño o no le gusta leer libros de matemática p → q : Si Pablo es extraño entonces le gusta leer libros de mat. p ↔ q : Pablo es extraño si y solo si le gusta leer libros de mat.

37. Ejemplos • Sean: r: La humanidad contamina el medio ambiente. s: La humanidad sobrevivirá. Si r es verdadera y s es falsa. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (r٨s) v¬s : ¬r v ¬s : r ٨¬s: ¬r v s : r → s : r ↔ s :

38. Ejemplo • Determine el valor de verdad de ¬(p٨q)٨[(pvq)٨q]

39. Equivalencias lógicas

40. Equivalencias lógicas

41. Equivalencias lógicas

42. Equivalencias lógicas

43. Ejemplo 1

44. Ejemplo 1

45. Ejemplo 2

46. Predicados y Cuantificadores

47. Predicados y Cuantificadores P(x) : función proposicional Ejemplo: P(x) : (x+1) ≥ x Notación: léase, para todo x P(x), para cada x P(x), o para cualquier x P(x). Q(x): x ≤ 4

48. Predicados y Cuantificadores • Todo A es B su negación es Algún A no es B. • Ningún A es B su negación es Algún A es B.

49. Predicados y Cuantificadores

50. Predicados y Cuantificadores